UNIVERSITE D'ANGERS Annee N d'ordre

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8

  • cours - matière potentielle : distributions

  • cours - matière potentielle : integration

  • cours - matière potentielle : sur les d - modules


UNIVERSITE D'ANGERS Annee : 2003 N? d'ordre : 568 CONTRIBUTIONS A L'ETUDE DES IDEAUX DE BERNSTEIN-SATO D'UN POINT DE VUE CONSTRUCTIF THESE DE DOCTORAT Specialite : Mathematiques ECOLE DOCTORALE D'ANGERS Presentee et soutenue publiquement le 27 Mai 2003 a l'universite d'Angers par Rouchdi BAHLOUL Devant le jury ci-dessous : Joel BRIANC¸ON, Rapporteur, Professeur, Universite de Nice Sophia-Antipolis Philippe DU BOIS, Examinateur, Professeur, Universite d'Angers Monique LEJEUNE-JALABERT, Examinateur, Directrice de Recherche, UVSQ (Versailles) Toshinori OAKU, Rapporteur, Professeur, Tokyo Woman's Christian University Claude SABBAH, Examinateur, Directeur de Recherche, Ecole Polytechnique Directeur de these : Michel GRANGER, Professeur, Universite d'Angers Nom et coordonnees du laboratoire : U.M.R N? 6093 associee au CNRS 2 Bd Lavoisier, 49045 Angers cedex 01, France

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UNIVERSITÉDANGERS
Année : 2003 N d’ordre : 568
CONTRIBUTIONS A L’ETUDE DES IDEAUX DE BERNSTEINSATO D’UN POINT DE VUE CONSTRUCTIF
THÈSEDEDOCTORAT
Spécialité : Mathématiques
ÉCOLEDOCTORALEDANGERS
Présentée et soutenue publiquement
le à par
27 Mai 2003 l’université d’Angers Rouchdi BAHLOUL
Devant le jury cidessous :
JoëlBRIAN¸CON, Rapporteur,Professeur,Université de Nice SophiaAntipolis Philippe DU BOIS, Examinateur,Professeur,Université d’Angers Monique LEJEUNEJALABERT, Examinateur,Directrice de Recherche,UVSQ (Versailles) Toshinori OAKU, Rapporteur,Professeur,Tokyo Woman’s Christian University Claude SABBAH, Examinateur,Directeur de Recherche,Ecole Polytechnique
Directeur de thèse : Michel GRANGER, Professeur, Université d’Angers
Nom et coordonnées du laboratoire : U.M.R N 6093 associée au CNRS 2 Bd Lavoisier, 49045 Angers cedex 01, France
A mes parents, à Chokri et Riad et leurs familles, à Nathalie.
Remerciements
Par ces quelques lignes, j’aimerais remercier un certain nombre de personnes qui m’ont accompagné durant une partie ou la totalité de ma thèse. En premier lieu, je voudrais dire un grand merci à mon “prof” Michel Granger. Cette thèse n’aurait pu voir le jour sans lui. Je le remercie pour la confiance qu’il a mise en moi, pour sa disponibilité sans faille, pour sa gentillesse et tout le profes sionnalisme avec lequel il m’a guidé durant ces années. Notre rencontre a eu lieu il y a plus de huit ans durant ma deuxième année de DEUG dans un cours consacré à la topologie deRet la dénombrabilité. Ensuite, il m’a accompagné durant toutes les années suivantes : en Licence avec un cours d’intégration, en Mâıtrise avec un cours de Distributions et enfin en DEA avec un cours sur lesDmodules. Aujourd’hui, je mesure toute la chance de l’avoir croisé sur ma route. JetiensàadressermesremerciementslesplussincèresàJoëlBrianc¸onpouravoir accepté la tâche de rapporteur. Merci pour les remarques et les suggestions qu’il m’a communiquées durant la lecture. Dans ma thèse, je me suis beaucoup appuyé sur ses articles dont une partie écrite avec Philippe Maisonobe, et dont j’ai essayé de garder le style “coulé”. MerciaussisincèrementàToshinoriÔaku,monsecondrapporteur.Mathèse s’inspire aussi fortement de ses travaux. Merci aussi pour m’avoir aidé à deux reprises dans la mise au point de mes programmes sur kan. Merci à Claude Sabbah. Sa présence dans mon jury me touche profondément, j’en suis honoré. Merci à Monique LejeuneJalabert pour avoir accepté d’être présente à mon jury. Mon chapitre 4 est dans la lignée de ses travaux. Enfin, merci à Philippe du Bois pour avoir accepté d’être membre de mon jury. Je remercie Abdallah Assi pour la lecture attentive du premier jet de ma thèse. Je suis reconnaisant à Francisco Castro Jiménez pour son invitation à l’Université de Séville en juin 2002 et pour les discussions intéressantes que nous y avons eues. Ce fut une semaine vraiment agréable pour laquelle je ne peux manquer de dire merci également à Luis Narváez Macarro et José Mar´ıa Ucha Enr´ıquez. DesmercisàFran¸coisDucrotpourletempspasséàinstallerkan/sm1,àNobuki Takayama pour l’aide apportée à ce sujet ainsi qu’à Philippe Maisonobe pour l’agréable semaine passée à Kaiserslautern. Ces remerciements seraient bien bancals si je ne disais pas un mot à mon ami Paltin Ionescu. C’est lui qui m’a donné l’envie d’en savoir plus sur les maths durant le trop court trimestre où j’ai suivi ses TD lors d’un de ses séjours en tant qu’invité. Je souhaite à tout étudiant la chance d’avoir un jour un tel enseignant. Pour finir, un gros coucou à tous les thésards d’Angers que j’ai cotoyés : ceux de ma “génération”, Bertrand, Céline, David, Franck, Goulwen, Mathieu, Oleg ; les p’tits nouveaux, Dika, JeanMarc, Ludovic, Pascal, Souleymane, Thomasz ; et les anciens, Isabelle, Nicolas, Xavier, Yacoub (cette classification est purement arbitraire et n’engage que son auteur).
Table des matières
Introduction Contenu et résultats principaux Chapitre 1. Quelques rappels 1. Divisions et bases standards 2. Eventail de Gröbner 3.Vmultifiltration et éventail de Gröbner
partie 1. Etude des polynômes de BernsteinSato Chapitre 2. Preuve constructive de l’existence de polynômes de BernsteinSato pour plusieurs fonctions analytiques 1. Un rappel de la preuve 2. Preuve du théorème 2.10 3. Existence de polynômes de BernsteinSato dans le cas algébrique Chapitre 3. Polynômes de BernsteinSato algébriques rationnels et étude algorithmique 1. Étude des polynômesbL... 2. Polynôme de BernsteinSato algébrique rationnel sur un corps quelconque
partie 2. Etude générique des polynômes de BernsteinSato et des éventails de Gröbner Chapitre 4. Spécialisation des bases de Gröbner 1. Notations génériques 2. Lemmes de spécialisation 3. Résultats complémentaires Chapitre 5. Polynôme de BernsteinSato générique 1. Cas d’une fonction 2. Cas de plusieurs fonctions Chapitre 6. Constructibilité de l’éventail de Gröbner 1. Rappels et énoncé du résultat principal 2. Homogénéisation et spécialisation 3. Résultats de finitude 4. Preuve de la proposition 6.1 5. Application au polynôme de BernsteinSato générique
partie 3.
Aspects plus calculatoires i
1 3 9 9 21 23
25 27 27 34 46 51 52 60
63 65 66 67 72 77 78 82 87 87 88 89 90 91
93
ii
TABLEDESMATIÈRES
Chapitre 7. Algorithm for computing BernsteinSato ideals associated with a polynomial mapping 95 1. Introduction 96 2. Standard basis with respect to a nonwell order 97 3. Vmultifiltration 99 4. BernsteinSato equations and Malgrange point of view 100 5. BernsteinSato ideals 102 6. Computation ofBΣandBj104 Compléments à l’article précédent 115 Annexe A. Calculs sur Kan 117 1.LexempledeJ.Brian¸conetH.Maynadier117 2. Polynôme de BernsteinSato générique 118 3. Les idéauxBLet polynômesbL119 Annexe. Bibliographie 123
Notations et conventions Rcorps des réels Ccorps des complexes Qcorps des rationnels Zentiers Nentiers positifs ou nuls 1 k,Kcorps de caractéristique 0 α α1αn x=x∙ ∙ ∙x 1n xi=∂xi α α1αn =∙ ∙ ∙x x1xn (α,β)α1αnβ1βn2n (x, ∂)x∙ ∙ ∙, βx ∂ )N x=1n x1∙ ∙ ∙xnoù (α |α|=α1+∙ ∙ ∙+αn P (α|β) =αiβi >< F idéal engendré parF V(Q),V(hdes zéros de l’idéal) lieu Q(resp. de la fonctionh) Idéal signifie idéal à gauche
1 dans tout le texte, corps signifie corps de caractéristique 0
iii