Universite de la Mediterranee Aix Marseille U F R de Mathmatiques

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Universite de la Mediterranee, Aix-Marseille 2 U.F.R. de Mathmatiques These pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE AIX-MARSEILLE 2 Specialite: Mathematiques presentee et soutenue publiquement par Sebastien Palcoux le 9 decembre 2009 Titre: Serie discrete unitaire, caracteres, fusion de Connes et sous-facteurs pour l'algebre Neveu-Schwarz Directeurs de these: Antony Wassermann Rapporteurs: Olivier Mathieu Teodor Banica Jury: Pierre Julg Christophe Pittet Michael Puschnigg Vincent Secherre Georges Skandalis Antony Wassermann

algebres d'operateurs

local von

algebres de von neumann locales

vertex operators

milieu professionnel des algebres d'operateurs

neumann algebras

kac determinant

fusion de connes

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Banica Wassermann

Université de la Méditerranée, AixMarseille 2 U.F.R. de Mathmatiques

Thèse pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITE AIXMARSEILLE 2 Spécialité: Mathématiques présentée et soutenue publiquement par SébastienPalcoux le 9 décembre 2009

Titre: Série discrète unitaire, caractères, fusion de Connes et sousfacteurs pour l’algèbre NeveuSchwarz

Directeurs de thèse:

Rapporteurs:

Jury:

Antony

Olivier Teodor

Pierre Christophe Michael Vincent Georges Antony

Wassermann

Mathieu Banica

Julg Pittet Puschnigg Sécherre Skandalis Wassermann

Remerciements:

Je tiens à remercier mon directeur de thèse Antony Wassermann, pour m’avoir initié aux algèbres d’opérateurs et à la théorie conforme des champs. Il m’a montré en particulier à quel point les champs primaires pouvaient jouer un rôle fondamental, voire indispensable, dans le domaine. Je le remerci egalementpouravoirréussiàfocaliserémonattention,quiaudépartétaittrès dispersé. Je le remercie enﬁn pour m’avoir ouvert au milieu professionnel des algèbres d’opérateurs, en particuler grâce à de nombreux voyages pour des colloques. Ces années de thèse m’ont montré ce qu’est le travail concret du mathématicien.

Contents

Introductionenfran¸cais 1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Aperc¸u........................ 1.3 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 L’algèbre NeveuSchwarz . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Superalgèbres d’opérateurs vertex . . . . . . . . . 1.6g. .superalgèbre d’opérateur vertex et modules . 1.7 Le cadre de GoddardKentOlive . . . . . . . . . 1.8 La formule du déterminant de Kac . . . . . . . . 1.9 Le critère d’unitarité de FriedanQiuShenker . . . 1.10 L’argument de Wassermann . . . . . . . . . . . . 1.11 Algèbres de von Neumann locales . . . . . . . . . 1.12 Champs primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Fusion de Connes et sousfacteurs . . . . . . . . .

Introduction in english 2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 The NeveuSchwarz algebra . . . . . . . . . 2.5 Vertex operators superalgebras . . . . . . . . 2.6 Vertexg. . . .superalgebras and modules . 2.7 GoddardKentOlive framework . . . . . . . 2.8 Kac determinant formula . . . . . . . . . . . 2.9 FriedanQiuShenker unitarity criterion . . 2.10 Wassermann’s argument . . . . . . . . . . . 2.11 Local von Neumann algebras . . . . . . . . . 2.12 Primary ﬁelds . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Connes fusion and subfactors . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Unitary series and characters forVir1/2

. . . . . . . . . . . . .

7 7 8 10 12 13 15 16 17 18 19 20 21 23

25 25 26 28 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41

The NeveuSchwarz algebra 44 3.1 Witt superalgebras and representations . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 3.3

Investigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unitary highest weight representations . . . . . . . . . . . . .

Vertex operators superalgebras 4.1 Investigation on fermion algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 General framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 System of generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Application to fermion algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Vertex operator superalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vertexgsuperalgebras and modules 5.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Simple Lie algebrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Loop algebraLg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2gvertex operator superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1gfermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2gboson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .supersymmetry . 5.3 Vertex modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GoddardKentOlive framework 6.1 Characters ofLgmodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Coset construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 General framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Character of the multiplicity space . . . . . . . . . . . . . . .

Kac 7.1 7.2 7.3

determinant formula Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Singulars vectors and characters . . . . . . . . . . . . . . . . . Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FriedanQiuShenker unitarity criterion 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Proof of proposition 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 48

50 50 52 57 60 63

65 65 65 66 67 67 69 70 73 73 74

76 76 79 79 80 81

83 83 84 85

87 87 88

8.3

Proof of theorem 8.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Wassermann’sargument

Connes fusion and subfactors forVir1/2

10 Local von Neumann algebras 98 10.1 Recall on von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 98 10.2Z299. . . . . . . . . . . . . . . . graded von Neumann algebras 10.3 Global analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.4 Deﬁnition of local von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . 103 10.5 Real and complex fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 10.6 Properties of local algebras deducable by devissage from loop superalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.7 Local algebras and fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11 Primary ﬁelds 115 11.1 Primary ﬁelds forLSU(2) . 115. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Primary ﬁelds forVir1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11.3 Constructible primary ﬁelds and braiding forVir1/2123. . . . . . 11.4 Application to irreducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

12 Connes fusion and subfactors 131 12.1 Recall on subfactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 12.2 Bimodules and Connes fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.3 Connes fusion withHαonVir1/2133. . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Connes fusion withHβ136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 The fusion ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12.6 The fusion ring and index of subfactor. . . . . . . . . . . . . . 138

Introductionenfranc¸ais

1.1 Contexte Dans les années 90, V. Jones and A. Wassermann ont commencé un pro gramme dont le but est de comprendre la théorie (unitaire) conforme des champs du point de vue des algèbres d’opérateurs (voir [46], [98]). Dans [99], Wassermann déﬁnit et calcule la fusion de Connes des représentations d’énergie positive irreductibles du groupe de lacetsLSU(n) à niveau ﬁxé ℓ, en utilisant des champs primaires, et avec des conséquences en théorie des sousfacteurs. Dans [87] V. Toledano Laredo prouve les règles de fu sion de Connes pourLSpin(2nMain) en utilisant des méthodes similaires. 1 tenant, soit Diﬀ(S) le groupe de diﬀéomorphisme du cercle, son algèbre de Lie est l’algèbre de WittWengendrée pardn(n∈Z), avec [dm, dn] = (m−n)dm+nadmet une unique extension centrale appelée algèbre de Vi. Elle rasoroVirreprésentations unitaires d’énergie positive et les formules de. Ses caractères peuvent être déduites de la construction ‘coset’ de GoddardKent Olive (GKO), à partir de la théorie deLSU(2) et des formules de KacWeyl (voir [100], [35]). Dans [66], T. Loke utilise la construction ‘coset’ pour cal culer la fusion de Connes pourVir. Maintenant, l’algèbre de Witt admet deux extensions supersymétriquesW0etW1/2avec des extensions centrales appelées algèbres Ramond et NeveuSchwarz, notéesVir0etVir1/2ce. Dans travail, on donne une preuve complète de la classiﬁcation des représentations unitaires d’énergie positive deVir1/2, on calcule leur caractères et la fusion de Connes, avec des conséquences en théorie des sousfacteurs. On pourrait faire de même avec l’algèbre RamondVir0, en utilisant des modules vertex tordus sur l’algèbre d’opérateurs vertex de l’algèbre NeveuSchwarzVir1/2, comme R. W. Verrill [96] et Wassermann [102] l’ont fait pour les groupes de lacets tordus.

1.2Aper¸cu Tout d’abord, on regarde les représentations unitaires projectives d’énergie positive deW1/2. La projectivité donne des 2cocycles, donnant àW1/2, une unique extension centraleVir1/2. Ces représentations sont complètement réductibles et les irréductibles sont données par les représentations unitaires de plus haut poids deVir1/2: des modules de VermaV(c, h) quotientés par les ’vecteurs nuls’, dans le cas ‘sans fantôme’. A partir de l’algèbre des fermions surH=FN S, on construit le champ fermionψ(z). La localité et le lemme de Dong permettent, grâce à des OPE (operator product expansion), d’engendrer un ensemble de champsS, tel qu’il existe une bijectionV:H→ S, avecId=V(Ω) et un champ Virasoro L=V(ωon donne les axiomes de superalgèbre d’opérateurs). Ensuite, vertex, permettant d’aller jusque là dans un cadre général (H, V,Ω, ω), avec Hun espace préhilbertien. Soitgune algèbre de Lie simple de dimension ﬁni,bg+l’algèbregboson (une extension centrale de l’algèbre de lacetsLg) etbg−l’algèbregfermion. On construit un module de superalgèbre d’opérateur vertex à partir degb= g bg⋉bgsur )⊗ Fel queViry agit avec (c, h) = +−H=L(Vλ, ℓN S, t1/2 ℓ+1/3g cV 3λ ( 2∙dim(g),), avecgle nombre de Coxeter dual etcVλle nombre ℓ+g2(ℓ+g) de Casimir. Soitg=sl2, en utilisant le cadre des fonctions thêta, on obtient la g g décomposition deH=F ⊗(L(j, ℓ)⊗ F) commebgespacesmodule. Les N S N S de multiplicité des composantes irréductibles sont des espaces de superen trelacementHomgb(Hk, H); on en déduit leur caractère comme module de m Vir, h) co module par construction ‘coset’. 1/2qui agit avecL(cm pqmme sous L’unitarité de la série discrète s’ensuit. m On déﬁnit des polynômes irréductiblesϕ(c, h) à parth). Le pqir de (cm,pq déterminant de Kacdetn(c, h) de la forme sesquilinéaire surV(c, h) à niveau nest facilement interpolé comme un produit deϕpq, en calculant les ex emples pournpetit. Pour le prouver, on met en lumière des liens entre des résultats précedents sur les caractères et des vecteurs singulierss(i.e. G1/2.s=G3/2.s= 0), dont l’existence annuledetn. Un déterminant de Kac négatif montre facilement un ‘fantôme’ dans la c région entre les courbesh=h. Maintenant, on part de la région ‘sans pq fantôme’h >0,c >3/2, vers une courbe d’annulationCd’ordre 1; ainsi, de l’autre côté deC, il y a un ‘fantôme’. Par transversalité, il reste sur

la prochaine courbe intersectantC; et ainsi de suite sur chaque courbes, à l’exception des ‘premières intersections’: la série discrète. Le théorème 1.2 s’ensuit. Finalement, un argument de cohérence entre les caractères des espaces de m multiplicitéMet ses irréductibles (dans la série discrète par FQS), montre pq m m m m Msans autre irréductible queL(c , h). Ainsi,M=L(c) et on pq m rs pq m, hp,q m obtient son caractère comme celui deM, déjà connu par la construction pq ‘coset’. Le théorème 1.3 s’ensuit. Maintenant,bgetVir1/2donnent des superalgèbres localesgb(I) etVir1/2(I) par couplage avec les fonctions lisses s’annulant en dehors deI(un intervalle 1 propre deSdes estimées de Sobolev, l’action sur les représentations). Par d’énergie positive est continue. On engendre leur algèbre de von Neumann, contenue dans une algèbre de fermions. Par le dévissage de Takesaki et la construction ‘coset’, on obtient que ces algèbres sont le facteur hyperﬁni de type III1, dont les supercommutants sont engendrés par des chaines de com pression de fermions. Il y a également une dualité de HaagAraki dans le vide, et en dehors, un sousfacteur de JonesWassermann, comme défaut de dualité. Les fermions compressés sont des exemples de champs primaires. On les construitengénéral,àpartird’applicationsentrelac¸antdeuxreprésentations irréductibles, et à coeﬃcients dans un espace de densités. On voit que ces ap plications sont complètement caractérisées, bornées et classiﬁées par ‘coset’, pour deux charges particulièresα,β. On obtient également leurs relations de tressage, qui permettent de donner le terme dominant d’une sorte d’OPE pour les champs primaires couplés, ce qui permet d’avoir la densité de von Neumann et l’irréductibilité des sousfacteurs. Ainsi, on obtient des bimodules irréductibles d’algèbres de von Neumann locales, donnant un cadre pour déﬁnir la fusion de Connes. Ses règles sont une conséquence directe de la formule de transport (expliquant l’entrelacement pour des châınes), qui est prouvée en utilisant les relations de tressage et la densité de von Neumann. Les règles donnent la dimension de l’espace des champs primaires; elles montrent également que les sousfacteurs sont d’indice ﬁni et explicitement donné par le carré de la dimension quantique, un caractère de l’anneau de fusion, donné comme l’unique valeur propre positive d’une matrice de fusion, et un produit de deux dimensions quantiques pour LSU(2) par le théorème de PerronFrobenius.

1.3 Résultats principaux Partie I: Série unitaire et caractères pourVir1/2 Les représentations irréductible d’énergie positive de l’algèbre NeveuSchwarz sont notéesL(c, hNotre propos est de donner) avec Ω leur vecteur cyclique. une preuve complète de la classiﬁcation des représentations unitaires, de telle manière qu’on obtienne directement les caractères de la série discrète, sans résolution de FeiginFuchs [20]. L’algèbre NeveuSchwarz est déﬁnie par :  C3 [Lm, Ln] = (m−n)Lm+n+ (m−m)δm+n 12 n [Gr, Ln] = (m−)Gr+n 2  C2 1 [Gr, Gs]+= 2Lr+s+ (r−)δr+s 3 4 1⋆ ⋆ avecm,n∈Z,r,s∈Z+ ,L=L, = 2n−nGrG−r. L La propriété d’énergie positive signiﬁe queL(c, h) =H=Hn, avec 1 n∈N, tel queL0ξ= (n+h)ξsurHnetH0=CΩ (avecCΩ =cΩ). 2 Lemme 1.1.SiL(c, h)est unitaire, alorsc, h≥0

Théorème 1.2.La classiﬁcation des représentations unitairesL(c, h)est :

(a)Série continue:c≥3/2eth≥0.

m discrète:(c, h) = (avec: (b)Sériecm, hpq)

3 8 cm= (1−) 2m(m+ 2)

et les entiersm≥2,

2 ((m+ 2)p−mq)−4 m h= pq 8m(m+ 2)

1≤p≤m−1,

1≤q≤m+ 1etp≡q[2].

Théorème 1.3.Les caractères de la série discrète sont:

m L0−cm/24m−cm/24 ch(L(cm, h))(t) =tr(t) =χN S(t).Γ (t).tavec pq pq Y X n−1/2 1 +t m m m γ(n)γ(n) pq−pq χN S(t) =,Γ (t) = (t−t)et pq n 1−t ⋆ n∈Nn∈Z 2 [2m(m+ 2)n−(m+ 2)p+mq]−4 m γ(n) = pq 8m(m+ 2)

Voir