Universite Joseph Fourier Grenoble I
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Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Universite Joseph Fourier - Grenoble I Ecole Doctorale « Mathematiques, Sciences et Technologie de l'Information, Informatique » THESE pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE JOSEPH FOURIER Specialite : Mathematiques Appliquees preparee au Laboratoire Jean Kuntzmann presentee et soutenue publiquement par Irene Gannaz le 07 decembre 2007 Estimation par ondelettes dans les modeles partiellement lineaires Composition du Jury : M. Anestis ANTONIADIS Universite Grenoble I Directeur de these M. Jalal FADILI ENSICAEN Examinateur Mme Irene GIJBELS Kathioleke Universiteit Leuven Rapportrice M. Anatoli IOUDITSKI Universite Grenoble I President Au vu des rapports de : Mme Irene GIJBELS Kathioleke Universiteit Leuven Mme Dominique PICARD Universite Paris VII

  • manque d'ex- haustivite des noms

  • hypotheses sur le plan d'observation

  • universite de grenoble

  • ondelettes

  • docteur de l'universite joseph

  • profusion des jeux de mots de yann

  • ondelettes periodiques

  • regression

  • regression partielle de speckman


Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 décembre 2007
Nombre de lectures 91
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo

Exrait

Universite´ JosephFourier-GrenobleI
´EcoleDoctorale«Mathe´matiques,Scienceset
Technologiedel’Information,Informatique»
`THESE
pourobtenirlegradede
´DOCTEURDEL’UNIVERSITEJOSEPHFOURIER
Spe´cialite´ :Mathe´matiquesApplique´es
pre´pare´eauLaboratoireJeanKuntzmann
pre´sente´eetsoutenuepubliquementpar
Ire`neGannaz
le07de´cembre2007
Estimationparondelettes
danslesmode`les partiellement line´aires
CompositionduJury:
M. AnestisANTONIADIS Universite´ GrenobleI Directeurdethe`se
M. Jalal FADILI ENSICAEN Examinateur
Mme Ire`ne GIJBELS KathiolekeUniversiteitLeuven Rapportrice
M. Anatoli IOUDITSKI Universite´ GrenobleI Pre´sident
Auvudesrapportsde:
Mme Ire`ne GIJBELS KathiolekeUniversiteitLeuven
Mme Dominique PICARD Universite´ ParisVIIRemerciements
Mesremerciementss’adressenten premier lieu a` AnestisAntoniadis,poursabonnehu-
meur constanteet ses«salut la belle» souriants.Sa vision ge´ne´ralede la recherche etsa
confiance en mes capacite´s ont contribue´ a` me faire aimer ces trois ans de recherche. Je
leremerciechaleureusementpoursoncontactconstructifsige´ne´reuxsurleplanhumain
commescientifique.
Je remercie e´galement Ire`ne Gijbels et Dominique Picard d’avoir rapporter cette the`se
et d’avoir lu si attentivement le manuscrit. Leurs remarques constructives ont permis
d’ame´liorercetravailetdonnentdenouvellesperspectivesdeprolongation.
Je suis aussi reconnaissante envers Anatoli Iouditski qui m’a fait l’honneur de pre´sider
monjury.Mercienfina` JalalFadilipouravoiraccepte´ d’eˆtremembredemonjuryetpour
avoir suivimontravailaulongdecestroisans.
Je nepeuxpasseroutredans cesremerciementstousles the´sardsdu labo ou“assimile´s”
qu’il m’a e´te´ donne´ de rencontrer au cours de ces trois ans. Je de´plore le manque d’ex-
haustivite´ des noms cite´s : que les oublie´s me pardonnent... Je pense en premier lieu a`
Carine, pour les allers-retours entre les bureaux et les discussionsqui s’e´ternisent.Cette
the`seaaussie´te´ rythme´eparlaprofusiondesjeuxdemotsdeYannetlessoire´esjeuxdes
Oliviers : Olivier “Grumphh” qui a m’a fait de´couvrir le Carom et Olivier “l’espagnol”
qui n’en est pas un et me´riterait plutoˆt “le sportif”. Je n’oublie pas Olivier “le parisien”
qui montait parfois a` Grenoble faire un peu d’ondelettes et de ski de randonne´e. Kop
Khun kha Pramote,pourcesre´flexionspolitiquesetcesinterme`desmusicaux danslebu-
reau. Merci a` tous ceux qui ont e´gaille´ de si nombreuses pauses et soire´es au cours de
cette the`se : Aude la toulousaine et Vincent avec ses boutades, Claire et Cyrille les pros
del’a¨ıkido,Basileavecsaguitare... Merciauxthe´sardsetstagiairesdontlesdiscussions
ontanime´ lespauses:toutelasalle3quiasibienaccueillilastateusedurez-de-chausse´e,
Julie etsesgrandssourires,Robin,LaurentT.,Adrien,Me´lanie,Emilie, Damien... Merci
enfina` tousceuxdulabo quim’ontoffertcebeauve´lo!
Je remercie aussi ma famille d’avoir e´te´ pre´sente durant ces anne´es, jamais bien loin
(meˆme a` l’autre bout du monde) et toujours preˆte a` faire du baby-sitting;o). Et merci
a` tousles”ouvriers”delafamille etdelabelle famille, nombreux,d’avoir contribue´ a` ce
que je fasse plus de statistique que de plaˆtre ou de plomberie durant ces deux dernie`res
anne´es.
Merci a` Etienne d’eˆtre la` tout simplement. Et d’avoir e´te´ un petit garc¸on si souriant et si
calme. Mercia` Christian,pourtout.Tabledesmatie`res
Introduction 1
1 Lemode`lepartiellement line´aire 7
1.1 Unmode`lesemi-parame´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Pourquoicemode`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Exemplesd’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Infe´rencestatistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Estimationparlesmoindrescarre´spe´nalise´s . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Lare´gressionpartielledeSpeckman(1988) . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Rappelssurlesondelettesetleurusageenre´gression 19
2.1 Analysemultire´solutionetondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Approximationsdefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Ondelettespe´riodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 EspacesdeBesov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Transformationenondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Ecriturematricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Algorithmepyramidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Re´gressionavecunpland’observatione´quidistant . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Estimationsline´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Estimationsnonline´aires :seuillagedescoefficients . . . . . . . . . 29
2.4 Re´gressionavecunpland’observationnon-e´quidistant . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Aperc¸udediffe´rentesapproches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Hypothe`sessurlepland’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3 Approchethe´orique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4 Approchepratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Duseuillagea` l’estimation robuste 45
3.1 Identifiabilite´ ettransforme´eenondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i`TABLEDESMATIERES
3.2 Crite`redesmoindrescarre´spenalise´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Conditionsdupremierordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 SeuillagedouxetestimateurdeHuber . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.3 Versd’autresM-estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Proprie´te´sasymptotiquesdesestimateurs 57
4.1 Hypothe`ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Proprie´te´sasymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Cas duseuillagedouxetdel’estimateurdeHuber . . . . . . . . . . 61
4.2.2 ExempleissudeFadilietBullmore(2005) . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Estimationdelavariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
ˆ4.4.1 Consistancedeβ avecleseuillagedoux . . . . . . . . . . . . . . . 68n
ˆ4.4.2 Consistancedeβ aveclape´nalite´ quadratique. . . . . . . . . . . . 82n
4.4.3 Estimationdelapartiefonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Quelquesalgorithmes 87
5.1 Estimationconjointedesparame`tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 Backfitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.2 Deuxalgorithmespourleseuillagedoux . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Approchesemi-quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.1 ARTUR,oulespoidsmodifie´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.2 LEGEND,oulesre´sidusmodifie´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Simulationsetunexemplesurdonne´esre´elles 97
6.1 Comparaisondesalgorithmespourleseuillagedoux . . . . . . . . . . . . 98
6.1.1 Exemple1:Fonctionsinuso¨ıdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.2 Exemple2:Fonctionline´aireparmorceaux . . . . . . . . . . . . . . 104
6.1.3 Exemple3:Dimension5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2 Comparaisondesdiffe´rentsseuillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1 Validationcroise´epourlape´nalite´ quadratique . . . . . . . . . . . 109
6.2.2 Exemple1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.3 Exemple2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.4 Exemple3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.3 Applicationa` l’e´tudededonne´esre´ellesissuesd’uneIRMfonctionnelle . 118
6.3.1 Descriptiondesdonne´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3.2 Mode´lisationparunmode`lepartiellementline´aire . . . . . . . . . 119
7 Casdeplansd’observationsale´atoires 125
ii`TABLEDESMATIERES
7.1 Principed’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Simulationsavecunpland’observationsale´atoire . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.1 Mode`lenonparame´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.2 Mode`lepartiellementline´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Conclusionetperspectives 155
Bibliographie 157
iiiNotations
k k kR ,N ,Z Ensembledesk-upletsdere´els,d’entiersetd’entiersrelatifs.
M (R) Ensemblesdesmatricesdetaille n× p a` coefficientsre´els.n,p
P,E,Var Probabilite´, Espe´rance,Variance.
v.a.,v.a.i.i.d. variable ale´atoire,v.a.inde´pendantesetidentiquementdistribue´es.
[x] Partieentie`redunombre x.
1 Fonctionindicatrice del’ensemble E.E
1/2
kk 2 T 2kek, e∈R Normel d’unvecteure.Sie = (e ...e ) ,alorskek = e .∑1 k i=1 i
kAk, A∈M (R) NormedeFrobeniusd’unematrice A.Si A estdetermege´ne´ral a ,n,p i,j
1/2
2alorskAk = a .∑i,j i,j
T −1A , A Matricetranspose´eetmatriceinversedelamatrice A.
P
−→ Convergenceenprobabilite´
ku =(v ), u ∈R , v ∈R ∀i = 1,...,k,∃c > 0,|u |< c|v |.n n n n i in i n
ku =◦(v ), u ∈R , v ∈R ∀i = 1,...,k,lim u /v = 0.n n n n n→∞ nin
−1U = (v ), U v.a. a` va- ∀i = 1,...,k,∀δ> 0,∃t > 0,P(v |U |> t )6 δ.n P n n i,δ in i,δn
kleursdansR , v ∈Rn
P−1U =◦ (v ),U v.a.a` valeurs ∀i = 1,...,k, v U −→0.n P n n nn
kdansR , v ∈Rn
R
p pL (I) ={f : I→R, |f| <∞}
R
s (s) pW , s∈N ={f : I→R, I⊂R, s-fois continuˆmentde´rivable, |f | <∞}.
α 2 αΛ (M),α6 1 ={f : I→R, I⊂R∀(x,y)∈ I ,|f(x)− f(y)|6 M|x−y| }.
α ([α])Λ (M),α> 1 = {f : I → R, I ⊂ R[α]-fois continuˆmentde´rivable, f ∈
α−[α]Λ (M)}.
nSNR RapportSignal sur Bruit : SiY ∈R estun vecteurobserve´ avec un
kYk√bruitd’e´cart-typeσ, SNR = .

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