Reductions parametriques La W hierarchie Deux exemples L'hypothese de complexite exponentielle ETH

Christophe Paul

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Reductions parametriques La W -hierarchie. Deux exemples L'hypothese de complexite exponentielle (ETH) Complexite parametree (3) Reductions parametrees et classes de complexite Christophe PAUL (CNRS - LIRMM) November 5, 2010 Christophe PAUL (CNRS - LIRMM) Complexite parametree (3) Reductions parametrees et classes de complexite

• alphabet fini


• ?? ?


• complexite


• fpt


• ??


• parametres sur les alphabets respectifs


• hypothese de complexite exponentielle


• classe de complexite fpt


• reductions parametrees


• parametrisation de ??

Sujets

• Complexité

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Extrait

R´eductionspara´mteiruqseaL-Wihra´ehircDee.exuxlpmese AUL(phePistoChrlpmoC)MMRIL-SRNCr´etm´rapa´eitexarapte´mee´rctes(3ee´e)Rctdunsio´te

Christophe PAUL (CNRS - LIRMM)

Complexit´eparame´tre´e(3) Re´ductionsparametr´eesetclassesdecomplexite´ ´

November 5, 2010

lassesdecomplexi

´tixelpmoC)MMRIL3)e(´etr´eamarephCirNRS-UL(ChePAstoptixe

Re´ductionsparame´triques Rappelsetd´efinitions Exemples

e´cedslpmo

2

Deux exemples Ensembleind´ependant Ensemble dominant

1

LaW-harchi´erei. Circuits logiques weighted-sat

4

3

L’hypothe`sedecomplexite´exponentielle(ETH)

nopsrama´Rdecuitetclasse´etr´ees itcude´RmarapsnohceireraexexD.ueique´etr-hi´sLaWelpmstd´efinitRappelseselpmexEsnoi

κ)tee(Q,pairtune tsnuteeκ⊆Q ∗ Σ qleu ioatistr´eamarep utse ∗ Σ∈xis . ∗ Σedn eml`arepUn 2 obprrus(se)Σe´mae´rt Q(κ,e`emPF(Te)tsdParFixeerizametatcarTde li’s )elb unteisexthrigoal ennitsnaeced,Q(κx)estsonparam`et C .er ssalcedelpmoitexFP´e np T Ublro ´rte´marape´tixeplom)CMMIR-LRSCNesct´ree´mteaparionsduct)R´eee(3 elpm´tixtnodocalideceteQAqmed´ui hpPeUA(LC ) rhsiot x)).n O(1 eest f(κ( et´

Proble`meparame´tre´ Soit Σ un alphabet fini. 1 Unearptaoinmae´rtside Σ ∗ est une fonctionκ: Σ ∗ →N calculable en temps polynomial.

ssaledsepmocixel ´Ritnodecueuxexemplesh-Ware´ihcraD.eiarsp´eamiqtrsLueesmelpsnxEtioie´nfitdseelppRa

ssseedocpmelix´tram´etr´eesetcla

Probl`emeparametre´ ´ Soit Σ un alphabet fini. 1 Unepamarnoirte´taside Σ ∗ est une fonctionκ: Σ ∗ →N calculable en temps polynomial. 2 Unerte´l`obpramarepem(sur Σ) est une paire (Q, κ) tel que ´ Q⊆Σ ∗ etκtsepenuamartr´eatisndioeΣ ∗ .

six∈Σ ∗ est une instance deQ,κ(x).etreram`onpaests

e

Classe de complexite FPT ´ Unprobl`eme(Q, κ) estFPT(Fixed Parameterized Tractable) s il existe un algorithmeAecd´uiqeidQstdoetocpmtnal´teeelix ’

f(κ(x)).n O(1)

tr´eamaraWsLueiqde´Rpsnoitcumplexexesrerah-´iD.uehcei´etdseelppRaselpmexEsnoitinfi (3)R´eductionspatie´apar´mte´ree-LRSMMIRom)CexplsirhhpotUAPeNC(LC

selpedR´tiucpsnomararte´euqisLaW-hi´erarchieD.ueexexpmelselseRappnfitidte´xEmeoisn unteisexIl ) 3 (1 | O x|.))x(κ(fe´tixeompl )de c t`aκpporraarTPp(mhFeroti x)κ()x)R(g()6 ∗ Σ∈x( 0 κ,ruoptuot tellequebleg:N→Ncnlaucalfenotcoi luclelbaurapglanRe 2 cast CNRSAUL(MM)C-LIRxetimolpar´me´aprhCPehpotsisetclassesdecompelix´te

On notera(Q, κ)6 fpt (Q 0 , κ 0 )

De´finition:R´eductionparam´etrique Soient (Q, κ) et (Q 0 , κ 0 te´marapseme`lboesrlsuesr´)deuxpr alphabets respectifs Σ et Σ 0 . Unere´ductionparam´etrique(FPT) de (Q, κ) vers (Q 0 , κ 0 ) est une fonction :R: Σ ∗ →(Σ 0 ) ∗ telle que 1 Pour toutx∈Σ ∗ , nous avons (x∈Q⇔R(x)∈Q 0 )

r´et(3ee´e)Rctdusnoiarapte´mee´r

elsexpmetlsefid´tinisEonReppateirar´msnaptcoi´eduRselpmexexueD.eihrcra´ehiW-Laesqu xist 3 Ile itexplom

On notera(Q, κ)6 fpt (Q 0 , κ 0 )

De´finition:Re´ductionparame´trique Soient (Q, κ) et (Q 0 , κ 0 spmeamarroxp`eblelrusrte´sse´eu)d alphabets respectifs Σ et Σ 0 . Unere´ductionparam´etrique(FPT) de (Q, κ) vers (Q 0 , κ 0 ) est une fonction :R: Σ ∗ →(Σ 0 ) ∗ telle que 1 Pour toutx∈Σ ∗ , nous avons (x∈Q⇔R(x)∈Q 0 ) 2 Rest calculable par un algorithmeFPTap(rtpoaprr`aκ) de complexit´ef(κ(x)).|x| O(1)

´elctesee´cedsessaonspucti´etraramrte´mae´´Rde(e)3´tixrapeoC)MelpmS-NRRMLIPAhe(CULhCirtspo ))x(κ(g6))x(R( 0 κ ∗ ,∈Σtxourtou e p quleel→NtNel:glubacalctionfonceune

e´apxetimolpMMC)-LIRCNRSAUL(phePotsirhC ppaRseel´etditfinnsioslpsexEme t q e i ´ e r u a L r s ´ W m a R h ) - e ´ ´ i e r e e 3 r ( a i c o h n i s e d . u D c e t u m x ´ e e x t e p m a p r l a e ctesee´redses d s e a ´ l R x t i i l u e c m s p p c o o nam

D´efinition:R´eductionparame´trique Soient (Q, κ) et (Q 0 , κ 0 de)emesparauxprobl`uslrse´mte´rse alphabets respectifs Σ et Σ 0 . Unereductionparam´etrique(FPT) de (Q, κ) vers (Q 0 , κ 0 ) est une ´ fonction :R: Σ ∗ →(Σ 0 ) ∗ telle que 1 Pour toutx∈Σ ∗ , nous avons (x∈Q⇔R(x)∈Q 0 ) 2 Rest calculable par un algorithmeFPTorppraarat`p(κ) de complexite´f(κ(x)).|x| O(1) 3 Il existe une fonction calculableg:N→Ntelle que pour toutx∈Σ ∗ ,κ 0 (R(x))6g(κ(x)) On notera(Q, κ)6 fpt (Q 0 , κ 0 )

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