Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale S

Thibault Pautrel

Description

Janvier 2012
Bac Blanc en Mathématiques (2012) pour Terminale S

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 643
• Langue: Français

Extrait

BAC BLANC

Mathématiques

Série S

Enseignement de spécialité

Durée de l'épreuve: 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

Coefficient: 9

Le sujet comporte 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Janvier 2012

Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5

Page 1/5

Exercice 1: QCM (4 points)

Pour chaque question, une seule proposition est correcte. Une bonne réponse apporte 1 point, une mauvaise ne retire pas de point. L'absence de réponse n'est pas sanctionné.

Le plan est muni d'un repère orthonormé O ;  u ;  v . On a I1 et Ji . 73i 11 z= A, B et B i et z C sont les points d'affixes respectives: A , z=  C =−1  3i . 5−2i 22 1. Laforme algébrique de z A est: 7 3 − a) i 5 2 29 29  b) i 21 21 c) 1i 10 d) 3 i−z B 2. arg  est une mesure de l'angle: z C −z A a) AC ; BJ b) CA ; BJ c) AC ; BJ d)BJ ; AC 1i 3. L'ensembledes points M dont l'affixe z est telle que z ∣ −1∣=∣z− ∣ est: 2 a) Le cercle de centre B et de rayon 1 b) La médiatrice du segment [BI] c) La droite (BI) d) La droite (BI) privée de I. 4. SoientA et B les points d'affixes respectives 4 et 3i. L'affixe de C est telle que le triangle ABC soit isocèle rectangle en A. z C est donc égal à: a) 1 – 4i b) – 3i c) 7 + 4i

Page 2/5

Exercice 2: (5 points)

Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l'entreprise. S'il est en retard, il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50€. 1 - Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est. 5 1 - S'il est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est. 20 Pour tout entier naturel non nuln, on appelle R n l'évènement: « l'employé est en retard le jour n». p R q R On note n la probabilité de n et n celle de n . =0 On suppose que p 1 .

1. Déterminationd'une relation de récurrence:

pRpR a) Déterminer les probabilités conditionnelles R n n1 et R n n1 . pR∩RppR∩Rq b) Déterminer n1n en fonction des n et n1n en fonction de n . p q c) Exprimer p n1 en fonction de n et de n . 1 3 p= d) En déduire que n1 −p . n 5 20

p 2. Etudede la suite n :

4 =p− Pour tout entier naturelnnon nul, on pose v n n . 23 −3 v a) Démontrer que n est géométrique de raison. 20 v b) Exprimer n puis p n en fonction de n. p c) Justifier que la suite n est convergente et préciser sa limite. Qu'en conclure?

Page 3/5

Exercice 3: (6 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

On s'intéresse aux fonctions ƒ dérivables sur[ 0;∞ [ vérifiant les conditions: 2 C 1 : pour tout réelxde [ 0;∞ [ ,f 'x=4−[fx] C 2 :f(0) = 0

On admet qu'il existe une unique fonction ƒ vérifiant simultanément C 1 et C 2 . Les deux parties peuvent être traitées de manières indépendantes.

Partie A: Étude d'une suite

Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction ƒ, on utilise la méthode itérative d'Euler, avec un pas égal à 0,2.

1. Appliquerla méthode d'Euler avec un pash = 0,2en allant jusqu'àf(1).

Mx 2. Ondéfinit ainsi une suite de points n , d'abscisse n et d'ordonnée y n telles que: x=0x=x0,2 0 et pour tout entier naturel n, n1n y=y=−0,2y²y0,8 0 pour tout entier naturel n, 0 et n1n n . a) Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau suivant:

n x n y n

0 0 0

1 2 3 0,2 0,4 0,8000 1,4720

4

5

6

7

-4 Compléter ce tableau. Les résultats seront donnés à 10près. b) Placer sur le graphique donné en annexe, les points M n pour n∈ℕ, n7 . y c) D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite n et sur sa convergence? 3. a)Pour x∈ℝ , on pose px=−0,2x²x0,8 . Montrer que si x∈[0;2] alors px∈[0;2] . 0  b) Montrer que pour tout entier naturel n, y n 2 .   c) Étudier le sens de variation de la suite y n .   d) La suite y n est-elle convergente? Partie B: Etude d'une fonction 4x e−1 Soit g la fonction définie sur [ 0;∞ [ par: gx=2 et Cgsa courbe   4x e1 représentative. 1. Montrerque la fonctiongvérifie les conditions C 1 et C 2 . 2. a)Montrer queCgadmet une asymptote  dont on donnera une équation. b) Étudier les variations degsur [ 0;∞ [. 3. Déterminerl'abscisse  du point d'intersection de l'asymptote  et de la tangente àCgà l'origine. 4. Tracer,dans un repère orthonormal d'unité 5 cm la courbeCget les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B. Page 4/5

Exercice 4: (5 points)Candidats ayant suivit l'enseignement de spécialité

Partie A: Restitution organisée des Connaissances

1. Énoncerle théorème de Bézout. 2. Énoncerpuis démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B: Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. Onconsidère l'équation (E) suivante: 2n 3x7y=10 , oùxetysont des entiers relatifs. a) Déterminer un couple vu ; 3 d'entiers relatifs tels que x7y=1 .  En déduire une solution particulière x ;y 0 de (E 0 ). b) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solution de (E).

2n 2. Onconsidère l'équation notée (G): 3x²7y²= 10 ,oùx et y sont des entiers relatifs. a) Montrer que 100≡2[7] et démontrer que si(x;y)est solution de (G), alors 2n 3x≡2[7] . b) Reproduire et compléter le tableau suivant:

Reste de la division euclidienne dexpar 7 Reste de la division 2 euclidienne de 3x par 7

0

1

2

3

4

5

n c) Démontrer que2 estcongru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l'équation (G) n'admet pas de solution.

6

Page 5/5