Baccalauréat STG CGRH-Métropole -22 juin 2010

Kdouh

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Avec correction. énoncé et corrigé
Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STG GRH

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Extrait

Baccalauréat STG CGRH-Métropole -22 juin 2010 L’usage de la calculatrice est autorisépour cetteépreuve. Le candidat est invitéàfaire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Pour chaque question, trois réponses sont proposées,une seule réponse est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte1point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point. Au rayon «multimédia » d’un magasin, unécran plat et un lecteur DVD sont en promotion pendant une semaine. Un clientétant choisi au hasard, on désigne par :  – A l’évènement « le client achète l’écran plat en promotion ».  – B l’évènement « le client acquiert le lecteur DVD en promotion ». 1 1 1 On estime que p ( A ! ; p ( AÇB ! 1 et que la probabilitéde l’évènement « le client achète 3 9 les deux 1 objets en promotion » est . 18 Pour répondre aux questions suivantes on pourra s’aider d’un arbre de probabilités ou d’un tableau. 1. p ( A ! estégaleà: 17 1 2  a. b . c. 18 6 3 p ( B ! 2.estégaleà: 1 5 13  a. b . c. 6 18 18 p ( B ! 3. A estégaleà: 1 1 1  a. b . c. 2 18 6 ( AÈB 4. p ! estégaleà 1 4 1  a. b . c. 2 9 18

EXERCICE 2 8 points  Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à30 kg du produit par semaine. A) Étude du prix de revient unitaire moyen : x 1.Le prix de revient d’un produit dépend de la quantitékg de produitproduite. Pour fabriqué, le prix  de revient moyen d’un kg de ce produit, expriméen euros, est modélisépar la fonction U dont 1 72 2 x  l’expression est U(x)1x%11x#100# où appartientàl’intervalle [5 ; 30]. 3x

 Quel est le prix de revient moyen d’un kg de produit lorsqu’on en fabrique 5 kg par semaine ? %1  On arrondira le résultat à 10 près. 2.Àl’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs donnéen annexe 1, %1  On arrondira les résultatsà 10 près. B) Étude graphique du bénéfice :  Le laboratoire s’intéresse maintenant au coût total de production, expriméen euros et modélisépar la 1 3 2 x  fonctionCdont l’expression est C(x)1x%11x#100x#72 oùappartientàl’intervalle [5 ; 3 30].  La courbe représentative de la fonctionCsur l’intervalle [5 ; 30] est donnée enannexe 2. 1.Par lecture graphique, estimer la quantitédont le coût total de production est de 600€.  On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique. 2. a. Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60 € le kg.  Donner, en fonction de x, l’expression R(x) de la fonction R modélisant la recette.  b. Représenter graphiquement, sur la feuille annexe 2, la fonction R sur l’intervalle [5 ; 30].  c. Le laboratoire souhaite connaitre l’intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à  vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ?  On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique. C) Étude algébrique du bénéfice :  Le bénéfice réalisépar l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production,  est expriméen euros et modélisépar la fonction B dont l’expression est : 1 3 2 ( x B x)1 %x#11x%40x%72 oùappartientàl’intervalle [5 ; 30]. 3 1.Conjecturer les variations deBàl’aide de la calculatrice. B'(x)1 %(x%2)(x2%0) 2..Montrer que 3.En déduire les variations de B sur l’intervalle [5 ; 30]. 4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera  prise en compte dans l’évaluation.  a.On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantitéà produire pour réaliser  un bénéfice maximum.  b.Le service de commercialisation du laboratoire a fixéun objectif de venteentre 15 kg et 24 kg pour la  semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable ? EXERCICE 3 8 points Dans cet exercice on s’intéresse à l’évolution du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) sur 5 ans. On utilisera les informations fournies par : – le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, dans lequel la base 100 des indices de salaires correspond à l’année 2005 (les indices sont arrondis à10−1près et les valeurs successives du SMIC horaire brut sont arrondies au centime d’euro près), – le graphique ci-dessous composé d’un nuage de points et d’une droite qui en réalise un ajustement affine. A FB C D E 1 Année (xi) 2005 2003 2007 2008 2009 2 y 8, 27 8, 03 8, 718, 44 8, 92 SMIC horaire brut en euros i 3 Indice 100 103,0 105,1 108,5 109,8

y 9,5 9,4 9,3 9,2 9,1 9 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8,2 8,1 8 7,9 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 x 7,8  SMIC horaire brut en euros A) Taux d’évolution et indices : 1. Quelle formule a-t-on introduite en C3, puis recopiée vers la droite, pour obtenir les indices de salaire  de 2006 à 2009 ? %1 2. Déterminer le taux d’évolution global du SMIC, arrondi à 10 près, entre 2005 et 2009. %1 3. Calculer le taux d’évolution moyen, arrondi à 10 près, entre 2005 et 2009. er B) 1 modèle d’évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés 1. Ci-dessus, on a représenté le nuage de points correspondant à l’évolution des salaires et sa droite de  régression deyenxobtenue par la méthode des moindres carrés.  À l’ aide de la calculatrice, déterminer une équation de cette droite. On arrondira les coefficients %2  à 10 près. 2.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse  , sera prise en compte dans l’évaluation.  On admet que l’ajustement affine réalisé par la droite représentée dans le graphique ci-dessus reste  valable jusqu’en 2010. Proposer alors une estimation du SMIC en 2010. e C) 2 modèle d’évolution : utilisation d’une suite ( ! u11, 0248, 03  Soit u n la suite géométrique définie par son premier terme 0 .et sa raison u u 1. Exprimer n#1 en fonction de n . 2. Exprimerunen fonction den. %2 u a. Calculer 5 .On arrondira le résultat à 10 près. b. Comment peut-on interpréter u 5 ?

x U(x)

5

10

15

Annexe 1 à rendre avec la copie

16,5

17

18,5

Annexe 2 à rendre avec la copie

20

25

30

y 2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

5

10

15

20

25

30

x

Exercice 1 : (4 points) 1 1 On sait que : p ( A ! 1 et p ( AÇB ! 1 3 9 1 1 la probabilité de l’évènement « le client achète les deux objets en promotion » est , donc p ( AÇB ! 1 18 18 1 1 2 2 1. p ( A ! 1 ,donc p ( A ! 11%p ( A ! 11% 1 , donc p ( A ! 1 Réponse c 3 3 3 3 1 1 3 1 2.A et A forment une partition de l’univers. Donc p ( B ! 1p ( AÇB ! #p ( AÇB ! 1 # 1 1 9 18 18 6 1 p ( B ! 1 Réponse a 6 p ( AÇB ! 8 1 1/1 1 p ( B ! 1 p ( ! Réponse c 3. A 1 1 A B1 p ( A ! 1/ 3 6 6 1 1 1 4 4. p ( AÈB ! 1p ( A ! #p ( B ! %p ( AÇB ! 1 # % 1 Réponse b 3 6 18 9 Exercice 2 : (8 points)

A) Étude du prix de revient unitaire moyen : 1 3 72 1. U(5)1 ´5%11´5#100# 167, 7 . Le prix de revient moyen d’un kg de produit lorsqu’on en 3 5 %1  fabrique 5 kg par semaine est 67,7 € à 10 près. %1 2. Tableau de valeurs : résultats à 10 près. x 5 10 15 16,5 17 18,5 20 25 30 U(x) 67,7 30,5 14,8 13,6 13,6 14,5 16,9 36,3 72,4 B) Étude graphique du bénéfice : 1. Le point de la courbe d’ordonnée 600 à pour abscisse 23.  Donc pour 23 kg de produit fabriqué, le coût total de production est de 600 €. x 2. a. Le prix de vente du produit est de 60 € le kg. Donc la recette R(x) pour kg de produit fabriqué est R(x)160x .  b. Voir figure  c. Pour réaliser un bénéfice, il faut que la courbe représentant la recette soit au dessus de celle  représentant les coûts  Graphiquement, l’intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser  un bénéfice est [6 ; 28]. C) Étude algébrique du bénéfice : 1. à l’aide de la calculatrice, on peut dire que :  B est croissante sur [ 5 ; 20 ] et décroissante sur [ 20 ;30 ] 1 2 2 2. B est dérivable sur [ 5 ;30 ] . B'(x)1 % ´3x#11´2x%401x%2#2x4%0 3 2 2  Or : % ( x%2 ! ( (x2%0 ! 1(x%20%x2x%40)#x1 %22x#40 . Donc B'(x)1 %x%2x2%0 ( ! ( ! 3. Signe de B'(x) : x  5 20 30 x%2 + + x % 20 + 0 ( x%2 ! ( x%20 !  0 + B'(x)1 % ( x%2 ! ( x2%0 !  + 0  On en déduit donc que : Sur [ 5 ; 20 ] ,B'(x) est positive, donc B est croissante . Sur [ 20 ;30 ] , B'(x) est 1  négative, donc B est décroissante. Pour x 1 20 , B est maximal et vaut B(20) 861, 33 . 4. a. Pour x120 , B est maximal .  Donc la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum est de 20 kg  b. B(15)1678 ;B241 bénéfice minimum envisageable sera de 678 €. 696 .Le ( ! Exercice 3 : (8 points) A) Taux d’évolution et indices : 1. La formule introduite en C3, puis recopiée vers la droite, pour obtenir les indices de salaire de 2006 à  2009 est : =C2 /( B2*B3 ) %1 2. Taux d’évolution global du SMIC, arrondi à 10 près, entre 2005 et 2009 : v%v f i 8,82%8, 03 9, 8% t g 11 1 0, 098 , soit v8, 03 i  Autre méthode :  En 2005 : indice est de 100  En 2009 : indice est de 109,8 .Donc 109,8 – 100 = 9,8 %1  Donc le taux d’évolution global du SMIC, arrondi à 10 près, entre 2005 et 2009 est 9,8

t 3. Soit m le taux d’évolution moyen, entre 2005 et 2009. 4 4 4 1/ t 1 #tÛt11, 098%1»0, 024 t t  Alors m vérifie : 1# g 1 ( 1# m ! 098 donc 1, ( 1 m ! m ( ! %1 2, 4%  Le taux d’évolution moyen, arrondi à 10 près, entre 2005 et 2009 est de .

B) 1er modèle d’évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés

1. Une équation de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés est : %2 y120x%396, 96 y10, 202x% près.) 396, 96 (coefficients à 10 soit 0, 2. Pour x 1 2010 : y10, 20´2010%396, 9619, 04 %2 y10, 202´2010%396, 961 Il ne faut pas arro 9, 06 . ndir à 10 les coefficients, sinon on perd en  précision. Une estimation du SMIC en 2010 sera de 9,06 €

C) 2 e modèle d’évolution : utilisation d’une suite

u11, 024´u 1. n#1n

n n 2. u1u´ ( 1, 024 ! 18, 03´ ( 1, 024 ! . n0

5 %2 a. u18, 03´ ( 1, 024 ! » 10 près.9, 04 à 5

%1 b. Le taux d’évolution moyen, arrondi à10 près, entre 2005 et 2009 est de 2,4 %. u u11, 024´u  Donc si n représente la valeur du SMIC à l’année 2005 + n, alors n#1n .  Donc u 5 correspond à la prévision du SMIC en 2010. y 2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

0

5,8 5

10

15

20 23,05 25

28,4

30

x