Corrigé du DS n°3 de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Ds n-3 nov 2010
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

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Terminale S3

 Corrigé du DS n°3 Duréeesheur4:

19 Novembre 2010

Exercice 1 Pondichéry – Mars 2003 (5 points) Extrait ¡ On considère la fonction numériquefpar : définie sur 2 x 2x % 1 f(x) 1 xe % . 2 Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthonormal.

Conjecture À l’observation de cette courbe, quelle conjecture pensez-vous pouvoir faire concernant le sens de variations def sur [-3 ; 2] ? [ %3 ; 2 ] f.semble croissante sur Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non cette conjecture et de la compléter.

Contrôle de la conjecture 1.Calculerf'(x) pour tout réelxg(, et l’exprimer à l’aide de l’expression x) , où g est la fonction x % 1 g(x) 1 ( x # 2 ! e % 1 ¡ définie sur par : . x%1 2x%1 2x1%x1% ¢ ( ! 1 ´ ( ! f ¢ ( x ! 12xe#x e%x1 ( x#2x ! e%x1x ( ( x#2 ! e%1 ! 1x´g ( x ! x g xf x donc 2.Étude du signe de g(x) pourxréel. #¥ a.g(Calculer les limites de x) quandx, puis quand tend vers x tend vers . x e1 x x g ( x ! 1 ( x#2 ! %1 oug ( x ! 1 ( xe#2e ! %1 limg ( x ! 1 #¥ limg ( x ! 1 % e e x |#¥ x |%¥ ; et . b.Calculer g '(xétudier son signe suivant les valeurs de) et x. x%1 x%1x1%x1 g ¢ x ! 1 ( x#3 ! e ¢ e ( g ( x ! 1e# ( x#2 ! e1 ( x#3 ! donc est du signe de (x+ 3) c'est-à-dire positif lorsquexest supérieur à -3 et négatif sinon. c.g , puis dresser son tableau de variations.En déduire le sens de variations de la fonction

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1

2

x

g'(x)

g(x)

- 

-1

-3

0

% 4 % e

1

+ 

+ 

¡ a d.Montrer que l’équation g(x) = 0 possède une unique solution dans . On note cette solution. 0, 20 0a0 0, 21 Montrer que ] %¥;%3 ] g ( x ! 0 %1 g ( x ! 10 Sur , : l’équation n’a donc pas de solution sur cet intervalle. %4 [ %3;# ¥ [ g ( [ % 3; # ¥ [ ! 1 é % e % 1; é #¥ ë ë Sur ,gest continue, strictement croissante et , l’équation g ( x ! 10 a admet, sur cet intervalle, une solution unique appelée . g ( 0, 20 ! ;%0, 011 g ( 0, 21 ! ;0, 003 0, 20 0a0 0 , 21 et : on en déduit .

e.g(Déterminer le signe de x) suivant les valeurs dex. ] -¥;a [ ,g ( x ! £0 ] a;# ¥ [ ,g ( x ! 20 Sur et sur .

¡ 3.Sens de variations de la fonctionfsur . a.Étudier, suivant les valeurs dexne de , le si 'x. a #¥ x  0 x+ + 0 g ( x !  0 + f ¢ ( x ! + 0 0 +

b.En déduire le sens de variations de la fonctionf. ] %¥ ; 0 ] [ a;# ¥ [ D’après le signe de la dérivée, on peut dire quef est croissante sur et sur et qu’elle est [ 0 ; a ] décroissante sur .

c.Que pensez-vous de votre conjecture ? La conjecture est donc fausse.

Exercice 2  (6 poi nts) Antilles Guyane – Juin 2008 9 %2x%3x f ( x ! 1e%3e 2 Soitfla fonction définie surpar : . Partie A % 3x y' # 2y 1 3e Soit l’équation différentielle (E) : .

1.

y' # 2y 1 0 Résoudre l’équation différentielle (E’) : .

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( E ¢ ! Ûy%1 ¢ 2y ( E ¢ ! ¡ . D'après le cours, les solutions de sont les fonctions définies sur de la % 2x xaCe C forme , où est une constante réelle. 9 %2x ( x ! 1 e 2 2.En déduire que la fonctionhdéfinie surparhest solution de (E’). 9 C 1 2 En particulier, avec , on obtient la fonctionh. % 3x g ( x ! 1 % 3e 3.Vérifier que la fonctiongdéfinie surpar est solution de l’équation (E). % 3x g g ¢ (x) 1 9e ¡  est dérivable sur et . %3x%3x3%x g ¢ (x)#2g(x)19e%6e13e, Par conséquent, pour tout réelx: ce qui prouve queg est bien solution de (E).

4.En remarquant quef=g+h, montrer quefest une solution de (E). f 1 g # h f ¢1 g #¢ h Comme , on a , donc, pour tout réelx: %3x f ¢ (x)#2f(x)1g( ¢ x)#2g(x)#h(x ¢ )#2h(x)13e , 1 44 2 4 43 142443 %3x 0 3e etf est alors bien solution de (E). Partie B (O;i,j) On nomme C f la courbe représentative defdans un repère orthonormal d’unité 1 cm. %2x æ 3 %x ö f ( x ! 13e%e ç ¸ 2 ¡ è ø 1.Montrer que pour toutxde on .a : % 3x æ ö 9 % 2x % 3x2 % x 3e 2 % x æ 3 x f(x) 1 e % 3e 1 3e % 1 3e % e ç % 2x ¸ ç 2 è 2e ø è 2 ø . #¥ %¥ 2.Déterminer la limite defen puis la limite defen . #¥ ·limite defen

2 %2x 1 æ 1 ö lime1lim1lim1 #¥ 2x ç x ¸ x|%¥ |x%¥ |%x¥ e è e ø  . æ 3 % x ö % x lim % e 1 % lime 1 #¥ ç ¸ x |%¥ x |%¥ è 2 ø De même , donc et par produit des limites, on en déduit que % 2x æ 3 % x ö lim 3e % e 1 % ç ¸ x | %¥ è 2 ø .

·

%¥ limite defen

2 %2x 1 æ 1 ö lime1lim1lim10 2x ç x ¸ x|#¥ |#x¥ |#¥x e è e ø .

æ 9 % 2x % 3x ö % 3x lime % 3e 1 0 lime 1 0 ç ¸ x |#¥ x |#¥ è 2 ø De même , on en déduit par opérations sur les limites que . Graphiquement, cela signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à C f  au voisinage de .

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3.Étudier les variations de la fonctionfet dresser le tableau de variations def. ¡ f(combinaison simple de fonctions qui le sont) et, pour tout réel est dérivable sur x: 9 % 2x % 3x2 % x3 % x3x % x f ¢ (x) 1 ´ ( % 2)e % 3 ´ ( 3 % )e 1 9 % e9 # e9 1 e ( e % 1 # ! 2 % 3x x f ¢ (x) 9e 2 0 % e # 1 Comme, pour tout réelxa le même signe que , , . x x % e # 1 £ 0 Û 1 £ e Û 0 £ x f ¢ (x) £ 0 Û x ³ Or: , donc . 9 0 0 3 f(0) 1 e % 3e 1 2 2 Par ailleurs . On en déduit le tableau de variation suivant:

4.

Tracer l’allure de la courbe C f  dans un repère adapté.

Exercice 3 (4 points) Extrait Antilles - Guyane Sept 2009

f x Soit la fonction définie pour tout nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1] par : f(x) 1 1 # xlnx f f On note la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle ]0 ; 1]. ÷ø ( C ! ( O, , ! f est la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal . Page4sur7

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y 1 x T est la droite d’équation .

limf ( x ! 1 1 x | 0 1.a..Justifier que limf(x) 1 1 limxlnx 1 0 x | 0 x | 0 D'après les formules de croissances comparées, donc . x Î ] 0 ; 1 ] xlnx b.En utilisant le signe de sur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre réel , on a f(x) £ 1 . f(x)11#xlnx£1 x Î 1]]0 ; lnx £ 0 xlnx £ 0 Pour tout , donc et .

f ¢ ( x ! x Î ] 0 ; 1 ] 2.a..Calculer pour tout nombre réel ]0 ; 1] f. est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur 1 f ¢ (x) 1 0 # 1 ´ lnx # x ´ 1 1 # ln f ¢ (x) 1 1 # lnx x Î 1]]0 ; x Pour tout , ; .

( C ! b.Vérifier que la droiteT est tangente à la courbe au point d’abscisse 1. y 1 f ¢ (1)(x % 1) # f(1) f ¢ (1) 1 1 f(1) 1 1 L'équation réduite de la tangente à (C) en 1 est : ; et . y 1 (x % 1) # 1 y 1 x Cette équation est donc : soit : . Cette tangente est doncT.

x Î ] 0 ; 1 ] 3.On noteg la fonction définie pour tout nombre réel par g ( x ! 11#xlnx%x . a.Étudier les variations degsur l’intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation deg. ] 0 ; 1 ] gcomme somme de fonctions dérivables. est dérivable sur g ¢ (x)1f( ¢ x)%11lnx x Î ]0 ; 1] g(x) 1 f(x) % x Pour tout , donc .

( C ! b.et de la droiteEn déduire les positions relatives de la courbe T. x Î ]0 ; 1] g ¢ (x) £ 0 ]0 ; 1] lnx£0 Pour tout , donc . On en déduit queg. est décroissante sur g(1) 1 0 Or . g(x) ³ 0 1]]0 ; Par conséquent, sur . ]0 ; 1] On en déduit que (C) est au-dessus deT sur .

Exercice 4 (5 points) La Réunion – Juin 2008

(O;u,v) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . Soit (C) le cercle de centreOet de rayon 1. p i 3 z 1 e A On considère le pointAde (C)d'affixe . 2p z 3 B 1.du pointDéterminer l'affixe Bimage deApar la rotation de centreOet d'angle . Page5sur75

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2p z C 3 Déterminer l'affixedu pointCimage deBpar la rotation de centreO.et d'angle 2 p 2p i 3 3 z ¢1 ze Par définition de l'expression complexe de la rotation de centre O et d'angle : . 2p p 2p i i i ip 3 3 3 z 1 z ´ e 1 e ´ e 1 e 1 % 1 B A Donc, en particulier : . 2 p 2 p 5 p p i i i i % i p 3 3 3 3 z 1 e z 1 e ´ e 1 e 1 e 1 z C B A De même : . 1 3 z 1 z 1 % i C A z1 %1 B 2 2 Finalement : et (donc A et C sont symétriques autour de l'axe des réels).

2.a.Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangleABC.Construire les pointsA,BetCsur la feuille de papier millimétré. z1z1z11 A B C , donc :OA=OB=OC= 1. Les trois points A, B et C sont à la distance 1 du point O : ils appartiennent au cercle de centre O circonscrit au triangle ABC c'est-à-dire le cercle (C) .

Construction : on dessine le cercle (C) et le cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1 ; ces deux cercles sont sécants en A et C, le point A étant celui qui a une ordonnée positive. B est le point d'intersection de (C) avec le demi-axe contenant les points d'affixes négatives.

b.Quelle est la nature du triangleABC? Justifier. uuu uuu 2 p 2p ( OA,OB ! 1 3 3 D’après la question 1) , B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle donc . uuu uuu 2 p ( OB,OC ! 1 3 De même C est l’image de B donc . uuu uuu 2 p ( OC,OA ! 1 3 De ces deux hypothèses et à l’aide de la relation de Chasles, on peut en déduire que . 2p 3 Les triangles OAB, OBC et OCA sont isocèles de sommet principal O et admettent pour angle en O p 3 donc les deux autres angles sont égaux à . 2p 3 Ainsi les angles géométriques CAB, ABC et BCA sont égaux à .ce qui prouve que le triangle (ABC) est équilatéral.

3.Soithl'homothétie de centreOet de rapport −2. a.Compléter la figure en plaçant les pointsP,QetRimages respectives des pointsA,Bet C par h. b.Quelle est la nature du trianglePQR? Justifier. Le triangle PQR homothétique de ABC est semblable à ce triangle, donc lui aussi équilatéral.

4.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas. a.Donner l’écriture complexe deh. z% ¢ 12z. L'écriture complexe deh est :

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z # z # z A B C b.Calculer . En déduire queAest le milieu du segment [QR]. z # z # z 1 0 z1 %z%z A B CA B C c'est-à-dire or : 1 1 z 1 % 2z Û % z 1 z z 1 % 2z Û % z 1 z Q B B Q R C C R 2 2  et z # z 1 1 Q R z 1 % z % z 1 z # z 1 A B CQ R 2 2 2 donc ce qui signifie queA est le milieu de [QR]. c.Que peut-on dire de la droite (QR)par rapport au cercle (C) ? Par définition de l’homothétieP,OetAsont alignés. La droite (PA) médiane du triangle équilatéral (PQR) est aussi hauteur ; donc (OA) est perpendiculaire a la droite (QR). Conclusion : cette droite QR est la tan ente en A au cercle .

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Bon coura e…

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