Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

Thibault Pautrel

Description

Dérivation
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-de-premiere
• Nombre de lectures: 1 629
• Langue: Français

Extrait

Ch...: Application de la dérivation Nous avons vu dans le chapitre précédent la notion de nombre dérivé, puis de fonction dérivée. Cette dernière notion va aider les mathématiciens à effectuer des travaux sur les fonctions, comme trouver le sens de variations ou encore les extremums.

I- Signe de la dérivée et variations: Approche: f est la fonction définie sur [0;4] par f(x) = (x – 2)². a) Dans un repère tracer la courbe représentative de la fonction f puis son tableau de variation. Tracer les tangentes en quelques points d'abscisse a dans l'intervalle [2;4]. Quel semble être le signe du coefficient directeur de chacune de ces tangentes ?

Plus généralement, conjecturer le signe de f'(a) pour tout réel a de [2;4].

b) Conjecturer également le signe de f'(a) pour tout réel a de l'intervalle [0;2].

c) Calculer f'(a) pour tout réel a de [0;4] et retrouver le signe de f'(a) conjecturé.

d) Quel lien constate-t-on entre le sens de variation de la fonction f et le signe de sa dérivée ?

Propriétés: Dans toutce qui suit, f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

  P1: Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x de I, f 'x0 . Démonstration:  ∈ x est un réel de I et h est un réel non nul tels que x hI . ●       Si h > 0, alors x hx . Or f est croissante sur I donc h ff xx . ● Si h < 0, alors .... Or f est croissante sur I donc... Dans les deux cas, f(x + h) – f(x) et h sont de même signe, donc:  −   f xh fx  0 h  −   f xh fx f est dérivable en x donca une limite réelle f'(x) lorsque h tend vers 0.. h  −   f xh fx Si l'on donne à h des valeurs proches de 0, alorsprend des valeurs ..., on conçoit et on h   admet ici que sa limite en 0 est aussi positive, c'est-à-dire xf '0 .

P2: Si f est une fonction constante sur I, alors pour tout réel x de I, f'(x) = 0 Démonstration:  −   f xh fx f est constante sur I, donc f(x + h) = ... et=... h Par conséquent, f'(x) = ...

  P3: Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x de I, xf '0 Démonstration: (façon analogue à P1) ...

T. Pautrel- Applicationsde la dérivation- niveau1ère S

Remarque:Les 3 propriétés admettent leurs réciproques.

Illustrer P1, P2 et P3:

f'(x) s'annule sur l'intervalle [c;d]f'(x) ne s'annule pas sur [a;b] ou bien seulement en quelques points de contenu dans [a;b].[a;b]. On dit que la fonction est strictement croissante sur [a;b]. y Exemple: ℝ f est la fonction définie surpar f(x) = - 2x² + x + 1. a) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. b) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction f. 1

II- Extremum local, maximum et minimum:

0

1 x

Problème d'approche:   A et B sont deux points tels que AB = 6. M est un point du segment [AB] tel que AM = x avec 0x6 . On construit du même côté de la droite (AB) les carrés AMNPet MBQR. Existe-t-il une position de M pour laquelle la somme S des aires des deux carrés est minimale ? 1) Étudedu problème: a) Démontrer que pour tout réel x de [0;6], la somme S(x) des aires des deux carrés est égale à x² + (6 – x)². b) Tracer la courbe représentative de la fonction S à la calculatrice. Conjecturer la valeur minimale de S. Pour quelle valeur de x semble-t-elle obtenue ?  −  c) Pour tout x de [0;6], calculer S(x) – S(3) et démontrer que SS x3 0 . d) En déduire la position de M sur [AB] qui est telle que la somme des aires des deux carrés est minimale. 2) Unlien avec ladérivée: a) Tracer des tangentes en quelques points d'abscisse a dans l'intervalle [0;6]. Quel semble être le signe du coefficient directeur de chacune de ces tangentes ? Plus généralement, conjecturer le signe de S'(a) pour tout réel a de [0;6]. b) Calculer S'(a) pour tout réel a de [0;6] et retrouver le signe de S'(a) conjecturé précédemment.

T. Pautrel- Applicationsde la dérivation- niveau1ère S

c)Il semble que le fait que la fonction S admette un minimum sur l'intervalle [0;6] puisse être traduit à l'aide de sa dérivée. De quelle façon ? ........................................................................................................................................................................................ 1) Extremumlocal et dérivée:

Définition: Soit la fonction f définie sur un intervalle I et x 0 est un réel de I. ➢ Dire que f(x 0 ) est un maximum local (ou minimum local) de f signifie que l'on peut trouver un intervalle    ouvert J inclus dans I et contenant x 0 tel que pour tout x de J, f xf x 0 (ou l'inverse s'il s'agit d'un minimum) ➢ Dire que f(x0) est un extremum local signifie que f(x0) est un maximum local ou minimum local.

Propriétés:(admises) P1:La fonction f est dérivable su un intervalle ouvert I et x 0 est un réel de I. Si f(x 0 ) est un extremum local de f, alors f'(x) = 0. Remarque: 3  = ℝ La réciproque de ce théorème est fausse. Par exemple si f xx sur un extremum local de f.

, alors f'(0) = 0, cependant 0 n'est pas

P2:La fonction f est dérivable sur un intervalle ouvert I et x 0 est un réel de I. Si f s'annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum local. Exemples: x x 0 f'(x) -+ f(x)

f(x 0 ) est un minimum local x x 0 f'(x) +- f(x) f(x 0 ) est un maximum local

2) Majorant,minorant: Définitions: La fonction f est définie sur un intervalle I; Dire que M est un majorant de f surDire que m est un minorant de f surDire que f est bornée sur I signifie I signifie que pour tout x de I,I signifie que pour tout x de I,que f admet un majorant et un    f xM fx m minorant sur I.

T. Pautrel- Applicationsde la dérivation- niveau1ère S