Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

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Polynômes-second degré
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première SSI

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• Langue: Français

Extrait

POLYNÖME DU SECOND DEGRE 2 1-fonction trinôme du second degré f:x# #c aa xb x avec a ¹ 0 . A - FORME CANONIQUE et factorisation 2 Soit f:xaa x#b x#c avec a¹0 un trinôme du second degré . Comme a¹0 , pour tout réelx: 2 2 æ ö æ ö 2 2 b c 2 b 2 b 2 b b a x#b x#c1a x#x# .Or x#x est le début du développement de x# 1x#2´x# . ç ¸ ç ¸ 2 a a a è ø è 2a ø 2a 4a 2 2 é 2 ù é 2 ù æ b ö b c æ b ö b%4ac 2 ê úê Donc , pour tout réelx, a x#b x#c1a x# 1# %a x# % forme canonique ç ¸ç ¸ 2 2 ê úê è 2a ø 4 a a è 2a ø 4a ë ûë 2 Le réelse noteD(delta)et s’appellele discriminant du trinôme. D 1b%4ac 2 æ ö 2 22 é 2 ùù é æ ö æ b ö b%4ac æ b ö Dæ b ö D ç ¸ ê úê ú p(x)1a x# %1a x# % 1a x# % ç ¸ 2 ç ¸ 2 ç ¸ ç ¸ ê 2a 4aú ê 2a 4aú 2a2a è øè øçè ø¸ è ø ë ûë û è ø æ öæ ö æ öæ öæ öæö æ b ö D æ b ö D bDbD ç ¸ç ¸ p(x)1a x# %x# #1a x# %x# #1a ( x%x ! ( x%x ! ç ¸ç ¸ 1 2 ç ¸ç ¸ç ¸ç ¸ ç 2a2a ¸ç 2a2a ¸ 2a2a2a2a è øè ø è øè øè øè ø è øè ø 2 B-Résolutiondel’équation: a x#b x#c10 D 0 0 D 1 0 D 2 0 Equation Pasde solutionUne solution doubleDeux solutions distinctes 2 b a x#b x#c10%b% %b# D x1 % 0 x1 et x1 1 2 2a 2a2a 2 Factorisation Pasde factorisation f(x)1a(x%x)(x%x) f(x)1a(x%x) 1 2 0 C-Représentation graphique b æ b ö bf f( ) La représentation graphique est une parabole de sommet S(a;b) avec a1 % et % ¸1 ç1a . 2a 2a è ø Cas où a20 Cas où a00 La parabole est tournée vers le hautLa parabole est tournée vers le bas y y S b 0 1x a 1 a 0 1x b ¥ a %¥ a x % #¥ x #¥ #¥#¥ b f(x)bf(x) %¥%¥ b b f admet un minimum en a1 % f admet un maximum en a1 % 2a2a · La représentation graphique dans un repère orthogonalest une parabole, dont le sommet est b æ b b  S( % ; f% ).droite d’équation La x1 % est un axe de symétrie deP. ç ¸ 2a 2a 2a è ø · Sia> 0 , les branches de la parabole sont tournées vers le haut. · Sia< 0 , les branches de la parabole sont tournées vers le bas. 2 Comme nous l’avons vu , le trinôme du second degré f:xaa x#b x#c ( aveca¹0 ) , peut aussi 2 s’exprimer sous la forme f:xaa(x%a)#b ( forme canonique ) . Ainsifest une fonction associée à la 2 2  fonction xax courbe représentative de la fonction. La f:xaa x#b x#c , s’obtient à partir de la  parabolePd’équationy = x² en effectuant une translation de vecteur ai#bj , puis une dilatation ,  c’est à dire une “une multiplication para” .

2-Interprétations graphiques Position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses 1°/ aD 02 00 Pas de racine b D 2 0 : xx Deux racines 1 et 2 D 1 0 : 1 seule racine 0 x1a1 % 2a y y y

1 1 x 0 0 1x 0 1x x 0 0 x b x %¥ %¥ %¥ #¥ x #¥ x xx #¥ x 2 01 f(x)f(x)f(x) 00 % # # + 0 # # 2°/ a 0 0D 0 0 : Pas de racine b xx D 2 racines 0 :Deux 1 et 2 0 ne 0 D 1 : 1 seule raci x1a1 % 2a y y y 1 S b 0x 0 1x a 0 1x a

¥ #¥%¥ x % x #¥ x %¥ #¥ xx 01 x 2 f(x)f(x)f(x) % % 0 0 #% %0 % Théorème 2 x f(x)1a x#b x#c est du signe deasauf pour les valeurs decomprises entre les racines lorsque D 20 D 00D 10 x %¥ #¥ x %¥ #¥ Signe de x 0 f(x)f(x) Signe de f(x) a Signede a0Signe de a D 2 0 x #¥ %¥ x x 1 2 f(x) Signe de a 0 Signe de%a 0 Signe de a IV. Somme et produit des racines Théorème: Somme et produit des racines  Lorsquele trinôme admet deux racines distinctes ou confondues, la somme S et le produit P des racines b c  sontdonnés par : S1 %  et P1 a a Application : Démontrer le théorème 4. Théorème Deux nombres réels ont pour somme S et produit P si et seulement si ils sont solutions de l’équation 2 x%Sx#P10 ì a#b1S a bS ì # 1 ï ì a#b1S Û Û Démonstration: Soita etbdeux nP. ombres tels que í í í 2 1 abP a# 1S a%Sa#P10 î î ï î a 2  etaest solution de l’équation x%Sx#P1 0 . On procède de même pourb. Application:2 1. Résoudrex² – 5x+ 3 = 0.  2.On donne les 2 racines a = 3et =2 du polynôme A(x) du second degré.  Trouverle polynôme A(x). ì xy16 3. Résoudre dansRle système í x#y15 î

Quelques remarques importantes: 2 1. La parabole d’équation f(x)1ax#bx# c ,a ¹ 0 est orientée vers le haut lorsque a 2 0 . 2 2. La parabole d’équation f(x)1ax#bx# c ,a ¹ 0 est orientée vers le bas lorsque a 0 0 . b 2 ¹ 0 3. La droite d’équation x 0 1 % est l’axe de symétrie de la parabole d’équation f(x)1ax#bx# c , a. 2a Dfénitioin5 : 2 O;i,j Soit ( ! un repère du plan et P la parabole d’équation f(x)1ax#bx#c , a¹0. æ bD ö %;%  Le sommet de la parabole a pour coordonnées ç ÷ . 2a4a è ø Position de la parabole par rapport aux axes du repère ( O;i,j ! æ öæ %b%% Db# D 1. Lorsque> 0 , la parabole coupe l’axe x'Ox en deux points :M 1 et M , 0 2 , 0 ç ÷ç 2a2a è øè ø  P(x)admet deux solutions et la courbe représentative de la fonction polynomiale associée coupe l’axe ( ; ! ( x; 0 !  desabscisses en deux points de coordonnées x 1 0 et 2 . 2. Lorsque< 0,P(x) n’admet pas de solution et la courbe représentative de la fonction polynomiale  associéene coupe pas l’axe des abscisses. 3. Lorsque= 0,P(x) admet une solution doublex 0 et la courbe représentative de la fonction polynomiale  associéeest tangente à l’axe des abscisses en un point uniquede coordonnées (x 0 ; 0) POLYNÔME n f x1a x , avec aÎR Définitions:On appellefonction monômetoute fonction définie sur R ( ) , par n n a et n  et nÎN . a x est le monôme de coefficient n d’exposant . n a¹0 n si n , estle degré du monôme Remarque : une constante a 0 fficientpeut être considérée comme 0 un monôme de coe a et d’exposant 0. Définitions:On appelle(fonction) polynôme, une somme de (fonctions) monômes.  _Un polynôme est réduit s’il ne comporte pas plusieurs monômes de même exposant.  _Le degré d’un polynôme réduit est celui de son monôme de plus haut degré. a ( )  _le réelestune racinede f(a)10 f x .équivaut à 0 Polynômes particuliers: avec a 0 ¹0 : f(x)1a x1a . 0 0 a¹0 a¹0f(x)a  avec 1 et 0 1 1 x#a 0 , degré 1, f(x) est un binôme. 2 f(x)1ax#bx# c ,a ¹ 0 , b¹0 etc¹ degré 2, 0 : f(x) est un trinôme Théorème:polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. 1.Un 1  2.Deux polynômes P et Q non nuls sont égaux( P Q ) si et seulement si : ils ont le même degré, c’est-à-dire deg(P)1deg(Q) · · les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux Définition:On appelle fonction polynôme de degré n toute fonction P définie sur R sous la forme : n np P(x)1a x#a x#....#a x#.....#a x#a x#a n Î aÎR n n%1p2 1 0 où N et i avec 1£i£n p a;a;a;...........; a p 0 12n sont appelés coefficient de P. Le terme a p x est monôme de degréet n1deg(P) Définitionetconventions:  Sion convient quea n 0,nest appelé degré du polynômefet les réelsa i sont appelés coefficients  def.a n 0 est appelé coefficient dominant Opérationsentrepolynômes: Le produit de 2 polynômes non nuls est un polynôme ayant pour degré la somme des degrés des polynômes. d.Factorisation d’un polynôme Théorème:Siaest une racine d’un polynôme P de degrén, alors il existe un polynôme Q de degré (n– 1)  telque : P(x) = (x–a)Q(x). On dit alors qu’on afactoriséP par (x–a) 3 22 Exemple:on a montré que 3 est une racine de P(x)12x%11x#18x%9 . P(x)1(x%3)(2x%5x#3) .