Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale
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Produit scalaire dans l'espace
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Langue Français

Exrait

1. Définitionet conséquences:
Ch...: Produit scalaire dans l'espace
ux ; y ; zOn considère une base orthonormale de l'espace. Soientet u vu.vappelle produit scalaire deet dele réel notéet défini par: u.v=xx 'yy 'zz '
vx '; x ' ; z '
deux vecteurs. On
u1;2;3v2;3;0Exemple: Siet ,on obtient ... Remarques: 2 22 u u.u=xyz=u² Pour tout vecteur, on a. u²==u² On notera par convention. AB.AB=∥AB²AB²=∥AB² De même si A et B sont deux points, on a. on notera parfois. uv Si l'un des vecteursou estnul, alors leur produit scalaire est nul mais la réciproque est fausse: si u1;2;0v2;1;0u.v=1×2−1×20×0=0 et ,. uvv=k uvkx ; ky ; kzSi les vecteurset sontcolinéaires (avec )alors u.v=x×k xy×k yz×k zu.ku=k=ku²u.k u=ku² <=> .Ainsi, . 2. Théorème:autres expressions du produit scalaire: 12 2 212 2212 2 u.v= ∥uv∥ −∥u∥ −∥v∥ ∥u∥ ∥v∥ −∥uv∥ ∥uv∥ −∥uv∥  a) == 224 (identité de polarisation indépendantes de la base orthonormée choisie)
Lors eet ; b) quu0v0u.v=∥u∥×∥v∥×cosu ;v
=v uc)Lorsqueu0;u.v u.v 'v '.sur la direction deest le projeté orthogonal de Démonstration: .......................................................................................................................................................................................
Exemple: ABCDEFGH est un cube d'arête a.
AE.DG Calculons de plusieurs façons le produit scalaire. Méth1:projetés orthogonaux ...
Méth2:dans un repère ...
Lien entre produit scalaire et théorème de Pythagore: uv Soient et deuxvecteurs orthogonaux. 2 22 On a, d 'après le théorème de Pythagore,uv∥ =∥u∥ ∥v. 12 2 2 u.v=0∥uv∥ −∥u∥ −∥v∥ =0 Réciproquement, si, on a, 2 2 2 2 uv∥ =∥u∥ ∥vc'est-à-dire .
uv=u.v=0
Remarque: uSi un vecteurest orthogonal à tout vecteur, alors c'est le vecteur nul. Preuve: ...
3. Propriétédu produit scalaire:
uvSoient et deuxvecteurs de l'espace. Soit k un réel. u.v=v.uSymétrie:(évident d'après la définition) Bilinéarité:(linéarité par rapport aux deux places)   uv.w=u.wv.w ku.v=ku.vet (linéaritépar rapport à la première place) u.vw=u.vu.w u.kv=ku.vet (linéaritépar rapport à la deuxième place) u.u=0= Séparation:si ,alorsu0 Démonstrations: .......................................................................................................................................................................................
Exercice 1: ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a. Démontrer que deux arêtes opposées sont orthogonales. ...
Exercice 2: ABCDEFGH est un cube dont les sommets sont disposés comme sur la figure ci-dessous. Les vecteursAHetCEsont-ils orthogonaux? ...
4. Applicationsdu produit scalaire dans l'espace:
a) Équation cartésienne d'un plan:
n Définition:Un vecteur normalà un plan P est un vecteur non nul dont l
Soit A un point du plan P. On a donc, pour tout point M de P, AM.n=0 . Réciproquement, si un point M vérifieA, alors M.n=0MP.
Conséquence: n Le plan P qui passe par A et qui est orthogonal àest l'ensemble AM.n=0 des points M tels que.
Exemple: Trouver dans un repère orthonorméj ; kO ; i ;une équation cartésienne du plan P passant par   n1;1;2A(2;1;-3) dont un vecteur normal est. .......................................................................................................................................................................................
  Théorème:Dans un repère orthonorméO ; i ;j ; k, tout plan P admet une équation dite cartésienne de la axbyczd=0na ; b ; cforme (a,b, c non tous nuls). Le vecteurest normal à ce plan. Démonstration: ....................................................................................................................................................................................... Cas particuliers: z=0 Le plan (Oxy)a pour équation y=0 Le plan (Oxz) a pour équation x=0 Le plan (Oyz) a pour équation Aa ;0;0B0; b ;0C0;0; cabc0 Le plan passant par les points, et () a pour équation: x y z   =1 a b c Preuve: .......................................................................................................................................................................................
Exercice: On donne les équations cartésiennes de deux plans P et Q: P: x – 4y + 7 = 0 Q: x + 2y – z + 1 = 0 1. Montrerque ces plans sont sécants. On note (d) leur droite d'intersection. 2. Déterminerun vecteur directeur de (d). ....................................................................................................................................................................................... Cet exercice permet ainsi d'obtenir une représentation paramétrée d'une droite dans l'espace Définition: Azy ;x ;Soit d une droite de l'espace passant par le pointA AAet de vecu;; teur directeur. Dire qu'un Mx ; y ; zpoint appartientà d équivaut à dire qu'il existe untAM=tu réel telque . AMxyx ;zy ;ztut; t; t OrAA Aet si: x=tx=xtAA y=ty=yt =>(S) . AA z=tz=ztAA système (S) est unprésentation paramétrique de la droite d dont t est le paramètre. En généralisant l'exercice ci-dessus, (1) (d)est une droite de l'espace, on considère deux plans P et P' sécants suivant (d), de vecteurs normaux na ; b ; cn'; b '; c 'a 'n respectifs et, etn'non colinéaires. Par ailleurs, P et P' ont des P : a xbyczd=0P ' : a ' xyb 'c 'zd '=0 équations cartésiennes de la formeet ,d et d' réels. axbyczd=0 La droite (d) est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que (S'). a ' xb 'zc 'd '=0 La droite (d) est représentée par le système d'équations casiennes (S') (2) Réciproquement,... .......................................................................................................................................................................................
Théorème: Deux plans P et Q sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Deux plan Pet Q sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
b) Distance d'un point à un plan:
axbyczd=0 Soit P un plan de l'espace d'équation quelconque non contenu dans le plan P, de coordonnées
, avec a, b, c réels non tous nuls; et A un point Ax ;y ;z. A AA
Hzy ;x ;H est son projeté orthogonal sur P de coordonnéesH HH. AH Le vecteurest colinéaire à un vecteur normal à P, de coordonnées nb ; ca ;AH=kn donc il existe un réel k tel que. a k Par ailleursAHxx ;yy ;zzxxA= . Donc ,H AH AH Ah; yy=b kzz=c k H AetH A. x=a kyx ;=b kyz=c kz Ainsi,H AH AetH A. HP En outre,donc ces coordonnées vérifient une équation de P. a xb yc zd=0aa kxbb kycc kzd=0 <=> H HHAA A −axbyczdA A A a² ka xb² kb yc² kc zd=0k= <=>AA A<=>2 2 2car a, b, c sont des réels non tous abc nuls. 2 2 22 22 2 =AH=∣k∣×∥nn∥ =a Or,nAH kdonc d∣×abc. avecbc'oùAH=∣k axbyczA A AdaxbyczdA A A AH= ×AH= Ainsi,2 2 2<=> . abc
Ay ;x ;zA retenir:la distance entre le pointA AAet le plan P, pour A non contenu dans P est égale à axbyczdA A A AH= ,H désignant le projeté orthogonal de A sur P.
c) Application à un demi-espace:
axbyczd=0 Le plan P d'équationou a, b et c sont des réels non tous nuls partage l'espace en deux demi-espaces d'inéquation du type: axbyczd0axbyczd0 et (demi-espacesfermés) axbyczd0axbyczd0 et (demi-espacesouverts)
d) Application au cas de la sphère:
Azy ;x ;By ;x ;zSoitAA AetBB B. Trouvons une équation de la sphère S de diamètre [AB]. Mx ; y ; zLa sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace de coordonnéestel que MA.MB=0 . MAxx ; yy ; zzMBxx ; yy ; zzOrA A AetB B B. D'où: xxxxyyyyzzzz=0 A B. Poursuivez les calculs! A BA B .......................................................................................................................................................................................
A retenir:Toute sphère de diamètre [AB], avec I milieu de [AB], soit R = IB = IA, admet une équation de la forme: xx²yy²zz²=I II
Exemple: A0;0;1B1;2;3Donner l'équation de la sphère S de diamètre [AB] tel queet .Vous préciserez les coordonnées de son centre et la longueur de son rayon.
D'après le cours de G.COSTANTINI,http://bacamaths.fr.
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