Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tcherkan

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Statistiques à 2 variables
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES

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Extrait

STATISTIQUES A 2 VARIABLES

I. Nuagede points

I.1 Sériedouble

Lorsqu'une étude est faite sur 2 caractères d'une population,on obtient une série statistique double (on dit aussi à 2 variables) ( x,y ) . i i Remarque. L'économiste cherchera s'il y a un lien de cause à effet entre ces 2 caractères. Remarque. On appelle série statistiquechronologiqueou encorechronique, une série statistique dont la première variable est le temps.

I.2 Exemple:étudedes biens de consommation courante en France entre 1981 et 1990.

Les 2 caractères étudiés sont les importations et les exportations expimées en milliards de Francs. Année 1981 82 8384 85 86 87 88 89 90 ions Importatx i 77 93 103 117 128 139 153 170 194 208 Exportations 75 83 96114 125 123 129 143 166 176 y i

I.3 Nuagede points

Dans un repère orthogonal bien choisi,l'ensemble des pointsM ( x;y ) est appelé nuage de points de la i i i série double. Remarque. Les statisticiens travaillent sur un très grand nombre d'individus, c'est pourquoi ils obtiennent un très grand nombre de points qui font penser à un nuage et non quelques points isolés. Remarque. L'origine du repère n'est pas toujours représentée.Le repère commence très souvent à la plus petite valeur dexet à la plus petite valeur dey. i i Exercice 1. Construire sur papier millimétrè le nuage de points de la série double donnée dans l'exemple. Exemple. Collection Declic Exercice résolu A p 41

I.4 Pointmoyen

Le point moyen de la série double ( x;y ) est le point G de coordonnées ( ‾ x,y ‾ ) où ‾ xest la moyenne des i i valeurs desxet ‾ yest la moyenne des valeurs desy i i Exemple. Exportations et importations L'effectif total estn= 10. 10 ∑x77 + ... + 208 i i = 1 ‾ x= == =138,2 10 1010

1

10 ∑x75 + ... + 176 i i = 1 ‾ y= == =..... 10 1010 Compléter:G ( .....; ..... ) . Placer G sur le nuage de points. Exemple. Ex résolu B 1) p 41 Exercice 2. n° 10 à 13 p 48

II. Dépendanceentre les caractères

II.1 Formesd'un nuage

Le nuage peut prendre des formes très diverses.Certaines d'entre elles laissent pressentir une relation fonctionnelle globale entre les 2 caractèresXetY. Exemple.

Fonction du second degré

Fonction exponentielle

2

Fonction affine

Fonction inverse

II.2 Chan ementd'ori ineou d'unité

Il convient de prêter une attention toute particulière aux unités choisies pour construire le nuage de points. En effet,une unité trop petite sur l'un ou l'autre des axes, écrase ce nuage et peut laisser croire à un alignement qui n'a pas de sens statistique. Il faut donc faire en sorte que celui-ci remplisse au mieux la figure, quitte à effectuer sur l'un et/ou sur l'autre des axes, un changement d'origine ou d'unité.

Changement d'origine

Soit la série double définie parz=x−aett=y−boùaetbsont des réels. i ii i D'après les propriétés de linéarité de la moyenne, on a : ‾ z=x ‾ − aett ‾ = y ‾ −b. Le point moyenG' de la série ( z,t ) estG' ( x ‾ − a;y ‾ −b ) i i

Changement d'unité ou d'échelle

Par exemple sur l'axe des ordonnées:u=k yoùk est un réel.Alors ‾ u=k ‾ y. i i Le point moyenGla série' ' de ( x,u ) estG' ' ( ‾ x;k y ‾ ) i i

Exemple p40 § 1.2

II.3 Ajustementaffine

a. Positiondu problème Lorsque le nuage a une forme allongée qui paraît se distribuer au voisinage d'ue droite, on peut se demander quelles droites approchent le mieux ou le plus facilement possible ce nuage.Parmi ces droites, y-en-a t-il une meilleure que les autres et meilleure selon quel critère? b. Droitedes points extrêmes Si la série double comportencouples de points ( x;y ) , la droite des points extrêmes est la droite i i joignantM ( x;y ) etM ( x;y ) 1 1 1n n n c. Droitede Mayer On partage l'ensemble des pointsM ( x;y ) en 2 sous-ensemblesEetEayant à peu près le même k k k 1 2 nombre de points: Eétant constitué des points ayant les plus petites abscisses etEayant les plus grandes abscisses. 1 2 On noteGle point moyen des couples deEetGle point moyen des couples deE 1 12 2 On appelle alors droite de Mayer la droite passant par les pointsGetG. 1 2 Remarque. La droite de Mayer passe par le point moyenG ( ‾ x; ‾ y ) et fournit une droite tout à fait convenable lorsque les points du nuage sont presque alignés.

Exemple. Exportations et importations On noteGle point moyen des 5 premiers points du nuage etGle point moyen des 5 1 2 derniers points du nuage. 1 518 ( 77 + 93 + 103 + 117 + 128 ) = =103,6 5 5

1 ... ( 75 + ... + ... + ... + ... ) = =98,6 5 5

3

DoncG ( ......; ..... ) 1 1 ... ( ... + ... + ... + ... + ... ) = =..... 5 5

1 ... ( ... + ... + ... + ... + ... ) .....= = 5 5

DoncG ( ......; ..... ) 2

Exemple. ex résolus B p 41 2) et C p 43 1)

d. Ajustementaffine par moindres carrés Soit Δ une droite qui ajuste un nuage de points :

Δ

d i

M i d 2 M2 M1 d 1

On considère les distances "verticales"d,d, ... entre ces points et la droite Δ. On démontre qu'il 1 2 2 22 existe une unique droite telle que la somme des carrés des distncesd+d+ ...dsoit minimale, 1 2n appelée droite de régression deyenxde la serie double ( x;y ) . i i e. Définition Soit ( x;y ) une série statistique double d'effectifn.On appelle droite de régression deyenxou i i droite d'ajustement deyenxpar la méthode des moindres carrés, la droite Δ d'équationy=ax+b n2 telle que la sommeS= ∑ ( y− ( ax+b ) ) soit minimale. i = 1 i i

Remarque. 2 ( y− ( ax+b ) ) est le carré de la distance du pointM ( x;y ) au point de Δ de même abscissex. i ii ii i Proposition II.1. La droite de régression deyenxoasse par le point moyen de la série statistique ( x;y ) . Exemple. ex résolu B p 43

Exemple. Exportations,importations La droite de régression deyenxa pour équationy=ax+b.On détermineaetbà la calculatrice.

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On entre les valeurs dexenLet celle deyenLà l'aide de Stat Edit. i1 i 2 Puis Stat Calc 4: RegLin(ax+b)L,Lenter 1 2 donne:a≈ 0,755 etb≈ 18,6 .Doncy= 0,755x+ 18,6 Remarque. On peut interpréter le coefficient directeur en terme de variation:lors d'une augmentation d'un milliard de francs des importations, on constate une augmentation de 0,755 milliards ie 755 millions de francs des exportations. Exemple. ex résolu E p 43 Remarque. Pourquoi droite de régression? Francis Galton (1822-1911) a étudié d'éventuels liens entre la tailleyd'un individu et cellexde i i son père. La droite qu'il est conduit à tracer pour ajuster le nuage de points de coordonnées ( x;y ) a un i i coefficient directeur supérieur à 0 mais inférieur à 1.Cela signifie que les pères de grande taille ont en général des enfants de grande taille, mais en général inférieure à celle du père:il y a régression du caractère "taille élevée", d'où l'expression droite de régression. Remarque. Pourquoi deyenx? Au lieu de considérer les distances verticales des points du nuage à la droite Δ, on peut aussi considérer les distances horizontales.

Δ

d' M i i M1 d' 1 M2 d' 2

2 22 Et on cherche une droite telle que la sommed' +d' +...dminimale.Cette droite est' soit 1 2n unique et s'appelle la droite de régression dexeny, car pour l'obtenir il suffit de considérer le nuage de points ( y;x ) :les valeursysont portées en abscisses et celles dexen ordonnées. En i ii i général les droites de régression deyenxet dexenysont distinctes. Elles sont confondues lorsque les nuages de points sont alignés.

Exemple. Importations, exportations La droite de régression dexenyest donnée à la calculatrice TI par Stat Calc 4:L,L 2 1 x= 1,293y− 20,877 et elle passe par le point moyen ( ‾ y;x ‾ ) .

Exercice 3. n° 22 à 28 p 50-51.

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