Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Troisième

Frouge

Description

Probas 3ème
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Troisième

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• Langue: Français

Extrait

PROBABILITES
Les problèmes sont directement faits dans la partie leçon car ils sont fondateurs.
1) Vocabulaire
Problème 1
Dans une loterie, une roue est divisée en 9 secteurs superposables numérotés de 1 à 9.
Combien un joueur a­t­il de chances d'obtenir : a­ un nombre pair ?
b­ un nombre impair ?
c­ un nombre premier ?
Problème 2
Une urne contient des boules indiscernables au toucher mais de couleurs différentes : 5 boules 
jaunes, 6 boules vertes et 8 boules rouges.
Je tire une boule au hasard et j'observe sa couleur.
Combien de chances ai­je de tirer une boule jaune ou une boule verte ?
Le calcul des probabilités est l'art de répondre à des questions où intervient le hasard.
Expérience aléatoire : une expérience est aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats possibles 
et qu'on ne peut savoir à l'avance lequel de ces résultats se produira.
Issue : un résultat d'une expérience aléatoire s'appelle une issue.
Exemples
Expérience Issues
Jeu à deux dés 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12
Jeu de pile ou face Pile ; face
Météo Soleil ; nuages ; précipitations
Couleur des boules dans l'urne Jaune ; vert ; rouge
Épidémie Malade ; sain
Remarquez que certaines situations sont semblables : le jeu de pile ou face avec une pièce et
l'épidémie ; la météo et la couleur des boules dans une urne.
Évènements : une ou plusieurs issues.
Exemples : dans le problème 3, « la boule est verte ou la boule est rouge » est un événement.
Je dis que deux évènements sont incompatibles si les deux évènements ne peuvent pas se 
réaliser simultanément.
Exemples : dans le problème 2, «la boule est verte » et « la boule est rouge » sont deux évènements 
incompatibles car une boule ne peut pas être à la fois verte et bleue.
Dans le problème 2, « le nombre est un multiple de 2 » et « le nombre est un multiple de 3 »sont 
deux évènements compatibles car 6 est à la fois un multiple de 2 et de 3.
Je dois admettre que, si A et B sont incompatibles alors P(A ou B) = P(A) + P(B).
Exemple : avec les boules.
7
.Contre exemple : avec la roue numérotée, la probabilité d'avoir un nombre pair ou premier est  
9
Ce n'est pas la somme de la probabilité d'avoir un nombre pair et de la  probabilité d'avoir un nombre 4 4 4 8
premier : ces deux probabilités valent , et  = .
9 9 9 9
C'est dû au fait que 2 est à la fois pair et premier.2) utilisation d'un arbre ou d'un tableau pour calculer une probabilité.
Problème 3
Je joue avec deux pièces honnêtes et je regarde les résultats obtenus.
Quelle est la probabilité d'avoir un pile et un face ?
Certains pensent 1/3 et d'autres 2/4. 
Pour vous décider, imaginez qu'une pièce est rouge et que l'autre est bleue, puis écrivez avec un 
stylo rouge et un stylo bleu, tous les résultats possibles. Vous verrez qu'il y a bien 2/4.
Résultat de la première pièce Résultat de la seconde pièce  Issues
P (PP)
P F (PF)
F P (FP)
F (FF)
Problème 4
Je joue avec un dé rouge et un dé bleu et je parie sur la somme des résultats obtenus.
Y a­t­il un résultat qui a plus de chances de sortir que les autres ?
Pour vous aider, écrivez pour chacun des résultats possibles (de 2 à 12), toutes les configurations.
Somme des deux dés Issues favorables
2 (1,1)
3 (1,2) ; (2,1)
4 (1,3) ; (3,1) ; (2,2)
5 (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2)
6 …..
7
8
9
10
11
12
Je dis que deux évènements sont indépendants si la réalisation de l'un ne dépend ni n'influe 
sur la réalisation de l'autre.
Exemple : dans le pb 4, « le dé bleu tombe sur 3 » et « le dé rouge tombe sur 2 »sont indépendants.
Exemple de deux évènements dépendants : on n'en fait pas, c'est hors programme.
Si A et B sont indépendants alors P(A et B) = P(A)P(B)
Exemple d'application : calcul de la probabilité d'obtenir Pile et Face lors du tir de deux pièces sans 
utiliser d'arbre.
1
P(rouge P) = P(bleu F)=
2
1 1 1
P(rouge P et bleu F) = × = car rouge P et bleu F sont indépendantes.
2 2 4
1 1 1
× =De même P(rouge F et bleu P) = car rouge F et bleu B sont indépendantes.
2 2 4
Puisque (rouge F et bleu P) et (rouge P et bleu F) sont incompatibles, je trouve que : 1 1 1
P((rouge P et bleu F) ou (rouge F et bleu P))=  =
4 4 2
Un cas particulier d'évènements incompatibles : A et nonA ; P(A) + P(nonA) = 13) Mesurer une probabilité.
Pour certains, il subsiste un doute sur le calcul de la probabilité d'avoir un pile et un face au jeu à 2 
pièces.
Est­il possible d'évaluer expérimentalement cette probabilité ?
OUI : il suffit de réaliser l'expérience et de regarder la fréquence d'obtention de cette issue. Il faut 
réaliser l'expérience un grand nombre de fois pour que cela soit valable.
Chaque élève réalise 10 fois l'expérience et on mutualise les résultats.
Dans la ligne « Résultats », j'écris : « pf » si j'ai un pile et un face,
« pp » si j'ai deux piles,
« ff »si j'ai deux faces ».
Tirage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Résultats
Tableau de mutualisation des résultats ; le % est arrondi à l'unité. CF aussi le fichier .calc.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
P