Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Troisième
18 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Troisième

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
18 pages
Français

Description

Probas 3ème
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Troisième

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 326
Langue Français

Exrait

PROBABILITES
Les problèmes sont directement faits dans la partie leçon car ils sont fondateurs.
1) Vocabulaire
Problème 1
Dans une loterie, une roue est divisée en 9 secteurs superposables numérotés de 1 à 9.
Combien un joueur a­t­il de chances d'obtenir : a­ un nombre pair ?
b­ un nombre impair ?
c­ un nombre premier ?
Problème 2
Une urne contient des boules indiscernables au toucher mais de couleurs différentes : 5 boules 
jaunes, 6 boules vertes et 8 boules rouges.
Je tire une boule au hasard et j'observe sa couleur.
Combien de chances ai­je de tirer une boule jaune ou une boule verte ?
Le calcul des probabilités est l'art de répondre à des questions où intervient le hasard.
Expérience aléatoire : une expérience est aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats possibles 
et qu'on ne peut savoir à l'avance lequel de ces résultats se produira.
Issue : un résultat d'une expérience aléatoire s'appelle une issue.
Exemples
Expérience Issues
Jeu à deux dés 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12
Jeu de pile ou face Pile ; face
Météo Soleil ; nuages ; précipitations
Couleur des boules dans l'urne Jaune ; vert ; rouge
Épidémie Malade ; sain
Remarquez que certaines situations sont semblables : le jeu de pile ou face avec une pièce et
l'épidémie ; la météo et la couleur des boules dans une urne.
Évènements : une ou plusieurs issues.
Exemples : dans le problème 3, « la boule est verte ou la boule est rouge » est un événement.
Je dis que deux évènements sont incompatibles si les deux évènements ne peuvent pas se 
réaliser simultanément.
Exemples : dans le problème 2, «la boule est verte » et « la boule est rouge » sont deux évènements 
incompatibles car une boule ne peut pas être à la fois verte et bleue.
Dans le problème 2, « le nombre est un multiple de 2 » et « le nombre est un multiple de 3 »sont 
deux évènements compatibles car 6 est à la fois un multiple de 2 et de 3.
Je dois admettre que, si A et B sont incompatibles alors P(A ou B) = P(A) + P(B).
Exemple : avec les boules.
7
.Contre exemple : avec la roue numérotée, la probabilité d'avoir un nombre pair ou premier est  
9
Ce n'est pas la somme de la probabilité d'avoir un nombre pair et de la  probabilité d'avoir un nombre 4 4 4 8
premier : ces deux probabilités valent , et  = .
9 9 9 9
C'est dû au fait que 2 est à la fois pair et premier.2) utilisation d'un arbre ou d'un tableau pour calculer une probabilité.
Problème 3
Je joue avec deux pièces honnêtes et je regarde les résultats obtenus.
Quelle est la probabilité d'avoir un pile et un face ?
Certains pensent 1/3 et d'autres 2/4. 
Pour vous décider, imaginez qu'une pièce est rouge et que l'autre est bleue, puis écrivez avec un 
stylo rouge et un stylo bleu, tous les résultats possibles. Vous verrez qu'il y a bien 2/4.
Résultat de la première pièce Résultat de la seconde pièce  Issues
P (PP)
P F (PF)
F P (FP)
F (FF)
Problème 4
Je joue avec un dé rouge et un dé bleu et je parie sur la somme des résultats obtenus.
Y a­t­il un résultat qui a plus de chances de sortir que les autres ?
Pour vous aider, écrivez pour chacun des résultats possibles (de 2 à 12), toutes les configurations.
Somme des deux dés Issues favorables
2 (1,1)
3 (1,2) ; (2,1)
4 (1,3) ; (3,1) ; (2,2)
5 (1,4) ; (4,1) ; (2,3) ; (3,2)
6 …..
7
8
9
10
11
12
Je dis que deux évènements sont indépendants si la réalisation de l'un ne dépend ni n'influe 
sur la réalisation de l'autre.
Exemple : dans le pb 4, « le dé bleu tombe sur 3 » et « le dé rouge tombe sur 2 »sont indépendants.
Exemple de deux évènements dépendants : on n'en fait pas, c'est hors programme.
Si A et B sont indépendants alors P(A et B) = P(A)P(B)
Exemple d'application : calcul de la probabilité d'obtenir Pile et Face lors du tir de deux pièces sans 
utiliser d'arbre.
1
P(rouge P) = P(bleu F)=
2
1 1 1
P(rouge P et bleu F) = × = car rouge P et bleu F sont indépendantes.
2 2 4
1 1 1
× =De même P(rouge F et bleu P) = car rouge F et bleu B sont indépendantes.
2 2 4
Puisque (rouge F et bleu P) et (rouge P et bleu F) sont incompatibles, je trouve que : 1 1 1
P((rouge P et bleu F) ou (rouge F et bleu P))=  =
4 4 2
Un cas particulier d'évènements incompatibles : A et nonA ; P(A) + P(nonA) = 13) Mesurer une probabilité.
Pour certains, il subsiste un doute sur le calcul de la probabilité d'avoir un pile et un face au jeu à 2 
pièces.
Est­il possible d'évaluer expérimentalement cette probabilité ?
OUI : il suffit de réaliser l'expérience et de regarder la fréquence d'obtention de cette issue. Il faut 
réaliser l'expérience un grand nombre de fois pour que cela soit valable.
Chaque élève réalise 10 fois l'expérience et on mutualise les résultats.
Dans la ligne « Résultats », j'écris : « pf » si j'ai un pile et un face,
« pp » si j'ai deux piles,
« ff »si j'ai deux faces ».
Tirage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Résultats
Tableau de mutualisation des résultats ; le % est arrondi à l'unité. CF aussi le fichier .calc.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Problème 5 : les nombres premiers entre eux.
Je tire au hasard deux nombres entiers inférieurs à 4 et je regarde s'ils sont premiers entre eux. En 
établissant tous les cas possibles (il y en a 16), je peux déterminer la probabilité d'obtenir deux 
nombres premiers entre eux. Et si je tire deux nombres entiers sans restriction sur leur taille ? Il 
devient impossible de tester tous les cas, et je ne même pas sûr a priori qu'il y ait une probabilité.
Dans ce cas, je peux programmer un ordinateur pour évaluer la fréquence des couples de nombres 
premiers entre eux. Voici le graphique obtenu :
Je constate que la fréquence se stabilise lorsque j'étends le domaine où je choisis les nombres. Il 
semble bien possible d'affirmer : « lorsque je choisis deux nombres au hasard, la probabilité pour 
qu'ils soient premiers entre eux est environ 0,6 ».
6
Des mathématiciens ont montré ­c'est difficile­ qu'elle vaut précisément . 
 ²
Lorsque la probabilité est trop difficile à calculer, je peux en obtenir une valeur approchée en 
effectuant des expériences et en calculant la fréquence de réalisation de l'issue.
% de pf Nombre de tiragesATTENTION : la probabilité N'EST PAS EXACTEMENT égale à la fréquence. La fréquence varie 
tout au long de la suite d'expériences. En revanche, la probabilité est constante.
Exemple où on connaît à l'avance la valeur exacte de la probabilité : sur un tirage à pile ou face 
d'une pièce honnête, la probabilité du pile est ½.
Toutefois, sur 10 tirages, voici l'évolution de la fréquence :
tirage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
résultat
%pile
Si la probabilité existe, alors, après un grand nombre de répétitions de l'expérience, la 
fréquence se stabilise autour de la probabilité.
Le sens du mot « grand » est variable selon les expériences : cela peut aller jusqu'à plusieurs 
milliers.
Exemple pour le cas d'un grand nombre de tirages à pile ou face: 
Commentaires sur la leçon : probabilités.
Commentaires sur la leçon « probabilités » : l'étude des probabilités est une nouveauté de la classe 
de troisième et a pour objectif de mesurer le hasard. Ce chapitre fait appel à d'autres secteurs des 
mathématiques et présente aussi des notions spécifiques : je sais la définition des termes 
« expérience aléatoire », « issue ».
Je sais calculer la probabilité dans des expériences aléatoires simples comme le jeu de pile ou face, 
le jeu de dé, le jeu de loterie, les urnes, et comportant éventuellement deux épreuves.
Je m'aide éventuellement d'un arbre pondéré.
Je sais que ces expériences servent à modéliser des situations de la vie courante. Je sais que 
lorsqu'il est trop difficile de calculer une probabilité, on peut la mesurer à l'aide des statistiques. Il 
faut pour cela répéter un grand nombre de fois l'expérience aléatoire. L'ordinateur est parfois d'un 
grand secours.1) Anne et Pierre décident d'acheter un billet de loterie.
Anne dit au vendeur : "Donnez-moi un billet qui se termine par 3".
Pierre dit : "Ce serait mieux qu'il se termine par 9".
Qu'en pensez-vous ?
2) Jean a lancé une pièce de monnaie et a obtenu 5 fois pile. Vous souhaitez la relancer.
Pouvez-vous prévoir quel sera le résultat ?
3) Nous jouons avec deux dés. Le joueur A gagne s'il fait double 3 et le joueur B gagne s'il fait
double 6.
Préférez-vous être A ou B ?
4) Voici une affirmation : "Si je lance simultanément deux pièces, il y a une chance sur 3 d'avoir
un pile et un face".
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?Tableau de mutualisation des résultats
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Tableau de mutualisation des résultats
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Tableau de mutualisation des résultats
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Tableau de mutualisation des résultats
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Tableau de mutualisation des résultats
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
% de pf Nombre de tirages % de pf Nombre de tirages % de pf Nombre de tirages % de pf Nombre de tirages % de pf Nombre de tirages