Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Troisième : théorème de Thalès
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Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Troisième : théorème de Thalès

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Thales
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Troisième

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Langue Français

Extrait

THEOREME DE THALES
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Problème 1 : calculs de longueurs On considère la figure suivante dans laquelle on sait que :B C (MN) // (BC) et (BM) et (CN) sont sécantes en A. Les longueurs AB, AC, BC d'une part et AM, AN, MN d'autre part peuvent-elles être choisies complètement au hasard ? A Réponse :Non, ces deux séries de longueurs doivent être N M proportionnelles.
Vous admettrez cethéorème, attribué à Thalès, sous la forme suivante : AM AN MN Si (MB) et (NC) sont deux droites sécantes en A et que (MN)//(BC) alors := = AB AC BC Application : calcul d'une longueur connaissant trois autres. Supposons par exemple que l'on connaisse AM = 4 et AB = 5 et AN = 3. Alors il est possible de calculer AC. AM AN MN Dans l'égalité= =je remplace les longueurs connues par leurs valeurs ce qui donne : AB AC BC 4 3MN5×3 15 = = = =La première égalité seule m'intéresse ici. Je trouveAC 5AC BC4 4 Remarque : avec les données ci-dessus, je ne peux calculer ni MN, ni BC.
Application : construction d'un point donné par un rapport de longueurs. AC5 Je donne deux points A et B ; comment construire un point C tel que=? AB7 Est-ce que cela signifie que AC=5 et AB=7 ? NON !!! Il est possible que AC=2,5 et AB=3,5 par AC5 exemple ; il existe une infinité de valeurs possibles pour AC et AB telles que=. AB7 Je reconnais un rapport de longueurs, comme dans le théorème de Thalès. Mais il manque 3 droites. Étape 1 : puisque le point A apparaît au numérateur et au dénominateur, c'est à ce point que passent les deux sécantes. Je trace donc une droite quelconque qui passe par A. Pour obtenir la 5 fraction,je gradue cette sécante à l'aide du compas, en prenant le point A comme origine. 7 Je place M à la 7ème graduation et le point N à la 5ème. Étape 2 : je trace la droite (MB) et la parallèle à (MB) qui passe par N. Cette droite coupe (AB) en un point C. Étape 3 : je me retrouve du coup dans une figure qui permet l'application du théorème de Thalès. AB AN5 Grâce à lui, je peux affirmer que= =.Un deuxième point est solution du même AC AM7 problème : le symétrique de C par rapport à A.
Problème 2 On considère la figure suivante dans laquelle on donne des longueurs parmi AB, AC, BC d'une part et AM, AN, MN d'autre part. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? B C
A N M
Premier exemple On donne: AM = 8 et AB = 9 et AN = 10 et AC = 11. AM ANAM 8AN 10 Pour savoir si (MN)//(BC), on compare les rapportset .On a=et=.AB ACAB 9AC 11 Ces rapports ne sont pas égaux car 8×11≠9×10. Donc (MN) n’est pas parallèle à (BC). En effet, si ces droites étaient parallèles, alors on aurait les longueurs proportionnelles et donc l’égalité entre les rapports calculés. On a simplement utilisé le théorème de Thalès en le «contraposant ». Second exemple On donne AM = 8 et AB = 9 et AN = 9,6 et AC = 10,8. AM ANAM 8AN 9,6 Pour savoir si (MN)//(BC), on compare les rapportset .On a=et=. AB ACAB 9AC 10,8 Ces rapports sont égaux car 8×10,8=9×9,6. Comme de plus, lespoints B, A, M d'unepart etC, A, N d'autrepart sont alignés dans le même ordre,je conclus que (MN) est parallèle à (BC).
Pour l’affirmer, on utilise laRECIPROQUE du théorème de Thalèsdont vous admettrez qu'elle est vraie:
(d) et (d’) sont deux droites sécantes en A. Sur (d) on place deux points M et B. Sur (d’) on place deux points N et C.
B
C
A N M AM ANAM MN Si=ou si=AB ACAB BC et quepoints B, A, M d’une part et les points C, A, N d’autre part sont alignés dans les le même ordre, alors: (MN)//(BC)
Commentaires de leçon.
C'est une leçon dans laquelle se mêlent la géométrie des triangles et la proportionnalité.
Je dois connaître par cœurle théorème et ses deux utilisations : Deux sécantes et deuxparallèles étant données, je saisque les côtés parallèles des triangles obtenus sont proportionnels. Inversement, si les côtés de deux triangles ne sont pas proportionnels, alors c'estque deux côtés ne sont pas parallèles.
Je dois également savoir que laréciproque du théorème et son unique utilisation: prouver que deux droites sont parallèles.
Contrôle sujet A Exercice 1 (les 3 questions sont indépendantes) a) Dans la figure ci-contre, on donne : B C (MN)//(BC) et AM = 4 et AB = 5 et AN = 3. Calculez AC. b) Dans la figure ci-contre, on donne : AM = 8 et AB = 9 et AN = 9,6 et AC = 10,8.A Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? c) Dans la figure ci-contre, on donne :N M AM = 8 et AB = 9 et AN = 10 et AC = 11. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Exercice 2 Sur votre copie, tracez un segment [AB] quelconque et construisez avec les instruments de AC AD3 géométrie les points C et D tels queC∈ABet D∈ABet= = AB AB 5 Exercice 3 On considère la figure suivante dans laquelle :O OKL=70° et POM=et OMP60 °=50° et PO = 5 et KO = 4 et LO = 7. Calculez MO.K L Exercice 4P Tracez la figure suivante à main levée : TWA est un triangle rectangle en AM avec AT = 3 et AW = 4. J est le point de [AT] tel que TJ=1. La parallèle à (AW) qui passe par J coupe (WT) en I. Calculez TI. Contrôle sujet B Exercice 1 a) Dans la figure ci-contre, on donne : (MN)//(BC) et AM = 4 et AB = 5 et AN = 3. B C Calculez AC. b) Dans la figure ci-contre, on donne : AM = 8 et AB = 9 et AN = 9,6 et AC = 10,8. A Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? c) Dans la figure ci-contre, on donne : N M AM = 8 et AB = 9 et AN = 10 et AC = 11. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Exercice 2 Sur votre copie, tracez un segment [AB] quelconque et construisez avec les instruments de AC AD2 géométrie les points C et D tels que C∈ABet D∈ABet= = AB AB 3 O Exercice 3 K On considère la figure ci-contre dans laquelle on donne : KOL=35° et KLO=50° et LMP=95°et LO = 5 et PL = 4 et LM = 7. L Calculez KL.
Exercice 4 Tracez la figure suivante à main levée : VUW est un triangle rectangle en U avec UV = 8 et UW = 6. O est le point de [UW) tel que UO = 7. La parallèle à (UV) qui passe par O coupe (WV) en P. Calculez WP.
P
M
Contrôle sujet C
Exercice 1 a) Dans la figure ci-contre, on donne : (MN)//(BC) et AM = 4 et AB = 5 et AN = 3. B Calculez AC. b) Dans la figure ci-contre, on donne : AM = 8 et AB = 9 et AN = 9,6 et AC = 10,8. A Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? c) Dans la figure ci-contre, on donne : N M AM = 8 et AB = 9 et AN = 10 et AC = 11. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
C
Exercice 2 Sur votre copie, tracez un segment [AB] quelconque et construisez avec les instruments de AC AD4 géométrie les points C et D tels queC∈ABet D∈ABet= = AB AB 7 Exercice 3 On considère la figure suivante dans laquelle on donne :O K KOL=25 °et KLO=et LMP40 °=LO = 5 et PL = 4 et LM = 7.115 ° et Calculez KL L
Exercice 4P Tracez la figure suivante à main levée : VUW est un triangle rectangle en U avec UV = 5 et UW = 12. O est le point de [UW) tel que UO = 14. La parallèle à (UV) qui passe par O coupe (WV) en P. Calculez WP. Contrôle sujet B Exercice 1 a) Dans la figure ci-contre, on donne : (MN)//(BC) et AM = 4 et AB = 5 et AN = 3. B Calculez AC. b) Dans la figure ci-contre, on donne : AM = 8 et AB = 9 et AN = 9,6 et AC = 10,8. A Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? c) Dans la figure ci-contre, on donne : N M AM = 8 et AB = 9 et AN = 10 et AC = 11. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
C
M
Exercice 2 Sur votre copie, tracez un segment [AB] quelconque et construisez avec les instruments de AC AD2 géométrie les points C et D tels que C∈ABet D∈ABet= = AB AB 3 O Exercice 3 K On considère la figure ci-contre dans laquelle on donne : KOL=35° et KLO=50° et LMP=95°et LO = 5 et PL = 4 et LM = 7. L Calculez KL.
Exercice 4 Tracez la figure suivante à main levée : VUW est un triangle rectangle en U avec UV = 8 et UW = 6. O est le point de [UW) tel que UO = 7. La parallèle à (UV) qui passe par O coupe (WV) en P. Calculez WP.
P
M
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