Mathématiques spécialitéDevoir maison n°3Terminale S E: x²−7y²=1 On considère l'équationoù les inconnues x et y sont des entiers naturels non nuls. a , b 1. Danscette question, on suppose que le coupleest une solution de (E). a) Comparer a et b. a²−7b²=1a²−7b²0a²7b²b² Si (a,b) est solution de (E),donc ,c'est à dire que. Les entiers a et b ab étant positifs, leurs carrés sont rangés dans le même ordre donc. b) Montrer que 1 est le seul diviseur positif commun à a et à b: Soit d un diviseur positif commun à a et à b. 2 d∣u av bu , v∈ ℤ Donc d divise toute combinaison linéaire de a et de b, autrement dit, avec. v∈ℤa²−7b² a²−7b²=d×kk ,∈ ℤ En particulier, si u = a et v = -7 b,, d divise donc. On peut donc écrire a²−7b²=1d∣1 Or doncet 1 est son unique diviseur. Il vient que d = 1 par unicité du diviseur de 1. Donc 1 est le seul diviseur positif commun à a et à b a≡1[7]a≡−1[7] c) Démontrer queou : a²−7b²=1a²=7b²−1 On a, si a et b sont solutions de (E)donc . a²≡1[7] Ainsi, . a≡...[7] 0 1 2 3 4 5 6 a²≡...[7] 0 1 4 2 2 4 1 a≡1[7] Donc dans tous les restes possibles de la division de a² par 7, deux correspondent: il vient par suite que a≡6[7]⇔a≡−1[7] ou . 2. Trouverla solution (a,b) de (E) telle que b soit le plus petit possible: a≡1[7]a≡6[7]⇔a≡−1[7]a=7k1a=7k−1k∈ℕ On a démontré queou c'està dire queou .car a est un entier naturel. L'entier a prend les valeurs 1, 8, 15, 24 ...OU ilprend les valeurs 6, 13, 20 ... a=7k1a=7k−1 Cas oùCas où: 7k1²−7b²=17k−1²−7b²=1 L'équation (E) devient(E) <=> −7b²=1−49k²14k1−7b²=1−49k²−14k1 <=> <=> b²=7k²2kb²=7k²−2k <=> <=>. 7k²2k Il faut donc quesoit un carré.Il faudrait donc trouver une ou plusieurs valeurs de k 7k²−2k ksoit un carré.pour lesquelles 1 2 3 4 k 1 2 3 4 b²=7k²2k 9 3269 120 b²=7k²−2k 7k²2k57 1045 24 Donc quand k=1,est un carré et donc b=3. b Donc le couple (8;3) convient.On ne peut donc pas trouver un entier naturel « petit » ici, en essayant les premières valeurs de k. On peut donc conclure que le couple (8;3) est tel que b soit le plus petit possible. n∈ℕ ba ; 3. a)Démontrer par récurrence pour* ,qu'il existe un couplen nd'entiers naturels non nuls tel n =a b7a ;b que:837nnetn nsolution de (E). (Pn) ba ;8;3 Initialisation: n = 1. On choisit le couple1 1.le plus petit possible, c'est-à-dire 1 =87×3=83 7 a7b1 . Donc P1est vraie. 1 n b7 Hérédité:on suppose qu'il existe un rang n pour lequel (Pn) : 837 =an nest vraie. Démontrons que (Pn+1) l'est aussi. n 83 7 =ab7a7b n nEn multipliant par1 1, on obtient: n 83 7=7b83 7a7b=837 837 ×anncar1 1. n1n1 83 7 =8a3a78b b21b83 7 =8a21b73a8b On a doncn nnn n<=>n nn n.
8a21b ;3a8b Vérifions tout de même si le couplen nn nest bien solution de (E). 2 8an21bn²−73an8bn =64an²336anbn441bn²−79an²64anb49bn² n 2 ; b 8a21b²−73ab =a²−7b²an nest solution de (E) vaut 1 n nn nn n., qui, comme 2 = 8a21b²−73ab =a8a21b b=3a8b et . Donc on a bienn nn n1. Il vient quen1n nn1n n (Pn+1) est donc vraie. n 83 7 =ab7ba ; On en conclut que pour tout entier naturel non nul n,n navecn nsolution de (E).
b) Combien l'équation (E) a-t-elle de solutions? n 83 7 =ab ur tout n décrivant IN*, donc il y a une infinité de solutions pour La formulen n7est valable po l'équation (E).
c)Feuille de calculs:
d) Les formules à saisir
n 8−3 7 =a−b7 4. a)Prouver que pour tout entier naturel n non nul,(Pn)n n: Raisonnons par récurrence: 1 ba ; Initialisation:n= 11 1=8;3a−b7=8−37donc (Pn) est initialisée au rang 1. .1 1 Hérédité: n 8−3 7 =a−b7 Supposons qu'il existe un rang n pour lequel (Pn)n nest vraie. Démontrons que (Pn+1) l'est aussi. n1nn 8−3 7 =a 8−37 =8Or d'après l'hypn. −37 ×8−37de récurrence,. othèsen−b7 n1 8−37 =a−b78−37=8a21b−8b3a7 Doncn nn nn n. a=8b=8b Or, d'après la question 3.a),n1a21btn13a e . n nn n n1 8−3 3 =a−b7 D'oùn1n1. Donc (Pn+1) est vraie. n Conclusion: pour tout entier n non nul,n n. 8−3 7 =a−b7 a b b) En déduire les expressions denet denen fonction de n. On peut tirer des questions 3.a) et 4.a) que: n ab7=837 L1 n n { . n a−b7=8−37 L n n2 ●LL Calculons1 2: n n n nn n837 8−37 ab7a−b7=837 8−3783 7 8−3 7 ⇔a= n nn n<=>2an= n. 2 ●L−L Calculons : 1 2 n n n nn n837 −8−37 ⇔27b=837 −8−37 ⇔b= ab7−ab7=837 −8−37n n. n nn n 27