Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

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Avec correction. Corrigé de la préparation du ds 2 des 1ères s
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Correction de la préparation du DS n°2 des 1ères S du Jeudi 18/11/2010 Ex1: Ax=x² , Ax=10−x² 1.1 2 2. Sur[0;10], la fonction carré est croissante car la fonction carré est croissante sur IR+. 10 – x est positif sur [0;10] et la fonction affine 10 – x est décroissante sur IR, donc a fortiori sur [0;10].Or deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre, ainsi (10 – x)² est décroissante sur [0;10], s'annulant en 10. Ax=Ax⇔x²=10−x²⇔ −  − − == −− = ⇔ 3.1 2soitx²10x² 0x10x x10x20 10x10 0 Soit pourx=5.  = −−  4. a)f xx²10x²doncfx=2x²20x100(forme développée de f). La fonction f est donc un trinôme du second degré, par conséquent sa courbe représentative est une parabole, ici tournée vers le haut car le coefficient de x² est positif. Son sommet S a pour coordonnées (5,50). y 120 b) La fonction f admet bien un minimum car le coefficient de x² est positif. Sa valeur et la valeur en laquelle il est atteint corresponde à l'ordonnée et à l'abscisse du sommet S de la courbe. 50 est le 110 minimum de f, atteint en 5. 100  ⇔ −  5. Résolvonsl'inéquationf x75 2x²20x100 75. 90 8052 2x²−20x250. Le membre de gauche s'annule en5et en 2 70 52 605−. 2 50 x 5252 05−5 10 40 22 30 2x²−20x25++ -0 0 20 5252 S = [5−;5] 10 22 Pour vérifier graphiquement, on trace la droite d'équation y = 75 et on repère la partie de la courbe 0 10 x en-dessous de cette droite en lisant les abscisses des points concernés. Ex2: 2x−1 2x−11 1  =⇔ = ⇔ = 1.f xf xf x2. Ici a = 2 et b = 1. x−1x−1x−1 1 2. décroitsur ]−∞;1[ et décroit sur ]1;∞[. Si on ajoute 2 à toutes les images, cela ne change pas l'ordre. Donc x−1 f est décroissante sur ]−∞;1[ et décroissante sur ]1;∞[. x−∞ 1∞ fx limfx=−∞limfx=∞ limfx=2 limfx=2 De plus,, etx1,x1. x−∞x∞ x1x1 y 3. a)Graphique: tracé de la droite: y =- x + m 6  − b) Résoudref xx1:5 2x−1 2x−1 2x−1x−1² 4 −x1⇔ x−10⇔ 0 x−1x−1x−1 3 2 xx² Qx= fx−x1⇔ 0.. Posons 2 x−1x−1 1 x−∞ 01∞ -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 6x x²+ ++-1 0 -2 x−1- -+ 0 -3 Q- -+ 0 -4 S = ]−∞;1[ c) Interprétationgraphique: On regarde quand la courbe de la fonction f est au-dessous de la courbe deet on lis l'ensemble des abscisses des points qui vérifie cette condition.

 4. a)etmle réel m. Seul l'ordonnée à l'originesont parallèles car elles ont le même coefficient directeur, quel que soit change. b) Dans le cas où m = 1,et Cf ont un seul point commun, le point d'abscisse 0 car en 0, f(x) = - x + 1.  On conjecture qu'en m =5,met Cf on un seul point commun.  On conjecture graphiquement que lorsque m appartient à l'intervalle ]−∞;1[ou à l'intervalle ]5;∞[, la droitem  coupe 2 fois Cf. On suppose que dans l'intervalle ]1;5[,mne coupe pas Cf. c) Démonstration:  On veut savoir combienmet Cf ont de points communs, en fonction de m. On pose donc l'équation suivante: 2x−12x−1x−mx−1x²x1−mm−1  =− −=== f xx m<=>x m0<=>0<=>0. x−1x−1x−1 x²x1−mm−1 Nx Poso=0etm=x²x1−mm−1 ns E:. x−1  E s'annule quand Nms'annule, pour tout x différent de 1. Posonsmle discriminant de Nm.  =1−m²−4m−1 =m²−6m5 m<=>m.  0 Sim, Nmne s'annule pas. Dans ce cas,Si=0Sim0  Cf etmn'ont pas de points communs.

Résolvons donc  0⇔m²−6m50 m Soitle discriminant du polynôme  =m²−6m5 m.=16. D'où: 64 6−4 m=; m= 1 2,m1= 5,m2= 1 2 2

x−∞ 1 m+ S = ] Pour m compris stricte  mn'ont donc pas

Ex3: 1. Figure: 2. a)KJ=KA  Or4KA−KB=0s  Et2JAJC=0so 1 KJ=AB Ainsi, 3 b)KI=KA 1 KA=AB Or et 3 2 2 KI=AB Donc 3 3

K c) Ona donc Les vecteurs

Résolvons donc  =0⇔m²−6m5=0 m. On a trouvé dans la colonne de gauche que le  polynômems'annule en 5 et en 1.

Par conséquent, pour m =5 ou m=1, la  droitemet la courbe Cf ont un seul point commun.

(A , 2 1. Gm= bar{ a) Existence: Gmexiste si et seulemensm−m−m, orm−m−m= G b)0= bar{ (B,1), (C,2) }. Or I = bar { (B,1) , (C,2)} donc G0est en fait I. G1= bar {(A,2) , (C,1)}. Or J = bar {(A,2), (C,1)} donc G1est en fait J. De même, G2est en fait K.