Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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1 Terminale S3 SpécialitéDS de Mathématiques n° 4
23 février 2012
Exercice 3 (5 points) Cet exercice ne concerne que les élèves suivant la spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangleABCrectangle isocèle de sommet A et de sens direct uuu uuu p (AB,AC!1 2 c’est-à-dire tel que. On noteA’,B’,C’ les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB]. p 2u1BA' SoitR la rotation de centreA’etet d’angleT la translation de vecteur. f1RoTg1ToR On oseet .
f(C¢!g(B¢! 1.a) Détermineret . f(C¢!1RoT(C!T(C¢!1C¢¢ÛC C¢1B¢¢A BA¢1C B¢ ·: ord’après la propriété des milieux,
f(C¢!1R(C!¢¢1R(B!B C¢1¢B donc .. R(B¢!1C A¢B A¢C car estun carré de sens direct. f(C¢!1C Finalement cequi signifie queC’ est invariant parf.
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2 uuu uuuu p R(B¢!1B¢¢Û(AB,A¢B!1¢¢et AB1AB¢ g(B¢!1ToR(B! B¢¢1C 2 ·.: donc T(B¢!¢1T(C!B . g(B¢!1B Finalement cequi signifie queB’ estinvariant parf.
b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques def et deg. f etg sont des déplacements (composées de déplacements) admettant un point invariant. p 2 fet g sontdonc des rotations d’angleet de centres respectifs C’ et B’.
%1%1 fh1gof 2.la transformation réciproque dea) Soitf. et Quelle est la nature de la transformationh. p %1% f 2  estla rotation de centreC’donc et d’angleh est la composée de deux rotations de d’angles
pp % 22 respectifs et. La somme des angles est nulle, par conséquenth est une translation.
h(A! b) Détermineret caractériserh. %1%1 h(A!1(gof!(A!1g(f(A!!1g(A¢!1C . AC hest donc la translation qui transforme le point A en le point C, c’est doncla translation de vecteur
M¢1f(M!M¢¢1g(M! c) SoitM un point quelconque du plan. On poseet . M¢ACM Quelle est la nature du quadrilatère? %1%1%1 ¢¢ ¢¢ M¢¢1g(M!M1f(M¢!M1g(f(M!!1(gof!(M!1h(M! M¢M¢1¢AC or doncainsi . Cette égalité vectorielle caractérise un parallélogramme. M¢ACM Le quadrilatèreest un parallélogramme.
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