Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale
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N-6 ts
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Langue Français

Exrait

Terminale S
Devoir n°6
Mathématiques
Exercice1: (5 points) Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie. Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé : si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6. le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet de dé donne 6. A la fin de la partie le jeton est remis dans le sac.si On note B l’événement : « le jeton tiré est blanc » et G l'événement : « le joueur gagne le jeu ». L'événement contraire d'une événement E sera notéE.
Partie A : 7 1. Montrerquep(G)=. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. 30 2. Quelleest la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu'il a perdu? 3. Unjoueur fait quatre parties de façon indépendantes. 3 Calculer ma probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à10près. 4. Quelnombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à 0,99 ?
Partie B : L'organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d'argent. chaque joueur paie 1 € par partie. si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 €. si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien. 1. Onnote X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie. a) Donner la loi de probabilité de X et son espérance E(X). b) On dit que le jeu est favorable à l'organisateur si E(X) < 0. L'est-il? 2. L'organisateurdécide de modifier le nombrende jetons noirs, (nentier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l'entiernle jeu est-il défavorable à l'organisateur ?
Exercice2: QCM (4 points) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. On indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point, une réponse inexacte en enlève 0,25, l'absence de réponse est comptée 0. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
1. Unesolution de l'équation2z+z=9+iest : a) 3 b) i c) 3 + i
2. Soitz un nombre complexe ;z+iest égal à : a)z∣+1 b)z1c)i z+11+i3 3. Soitz un nombre complexe non nul d'argumentθest :. Un argument de z −π a)3 2π b)3 2π c)−θ 3 n 4. Soitnest imaginaire pur si et seulement si :un entier naturel. Le complexe (3+i) a)n = 3 b)n = 6k + 3 , kentier relatif c)n = 6k, kentier relatif 5. SoientA et B deux points d'affixes respectives i et – 1. L'ensemble des points M d'affixe z vérifiant zi∣=∣z+1est : a) la droite (AB) b) le cercle de diamètre [AB] c) la droite perpendiculaire à (AB) passant par O 6. SoitΩ(1i). L'ensemble des points M d'affixe z = x + i y vérifiantz1+i∣=∣34ia pour équation : a)y=−x+1 2 2 b)(x1) +y =5 iθ c)z=1i+5e ,θ ∈ℝ 7. SoientA et B les points d'affixes respectives 4 et 3i. L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec π (AB ; AC)= [2π ]est : 2 a) 1 – 4i b) – 3i c) 7 + 4i z2 8. L'ensembledes solutions dansde l'équation=zest : z1 a){1 – i} b) l'ensemble vide c){1 – i ; 1 + i}
Exercice3: (6 points) x On considère la fonction f définie surparf(x)=ecosxdontCfest sa représentation graphique dans un repère orthogonal. PartieA: x x 1. Montrerque pour tout réelx,ef(x)⩽e. En déduire quefadmet une asymptote au voisinage de−∞. Quelle est cette asymptote ? 2. Déterminerles abscisses des points d'intersection deCfavec l'axe des abscisses. −π π 3. Onétudiefsur l'intervalle;+. [ ] 2 2
π a)Démontrer que pour tout réelxde cet intervalle, on a :cosxsinx=2 cos(x+ ). 4
−π π b) Calculerf'(x)puis dresser le tableau de variations defsur;+. On indiquera les valeurs prises par la [ ] 2 2
−π ππ fonction en,et . 2 42
−π π c) TracerCfsur;+sur le graphique suivant donné en annexe. [ ] 2 2
π1 d) Démontrer que sur0;, l'équationf(x)=admet une unique solutionαdont on trouvera à l'aide [ ] 22 de la calculatrice une valeur approchée au centième.
−π π x + 4. Montrerque'f '(x)=−2 esinx. En déduire que, sur l'intervalle;, le coefficient directeur de la [ ] 2 2 tangente atteint une valeur maximale que l'on précisera pourx = 0.
5. Déterminerl'équation de la tangente en 0 deCfet tracer la sur le graphique.
PartieB:
π x r tout entier natureln, on pose PouIn=e cos(n x)dx. 0
n 1. Montrerque pour tout entier naturel n,cos(nπ)=(−1)et quesin(nπ )=0. nπ (−1)e1 2. Al'aide de deux intégrations par parties, montrer que :I=. n 2 1+n π e+1limI n 3. Montrerque, pour tout entier naturel,I∣⩽.. En déduire n2 1+nn→+∞ PartieC: On considère les équations différentielles suivantes :
(E):y '2y1=0 x (E '):y '2y=1e sinx
yest une fonction définie et dérivable sur IR.
Dire, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Affirmation 1: (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution.
Affirmation 2: Soit g une fonction positive définie sur IR. Si g est solution de (E), alors elle est croissante sur IR.
Affirmation 3: la fonctionfdéfinie par
2x1 f(x)=3e+ 2
est solution de (E).
Affirmation 4 :La primitive defqui s'annule en 0 est une solution de (E').
Exercice4: (5 points)Non spécialistes
On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1. Le nombreaest un réel strictement positif. M 1 On considère le point M de la demi-droite [AE) tel queAM=AE. a 1. Déterminerle volume du tétraèdre ABDM en fonction de a. 2 a1 2. SoitK un point de l'espace tel queBK=BM+BD. 2 2 a+2a+2 a) Calculer. BK.AM BK.AD B puis puisen déduire l'égalitéK.MD=0 b) Démontrer l'égalité. DK.MB=0 c) Démontrer que K est l'orthocentre du triangle BDM. 3. Démontrerles inégalitéset .Qu'en déduit-on pour la droite (AK) ? AK.MB=0AK.MD=0
2 a+2 4. Montrerque le triangle BDM est isocèle et que son aire est égale àunités d'aire. 2a 5. Déterminera pour que l'aire du triangle BDM soit d'une unité d'aire. Déterminer la distance AK dans ce cas. Exercice4: (5 points)Spécialistes 2 On considère l'équation(1): 20b9c=2avec(b , c)∈ℤ. 1. a)Montrer que si le couple(b ;c)est solution de (1), alorscest un multiple de 2. 0 00 b) On désigne par d le PGCD debetc. Quelles sont les valeurs possibles de d ? 0 0 2. Déterminerune solution particulière de l'équation (1) puis l'ensemble des solutions de cette équation. 3. Déterminerl'ensemble des couples(b ; c)solutions de (1) tels quePGCD(b , c)=2. 4. Soitr un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit Q l'entier naturel défini par: n n1 < Qrrs qur. +...1r, avecα ∈ℕtel e0⩽αi n n1 0i r On note Q en base r de la manière suivante :Q=α α...α α. n n01 1 64 a) Soit P un entier naturel s'écrivantet (enbase 6 et 4 respectivement). c a5bbaa Montrer quea+5est un multiple de 4 et en déduire les valeurs prises par a, b et c. b) Donner l'écriture de P dans le système décimale.
ANNEXE Exercice 3 :
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