Devoir Surveillé n°2 de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

Description

Avec correction. Dsn-2
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première SSI

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Extrait

DS N° 2MATHEMATIQUES 1°SSI2010-2011

Tous les résultats devront être justifiés. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation de la copie.

Exercice 1.2,5 points f(x) x f  Ondonne deux expressions de l’image 1 différent de 3 par une fonctiond’un réel: 7%2x f 1 (x)11# x%3 x f y11 1. Pourquelles valeurs dela courbe représentative de 1 .est-elle au-dessus de la droite d’équation f(x)%1  Onpourra étudier le signe de 1 1 1 { } : g R \ { 0 } g(x)1 2. On définit sur R \ fonction 3 la f 2 xa%1# par .définit sur. et la fonction x%3x n de la courbeurbe  a.Par quelle transformation passe-t-o g à la co  f 2 ?

g  b.Etudier les variations de la fonctionet dresser le tableau de variation de f 2

Exercice2stniop3: 2 f 1°. On considère la fonctiondéfinie sur par g(x)1x#6x#4 f P est la courbe représentative de

2  a.Vérifier que g(x)1(x#3)%5

 b.Donner la transformation qui permet d’obtenir la courbe P àpartir de la courbe représentative 2  dela fonction f définie par f(x)1x .  2. f  a.Ecrire en expliquant,comme composées de fonctions usuelles à déterminer.  b.En déduire le sens de variation d [ 7; 2 e la fonctiongsur %] .

Exercice3points: 3,5 On considère les fonctions polynômesfet g définies par : 2 32 f(x)13x#4x% 15 et g(x)13x#4x%18x#5 1°.Vérifier que f(x)1(3x%5)x#3 !(

2 2°. Déterminer les réelsa,b,ctels que pour tout réelx, g(x)1(3x%5)(ax#bx#c)

³ 3°. Résoudre l’inéquation : f(x)g(x) .

Exercice 44 points 2 4 1°. Résoudre l’inéquation # ³1 x x#4 2 2 2°. Résoudre l’inéquation : ( x%3x#1 ! £25

Exercice53:ntspoi  Soitfla fonction définie sur [ –2 ; 3 ] et représentée ci-dessous :

-2

-1

y 3

2

1

0

-1

-2

-3

1

2

3

4

5 x

 Tracerci-dessus, en utilisant des couleurs différentes et en justifiant la construction, les courbes  représentantles fonctionssuivantes : a aa g:x%f(x) ;h(x)1f(x)#1 ;k:x f(x%2)%1 etq:x f(x)

Exercice6: 4points u v  Les fonctionset ontpour tableaux de variations respectifs :

x % 2 01 23 5 x 0 4 u(x)  1 v(x) %6 % 3 % 10 u v 1. a. Quels sont les ensembles de définition des fonctionset ?

%6 % 1 47 9  3  2 2

0 1

x v  b.Quand appartientau domaine de définition de, à quel domaine de définition appartient v(x) ?

 Onadmet que le domaine de définition de la fonction f1uovest l’intervalle [% . 9]6;

2. Déterminer les vaonction f1uov riations de la f sur [%6 ;%1] ,[%1];4 . [ te ]9;74[ , ]7; v Faire attention dans chaque cas aux valeurs prises par la fonction.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f1uov[%69;] . sur Solution

Exercice 1 f 1. pour trouver les valeurs dexpour lesquelles la courbe représentative deest-elle au dessus de la  droited’équation y11 il faut résoudre l’inéquationf(x)21 , il vaut mieux choisir la première 7%2x7%2x  expression f(x)21Û1# 21Û 20 1 x%3x%3 x 3 3,5 #¥ 7 % 2x  ++ 0 x% + + 3 0 7%2x  +0 x%3 f  Lacourbe représentative deest au dessus de la droite d’équation y11 lorsquexÎ]3; 3, 5[ . 1 2.. L’expression f 2 associée à la fonction ) 1 (x#1 % permet de remarquer que la fonction f 2 est x%3 1  «inverse », sa courbe représentative se déduit de l’hyperbole d’équation y1 par la translation x  Devecteur u13i%j ; on a donc le tableau suivant : x #¥ 3 f(x) 3

Exercice 2 2 2 2 x%1#1x 1.a. f(x)1vou(x)1v ( u(x) ! 1v ( x%1 ! 1v(x)1 1 . 2 2 x%1x%1 2 vou D1R \%;1  b.existe dés que x%1¹0Ûx¹ %1et x¹1 , donc vou { 1 } . 2 b6 %D %20 2 22 a. ( x#3)%51x#6x#9%51x#6x#41f(x ) . a1 %1 %1 %3 et b1 11 %5 2a2 4a4 2 2 f(x)1(x%a)#b1(x#3)%5 2 f b. l’expression f(x)1(x#3)% est associée à la fonctionde remarquer que la fonction5 permet 2  «carrée » , la courbePse déduit de la parabole d’équation y1x par la translation de vecteur u1 %3i%5j , le sommet qui était en O en (0 ; 0) se trouveraS(%3 ;%5) .  Lafonction carrée admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie ,donc par la translation de vecteur f u1 %3i%5j ,la fonctionadmet la droite d’équation : x 1 % 3 comme axe de symétrie . c. x %3 #¥ f(x) % 5

Exercice 4 2 2 2 22 2 é ùé ù ( x%3x#1 ! £25Û ( x%3x#1 ! %25 0£ Û ( x3%x1 ! #5% ( x3x%1 ! #5#0 ë ûë û 2 2 ( x%3x%4 ! ( x3%x6# ! 0£ 2  Letrinôme x%3x% en4 s’annule x14 etx1 % détailler ) 1 (à 2 1 2 ) ( a détaill  Letrinôme x%3x# 6 nes’annule pas et reste positif ( il prend le signe de a1 0 er )  Ona donc le tableau de signe x % 1 4 #¥

2  +0 0+ x%3x%4 2  ++ + x%3x#6 2 2  +0 0+ ( x%3x%4 ! ( x3%x6# ! %  L’ensemble des solutions est donc [1; 4] Exercice 5 y 3

-2

abs(f(x))

-1

f(x)+1 2

1

0

-1

-2

1

2

-f(x)

3

4

f(x-2)-1

5 x

-3 Exercice 6 x %  12 x 2 03 5 %6 % 1 47 9  4  3 0 1 %6 u(x) v(x 2 ) 2 % % 310 0 1 v D[%2;5 1. D’après les tableaux de variations, les ensembles de définition des fonctionset ntet u so u = ] D v 1[% . 6;9] v 2. On « lit » sur le tableau de variations deque v(x)Î pour tout [0 ;3]xÎ[%6;9] . Î Ì% Ì%xÎ[%6;9]v xÎD  Ainsi v(x tout soit ( );5] [6;9] pour[ 2) [0;3] u pour tout x Î Dv D D e définition de f1uov v = v 1[% . 9]6;  d’oùl’ensemble dest uo 3.(a) Sur [%6 ;%1] v u  Lafonction est croissante sur [%6 ;%1] , etv(x)Î pour tout [0; 2 ]xÎ[%6 ;%1] . De plus, la fonction o  est croissante sur [0;2 ] . De ce fait la fonction composée f1u vest croissante sur [%6 ;% . 1] (b) Sur [%1; 4 ] v u  Lafonction est décroissante sur [%1; 4 ] , et v(x)Î[1; 2 ] pour tout xÎ[% estDe plus, la fonction 1 ; 4] . 1o  croissante sur [1;2 ] . De ce fait La fonction composée f uvest décroissante sur [%1; 4 ] .

 (c) 4; 7 ]Sur [ v u  Lafonction est croissante sur [4; 7 ] , et v(x)Î[1; 2 ] pour tout xÎ[ 4 ; 7 ] . estDe plus, la fonction o  croissante sur [1;2 ] . De ce fait La fonction composée f1u vest croissante sur [4; 7 ] . v (d) Sur [7;9] , etest croissante sur [7;9] . La fonctionv(x)Î[2;3] pour tout xÎ[7; 9] . De plus, la u o  fonction est décroissante sur [2;3] .De ce fait La fonction composée f1u v est décroissante  sur [7; 9] . o o 4. Enfin u v(%6)1u(v(%6))1u(0)13% ; u v(%1)1u(v(%1))1u(2)14 ; o o o u v(4)1u(v(4))1u(1)11 ;u v(7)1u(v(7))1u(2)14 ; u v(9)1u(v(9))1u(3)1 %6 o  Onen déduit alors le tableau de variations de f1u vsur [%6 ;%1] : x %6 % 7 91 4  44 f(x)1uov(x) % 3 1 % 6