MathématiquesDevoir maison n°4Terminale S Exercice 1: Soit ƒ la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; 1 ] parfx=x−2x1. Cette fonction est dérivable sur ] 0; 1] et sa dérivée ƒ' vérifie f'(1) = 0. La courbe représentative C de la fonction ƒ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre. 1. a)Montrer que le point M(x;y) appartient à C si et seulement six0, y0etx=1. 2 ● Si M(x;y) appartient à C, alors ses coordonnées vérifienty=x−2x1=x−1en factorisant par l'identité remarquable. D'après l'énoncé, x est choisi dans ]0 ;1 ] donc x > 0. 2 ≥ Le fait d'écrirey=x−1permet d'en déduire quey0, s'annulant en x = 1. 2 Le réel y étant positif, on peut donc lui définir sa racine carrée:y=x−1 =∣x−1∣. ≤ Or sur ] 0 ;1 ],0x1donc0x≤1par croissance de la fonction racine carrée. Donc sur ] 0 ;1], x−1≤0donc∣x−1∣=−x1. Il vient que=−x1doncx=1. ●≥ Si x > 0 ety0, on peut définir leurs racines carrées. 2 xy=1⇒y=1−x⇒y=1−xpar élévation au carré. ≥ Donc=x−2x1. D'où si, x > 0,y0et six=1, le point M(x,y) appartient à C.
b) Montrer que C est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x. Soit M(x,y) un point quelconque de la courbe C. Quels sont les coordonnées du point N(x', y') symétrique de M(x,y) par rapport à la droite D d'équation y = x? y - Soit M un point n'appartenant par à la droite D de coordonnées M(x,y) et N(x',y') 1 le symétrique de M par rapport à D. D est la médiatrice du segment [MN] <=> D coupe [MN] en son milieu I. u1,1 Soit levecteur directeur de la droite D. On au.MN=0et xx 'yy ' x=; y=x=y I I. Ici comme D a pour équation y = x,I I.(1) 2 2 illeursu.MN=0x '−x×1y '−y×1=0 Par a<=> (2). xx '=yy ' De (1) et (2), on a {. D'où x' = y et y' = x. x '−x'− =0 - Si M appartient à D, x = y = x' = y'. Montrons que si M(x,y) et N(y,x), M et N sont symétriques par rapport à D. y=x Le milieu I de [MN] est tel queI Id'après nos hypothèses. Donc I appartient 0 1 x à D. −− Par ailleurs,MN yx ; xydoncu.MN=0donc D est bien la médiatrice de [MN] et N est le symétrique de M par rapport à D. Si pour M(x,y) point de C, son symétrique N(y,x) par rapport à D appartient lui aussi à C alors C est symétrique par rapport à D: y= x On a l'équivalence suivante: M(x,y) appartient à C <=>x=1, pour x >0 et y positif. xy=1 N appartient à C si et seulement si ses coordonnées vérifientNN. Ny ; x = = = Or .DoncxNyNyxxypar commutativité. Orx=1. DoncxNyN1. Par équivalence, N appartient aussi à C On en déduit que C est symétrique par rapport à D: y = x.
2. a)Si C était un arc de cercle, quel pourrait être son centre? Quel pourrait être son rayon? Si C était un arc de cercle, l'information f'(1) =0 indique que cet arc de cercle admet l'axe (Ox) comme tangente en 1. Donc le centre de cet arc de cercle serait sur la perpendiculaire à (Ox) et par conséquent a pour abscisse 1. (3) Par ailleurs, cet arc de cercle passe par les points A(0,1) et B(1,0). Comme C est symétrique par rapport à D: y = x, le centre de cet arc de cercle devrait appartenir à D. 1,1 Donc on en tire que. Quel pourrait être son rayon? 2 2 A=x−x Cet arc de cercle passe par les points A(0,1) et B(1,0). CalculonsAy−y. A 2 1,1 A=0−1²1−1 =1et son rayon 1.. Donc si C était un arc de cercle, son centre serait le point b) La courbe C est-elle un arc de cercle? Si C était un arc de cercle, on pourrait écrire son équation comme ci-dessous: 2 , Pourx0,y≥0x−x²y−y =R²⇔x−1²y−1²=1.(*)
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Px ,y Le point particulierP Pqui correspond à l'intersection de la droite D: y = x et de C devrait donc, si C est un arc de cercle, vérifier l'équation (*). Déterminons les coordonnées de P: 111 x=x=x=y= Il s'agit de résoudrex−2x1=x. Comme P est sur D: y = x,<=> <=>P P. 244 2 2 1 1 Calculons −1 −1: 4 4 2 22 1 13 9 −1 −1 =2×− = ≠1. Donc P ne vérifie par l'équation proposée. 4 44 8 On aboutit donc à une contradiction. Ainsi par l'absurde, on a démontré que C n'est pas un arc de cercle.
Exercice 2: UU=12U=U−1 On considère la suitendéfinie par0et pour tout entier naturel n,n1n. U 1. Calculerles cinq premiers termes de la suiten. Premier terme donné: U=1 0 Deuxième terme: U−1 0 U=0 U= 1<=>1. 2 Troisième terme: −1 U11 U=U=− 2<=>2. 22 Quatrième terme: 1 2 U−1− −3 2 2 2U=− U=<=> <=>3 3 2U3=4 2 Cinquième terme: 3 4 U 3−1− −7 U=4 4U=− 4<=> <=>4 U= 248 2 VV=Ua 2. Soitnla suite définie parn n, a réel fixé. V a) Déterminer le réel a pour quensoit géométrique. (*) V=q V On doit donc avoirn1n, q réel fixé. V : Exprimonsn1 V=Ua∀n∈ℕ,2U=U−1 n1n1. Orn1n. U−1U−12a nn V= aV= D'où,n1c'est-à-diren1. 22 1 V= U−12aU−12a=V On a doncn1n. La condition nécessaire (*) impose donc quen n, c'est-à-dire que 2 − = = 1 2a a. La résolution de cette équation affine admet une unique solution et permet donc d'affirmera1. V Bilan:la suitenet seulement si a = 1.soit géométrique (ici de raison ½ ) si V U b) En déduire les valeurs denet denen fonction de n. n 1 1 Vq= Pour a = 1, la suiten. Donc on peut écrireest géométrique de raisonVn= V0. 2 2 n 1 V=U1=2 Ici0 0. D'oùVn=2 . 2 n 1 Il vient par suite queUn=Vn−a⇔Un=2 −1. 2 U c)Étudier le sens de variations et la convergence de la suiten: n 1 U On a démontré que la suitenpouvait s'écrire explicitement de la manière suivante:Un=2 −1. D'où: 2
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n1n 1 1 Un1−Un=2− 1−2 1 2 2 n1n 1 1 = −2 U−Un2 n1 2 2 nnn 1 111 −U U−U=2 −1 − U U uen10⇔U1 n1n Or0, donc0. Il vient qnn n. 2 222 ¿ 1 1 −U=2 − U1n n 2 2 n 1 U−U=− n1n 2 U La suitenest donc strictement décroissante. limU n Étudions sa convergence:déterminons n∞ nnn 1111 0 1 limUn=lim 2− 1. Icidonclim =0, par conséquentlim 2 =0. 2222 n 1 Il vient quelim 2 −1=−1. 2 U La suitenconverge donc vers -1. −4 U110 d)Trouver le plus petit entier naturel n tel quen. n n −41−41−4 Un110⇔2 −1110⇔2 10 2 2 n 1−5 <=> 5×10 2 n 1−5 ∞ <=>ln ln5×10par stricte croissance du logarithme sur ]0;[ 2 −nln2ln5−5 ln10 <=>par les propriétés sur les logarithmes. ln 5−5 ln 10 n <=> −ln2 n14,28 <=>. −4 U110 Le plus petit entier naturel n tel quenest donc 15. i=nS n lim 3. Calculern∑i. En déduiren. S=U i=0 n∞ n n∑ S=UU...U S=V−1V−1...V−1V ×− n0 1n<=>n0 1n<=>S=in1 1. i=0 n1 1 n1− 2 La suitenétant géométrique de raison ½ et de premier terme 2, on a:∑i=V0et VV× i=01 1− 2 n1n1 1 1 1− 1− n n1 2 21 0×∑[1]− . V V =2[ ]<=>i=4 1 1i=02 1− 2 2 n1n 1 1 On a doncSn=4−2×2−× n−1=3−2 −n. 2 2 n n 1−2 13n S −2 −n3n − 1 n−2 13 ∀ ∈ℕS S n ,n0,n2nn2n<=> −= 1. = ⇔=n n2n n nn n nn S n−32 11 1 0 1 lim=lim− 1. Comme,lim =0. n n2n2 2 −2 3S n lim=0 lim=0 Par ailleurs,et .On obtient donclim=−1. n nn