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Avec correction. Corrigé
Devoir Maison (DM) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Exrait

MathématiquesDevoir maison n°4Terminale S Exercice 1: Soit ƒ la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; 1 ] parfx=x2x1. Cette fonction est dérivable sur ] 0; 1] et sa dérivée ƒ' vérifie f'(1) = 0. La courbe représentative C de la fonction ƒ dans un repère orthonormal est donnée ci-contre.   1. a)Montrer que le point M(x;y) appartient à C si et seulement six0, y0etx=1. 2 Si M(x;y) appartient à C, alors ses coordonnées vérifienty=x2x1=x1en factorisant par l'identité remarquable. D'après l'énoncé, x est choisi dans ]0 ;1 ] donc x > 0. 2 Le fait d'écrirey=x1permet d'en déduire quey0, s'annulant en x = 1. 2 Le réel y étant positif, on peut donc lui définir sa racine carrée:y=x1 =∣x1.  ≤ Or sur ] 0 ;1 ],0x1donc0x1par croissance de la fonction racine carrée. Donc sur ] 0 ;1], x10doncx1∣=−x1. Il vient que=−x1doncx=1. Si x > 0 ety0, on peut définir leurs racines carrées. 2 xy=1y=1xy=1xpar élévation au carré. Donc=x2x1. D'où si, x > 0,y0et six=1, le point M(x,y) appartient à C.
b) Montrer que C est symétrique par rapport à la droite d'équation y = x. Soit M(x,y) un point quelconque de la courbe C. Quels sont les coordonnées du point N(x', y') symétrique de M(x,y) par rapport à la droite D d'équation y = x? y - Soit M un point n'appartenant par à la droite D de coordonnées M(x,y) et N(x',y') 1 le symétrique de M par rapport à D. D est la médiatrice du segment [MN] <=> D coupe [MN] en son milieu I. u1,1Soit levecteur directeur de la droite D. On au.MN=0et xx 'yy ' x=; y=x=y I I. Ici comme D a pour équation y = x,I I.(1) 2 2 illeursu.MN=0x 'x×1y 'y×1=0 Par a<=> (2). xx '=yy ' De (1) et (2), on a {. D'où x' = y et y' = x. x 'x'− =0 - Si M appartient à D, x = y = x' = y'. Montrons que si M(x,y) et N(y,x), M et N sont symétriques par rapport à D. y=x Le milieu I de [MN] est tel queI Id'après nos hypothèses. Donc I appartient 0 1 x à D.  −−  Par ailleurs,MN yx ; xydoncu.MN=0donc D est bien la médiatrice de [MN] et N est le symétrique de M par rapport à D. Si pour M(x,y) point de C, son symétrique N(y,x) par rapport à D appartient lui aussi à C alors C est symétrique par rapport à D: y= x On a l'équivalence suivante: M(x,y) appartient à C <=>x=1, pour x >0 et y positif. xy=1 N appartient à C si et seulement si ses coordonnées vérifientNN. Ny ; x = =  = Or .DoncxNyNyxxypar commutativité. Orx=1. DoncxNyN1. Par équivalence, N appartient aussi à C On en déduit que C est symétrique par rapport à D: y = x.
2. a)Si C était un arc de cercle, quel pourrait être son centre? Quel pourrait être son rayon? Si C était un arc de cercle, l'information f'(1) =0 indique que cet arc de cercle admet l'axe (Ox) comme tangente en 1. Donc le centre de cet arc de cercle serait sur la perpendiculaire à (Ox) et par conséquent a pour abscisse 1. (3) Par ailleurs, cet arc de cercle passe par les points A(0,1) et B(1,0). Comme C est symétrique par rapport à D: y = x, le centre de cet arc de cercle devrait appartenir à D.  1,1Donc on en tire que. Quel pourrait être son rayon? 2 2 A=xx  Cet arc de cercle passe par les points A(0,1) et B(1,0). CalculonsAyy. A 2  1,1A=01²11 =1et son rayon 1.. Donc si C était un arc de cercle, son centre serait le point b) La courbe C est-elle un arc de cercle? Si C était un arc de cercle, on pourrait écrire son équation comme ci-dessous: 2 , Pourx0,y0xx²yy =⇔x1²y1²=1.(*)
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Px ,yLe point particulierP Pqui correspond à l'intersection de la droite D: y = x et de C devrait donc, si C est un arc de cercle, vérifier l'équation (*). Déterminons les coordonnées de P: 111 x=x=x=y= Il s'agit de résoudrex2x1=x. Comme P est sur D: y = x,<=> <=>P P. 244 2 2 1 1 Calculons −1 1: 4 4 2 22 1 13 9  −1 1 =2×− = ≠1. Donc P ne vérifie par l'équation proposée. 4 44 8 On aboutit donc à une contradiction. Ainsi par l'absurde, on a démontré que C n'est pas un arc de cercle.
Exercice 2: UU=12U=U1 On considère la suitendéfinie par0et pour tout entier naturel n,n1n. U1. Calculerles cinq premiers termes de la suiten. Premier terme donné: U=1 0 Deuxième terme: U1 0 U=0 U= 1<=>1. 2 Troisième terme: 1 U11 U=U=− 2<=>2. 22 Quatrième terme: 1 2 U1− −3 2 2 2U=− U=<=> <=>3 3 2U3=4 2 Cinquième terme: 3 4 U 31− −7 U=4 4U=− 4<=> <=>4 U= 248 2 VV=Ua 2. Soitnla suite définie parn n, a réel fixé. Va) Déterminer le réel a pour quensoit géométrique. (*) V=q V On doit donc avoirn1n, q réel fixé. V : Exprimonsn1 V=Uan∈ℕ,2U=U1 n1n1. Orn1n. U1U12a nn V= aV= D'où,n1c'est-à-diren1. 22 1 V= U12aU12a=V On a doncn1n. La condition nécessaire (*) impose donc quen n, c'est-à-dire que 2 − = = 1 2a a. La résolution de cette équation affine admet une unique solution et permet donc d'affirmera1. VBilan:la suitenet seulement si a = 1.soit géométrique (ici de raison ½ ) si V U b) En déduire les valeurs denet denen fonction de n. n 1 1 Vq= Pour a = 1, la suiten. Donc on peut écrireest géométrique de raisonVn= V0. 2 2 n 1 V=U1=2 Ici0 0. D'oùVn=2 . 2 n 1 Il vient par suite queUn=VnaUn=2 1. 2 Uc)Étudier le sens de variations et la convergence de la suiten: n 1 UOn a démontré que la suitenpouvait s'écrire explicitement de la manière suivante:Un=2 1. D'où: 2
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n1n 1 1 Un1Un=2 12 1 2 2 n1n 1 1 =  −2  UUn2 n1 2 2 nnn 1 111 U UU=2  −1 − U U uen10U1n1n Or0, donc0. Il vient qnn n. 2 222 ¿ 1 1 U=2 −  U1n n 2 2 n 1 UU=−  n1n 2 ULa suitenest donc strictement décroissante. limU n Étudions sa convergence:déterminons n∞ nnn 1111 0 1 limUn=lim 2 1. Icidonclim =0, par conséquentlim 2 =0. 2222 n 1 Il vient quelim 2 1=−1. 2 ULa suitenconverge donc vers -1. 4 U110 d)Trouver le plus petit entier naturel n tel quen. n n 41414 Un1102 11102 10 2 2 n 15  <=> 5×10 2 n 15 ∞  <=>ln ln5×10par stricte croissance du logarithme sur ]0;[ 2 nln2ln5−5 ln10 <=>par les propriétés sur les logarithmes. ln 55 ln 10 n <=> ln2n14,28  <=>. 4 U110 Le plus petit entier naturel n tel quenest donc 15. i=nS n lim 3. Calculerni. En déduiren. S=U i=0 n∞ n nS=UU...U S=V1V1...V1V  ×−  n0 1n<=>n0 1n<=>S=in1 1. i=0 n1 1 n1−  2 La suitenétant géométrique de raison ½ et de premier terme 2, on a:i=V0et VV×  i=01 12 n1n1 1 1 1− 1− n n1 2 21 0×[1]− . V V =2[ ]<=>i=4 1 1i=02 12 2 n1n 1 1 On a doncSn=42×2× n1=32 n. 2 2 n n 12 13n S 2 n3n − 1 n2 13 ∀ ∈ℕS S n ,n0,n2nn2n<=> −= 1. = ⇔=n n2n n nn n nn S n32 11 1 0 1 lim=lim 1. Comme,lim =0. n n2n2 2 2 3S n lim=0 lim=0 Par ailleurs,et .On obtient donclim=−1. n nn
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