Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

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Avec correction. Fonctions - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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• Publié par: ressources-pour-le-superieur
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Extrait

208 Pointfixe PB : f: E ->E étant donnée, on cherche x tel que f(x)=x. Existence ? Unicité ? Approximations ?

1) Solutionde l'équationf(x)=0 oùfest donnée de ℝ dans ℝ. idée : on transforme l'équation sous la forme f(x)=x. Notions pré requises : continuité, TVI, IM, Kompacts de ℝ.

On donne fde I dans I, xdans I et x=fx. 0 n1 n si x converge alors sa limiteest dans I ; n T1 : si de plus fest continue sur I alors f =.

CSQ : on cherche des CS de convergence des suites récurrentes et d'existence d'un point fixe.

flash

Rom AR lemme 10.1

CS de point fixe : f croissante sur un intervalle fermé. f continue de [ab] dans lui même. Rom AR th 10.1 et CS de convergence : lemme 10.6 f continue sur I et lim(x n+1 – x n )=0. Avec la dérivée Rom AR th 10.7 APPL : Newton & Lagrange pour l'approximation de f(x)=0. Rouvière ex 48. 2) Recherched'une fonction qui vérifie f(x)=x sur E Idée : on trouve f comme limite d'une suite de fonctions. Notions pré requises : complétude, contraction, normes d'espace vectoriel . Rouvière ex 55 T2 : Picard CSQ : on cherche des CS pour avoir une contraction et un espace complet. Rouvière corol 3.1 Contraction avec la différentielle n BX, Complets : ℝ et E, N ∞ lorsque E est lui-même avec une norme qui le rend complet.

APPLICATIONS : Cauchy Lipschitz pour les SDLCC ← DEVELOPPEMENT Résolution approchée des systèmes linéaires équations intégrales inverser sans inverser

Rom AM ch 7.1 ch 5.11 Rouvière ex 61 et 54