Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

Avec correction. Intégration - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

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Exemples d'études de fonctions définies par une intégrale

Exercice 1 : cas où une fonction n'est pas la dérivée de ses intégrales Hauchecorne Travail de l'élève :comparer une fonction à la dérivée de ses intégrales Prérequis :définition des primitives. Intérêt :préciser les cas où une fonction n'est pas la dérivée de ses intégrales Place dans une séquence d'enseignement :exemples de cours.

Exercice 2 : chercher la limite en l'infini par comparaison avec une série : sinc Hauchecorne Travail de l'élève :montrer que sinc n'est pas intégrable avec une comparaison série-intégrale. Intérêt :distinguer intégrale indéfinie convergente et fonction intégrable. Place dans une séquence d'enseignement :exemple de cours.

Exercice 3 : utiliser une ED pour obtenir un DSE : Bessel Liret ex 8 p 394 Travail de l'élève :obtenir un DSE de la fonction de Bessel d'ordre 0. Prérequis :IPP, dérivation sous ∫, théorème de Cauchy-Lipschitz. Intérêt :introduction au wronskien, utilisation pratique de CL, utilisation des techniques d'obtention des DSE, exemple où l'espace vectoriel des solutions d'une EDL2 n'est pas 2. Un logiciel de calcul formel est-il capable d'effectuer la vérification ? Graphique avec Xcas ou Geobebra. Place dans une séquence d'enseignement :td. Question: comparaison des précisions obtenues avec l'expression intégrale et le DSE.

Exercice 4 : intégrale de Gauss Travail de l'élève :calculer l'intégrale de Gauss en étudiant une fonction définie par une intégrale. Prérequis :dérivation sous le signe ∫. Intérêt :utilisations en probabilités notamment. Place dans une séquence d'enseignement :td.

Exercice 5 : Gamma d'Euler LFA et Rombaldi Travail de l'élève :montrer que la fonction Gamma est bien définie, dérivable et convexe obtenir un équivalent en 0+ et les valeurs aux points entiers et le lemme d'Euler. Prérequis :IPP, CDV, TCD et approximation d'Euler de l'exponentielle. Intérêt :mêler dans un même exercice le calcul intégral et l'étude des séries. Prolongement: le lemme d'Euler permet entre autre de montrer le théorème d'Artin et de prolonger Gamma à C privé de -N. Place dans une séquence d'enseignement :td ou évaluation.

Exercice 6 : fonctions de répartition Escoffier ex 2.4 Travail de l'élève :montrer comment fabriquer une nouvelle fonction de répartition. Prérequis :théorème 2.1 admis sur la caractérisation des fonctions de répartition. Place dans une séquence d'enseignement :exemple de cours.