Partiel n°3 BTS GO 2 ème année mathématiques 2010-2011

Kdouh

Description

Avec correction. Partiel 3
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour BTS Génie optique

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-pour-le-superieur
• Nombre de lectures: 93
• Langue: Français

Extrait

Partiel n°3 MATHEMATIQUES BTS2GO 2010-2011

Exercice101piotns: ì j(t)1t0£t0p j  On considère la fonction définie sur R, 2π-périodique, et telle que : í j(t)10p£t02p î j  On note S(t ; les coefficients de Fourier associés àdéveloppement de Fourier associé à la fonction ) le a a n  la fonctionϕsont notés 0 , n , b n où est un nombre entier naturel non nul.

j 1. Représenter graphiquement la fonction sur l’intervalle [−2π; 4π].

j 2. a. Calculera0, la valeur moyenne de la fonctionsur une période.  b. On rappelle que pour une fonction f , périodique de période T le carré de la valeur efficace sur une 2 1 T 2  période est donné par : m1 [ f(t) ] dt . ò 0 eff T 2 2 p  Montrer que m eff .le carré de la valeur efficace de la fonction sur une période est égal à 6 1 [ 1os( ) ] 3. Montrer que, pour tout nombre entiern>1, on a : a n 1cnp% . 2 pn 1 1 %cos(n)  Montrer que, pour tout nombre entiern>1, on a : b n p . n 3 S(t)1a# [ acos(nwt)#bsin(nwt) ] å 4. On considère la fonction S 3 définie sur R par : 3 0n n où les nombres n11 j a 0 , a n , b n sont les coefficients de Fourier associes à la fonctiondéfinie précédemment.  a. Recopier et compléter le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandés. aabb a a b 0 1122 3 3 2 1 % 9p3 æ p öæ p ö æ p j%S  b. Calculer la valeur exacte de S 3 , puis donner la valeur approchée de ç ¸ 3 ç ¸ ç ¸ è 4 ø è 4 ø è 4 ø %2  arrondie à 10 . 2 5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carré de la valeur efficace m de la 3  fonction S 3 . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a a m1 # ( #b#a 2 #b 2 #a 3 # 3 b ! 3 0 1 1 2 2 a. Calculer la valeur exacte de m . 3 2 m 3 %2  b. Calculer la valeur approchée de 2 .arrondie à 10 m eff Exercice2:p01tnioN-sveouellal-Conéd700-2ie a  On désigne par un nombre réel positif tel que 0 0 a 0 p / 2  On considère la fonction f définie sur R , paire, périodique de période 2 p , ì f(t)11si0£t£ a ï  telle que : f(t)10sia 0t0 p % a í ï f(t)1 %1sip % a £t£ î

p a 1. Dans cette question, le nombre réel vaut . 3  Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f[ sur l’intervalle %2p; 2p]

2. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f . S(t)1a# [ acos(nt)#bsin(nt) ]  On note å 0n n n³1 t  Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier S pour une valeur a  quelconque du nombre réel tel que 00 a 0 p/ 2

a. Calculer a 0 , valeur moyenne de la fonction f sur une période.

n b. Déterminer b n , désignant un nombre entier naturel strictement positif.

2 n é ù n c. Montrer que, pour tout nombre entier naturel strictement positif, on a : a n 11% ( %1 ! sin ( n ! a ë û np

a a a10 3. Déterminer la valeur 0 laquelle onde pour 3 .

p 4. Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas où a 1 3 Rappels :  Si h désigne une fonction périodique de période T , le carré de la valeur efficaceHde la fonction h sur 2 2 1 r#T  une période est : H1 [ h(t) ] dt . r désignant un nombre réel quelconque. Si les coefficients de ò r T 2 # ¥ 1 1 r # T 2 2 2 2 a a b H 1 [ h(t) ] dt 1 a # ( a # b ! formule de Parseval  Fourier de la fonctionhsont 0 , n et n alors : ò 0 å n n r T2 n 1 1

2 a. Calculer , carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période. F

g(t)1a#acost#bsint#acos(2t)#bsin(2t) b. On définit sur R la fonction g par : 21 2 0 1 2 3  Montrer que g(t)1cos(t ) pour tout nombre réel t . p

2 c. Calculer G ,carré de la valeur efficace de la fonction g sur une période.

2 3 G % d. Donner une valeur approchée à 10 près du quotient 2 F  Ce dernier résultat montre que la fonction g constitue une assez bonne approximation de la fonction f .

Exercice 1 a  La représentation graphique defa été obtenue en représentant la fonctiont  et en dupliquant le segment obtenu par translations de vecteurs ± 2 p i . y

p

/2 p

-4 -7 /2-3 -5 /2-2 -3 /2 - - /2 0 /2 3 /2 p p p p p p p p p p p å Fourier associée àfest : a 0 # acosnx # bsinnx avec : 2. La série de n n

2

p

t sur l'intervalle [0,2p]

5 /2 p

3 7 /2 p p

4 p

x

p p p 1 1 1 a 1 f(t)dt a 1 f(t) cosnt.dt b 1 f(t) sinnt.dt 0n  et n . ò %p ò %p ò %p 2 pp p p 2 2 2 p p é ù 1 1 1t1 p p 1 1 t dt 1 1 ´ 1 a 0 f(t)dt ê ú ò 0 0 ò 2 p 2 p 2 p 2 2 p 2 4 ë û 0 p 3 3 2 T2p p é ù 1 2 1 1 1t1p p 2 2 2 m 1 [ j(t) ] dt1t dt1t dt´ 11 1 eff ê ú ò 0 0 ò 0 ò T2p2p2p3 2p3 6 ë û 0 T2p p 2 2 1 æ ö a1f(t) cos ( nwt ! dt1tcos ( nt ! dt1tcos ( nt ! dt n ç ¸ ò 0 0 ò 0 ò T2p p è ø n  . cosn p1 ( % 1 ! p p p 1 é tsinnt ù 1 1 é cosnt ù 1 æ ö a1 %sin ( nt ! dt10 1 é % % cos(np) 1 %ù ê ú ç ò 0 ¸ ê ú ë û n 2 pn np è ø npn n p ë û 0 ë û 0 1 1 tie donne et ;  Une intégration par par u(t) 1 t u'(t) 1 1 v'(t) cosnt  et v(t) 1 sin(t) . n 2n 1 1 · n a 1 é cos(np)%1 éù 1 1%1 ù 1 0  donc a10 ;  Si est pair cos 2n p1 ( % 1 ! 1 1 et n 2n ë û ë û 2 2 npnp 1%2%2 · n cos é (2n#1)p ù 1 % 1 a 1 é% 1%1 ù 1 a1  Si est impair t 2 ë û e 2 ë û 2 , donc 2n#1 2n#1 (2n#1)p(2n#1)p(2n#1)p 2 1 1 a#Tp p b f( ( !( ! ( ! n 1 t) sinn w t dt 1 tsinnt dt 1 tsinnt dt donne. Une intégration par partie ò a%p ò 0 ò T p p 1 u(t) 1 t u'(t) 1 1 v'(t)1sinnt  et ; et v(t) 1 % cosnt . n p 2 p p p p 1 1 1 é % tcosnt ù 1 ( p% cosn p ) 1 n b 1 tsin ( nt ! dt 1 tsin ( nt ! dt 1 # cos(nt)dt 1 # é sinnt ù ò 0 ò 0 ê ú ò 0 2 ë û 0 p p p n n p n p n p ë û 0 n # 1 %cos ( np ! ( % 1) 1 1 #0 b n  et enfin : b n n n 2n # 1 ( % 1) % 1 cosn p1 1 b 1 1  Sinest pair et 2n ; 2n2n 2n # 2 ( % 1) 1 cos(np)1 %1 b  Si n est impair ,donc 2n # 1 1 1 . n2n # 1 3 p S(t) 1 a # acos(nt) # bsin(nt) ] 1 # acost # acos(2t) # acos(3t) # bsin(t) # bsin(2t) # bsin(3t) 3 0 å n n3 1 1 2 2 3 [ 4 n 1 1

a 0 p 4

a 1 2 % p

b 1 1

a 2 0

b 2 1 % 2

a 3 2 % 9p

b 3 1 3

æ p ö p æ p ö æ 2p ö æ 3 ööæ pp2æp ö3æp 1 #a#a#a#b#b#b S ç ¸ cos ç ¸ 2 cos ç ¸ 3 cos ç ¸ 1 sin ç ¸ 2 sin ç ¸ sin ç ¸ 3 1 3 è 4 ø 4 è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø è 4 ø æ ö æ ö æ ö æ æ p ö p1 22 2 2 1 2 2 S# # 1 % % # 3 ; ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ è 4 ø 4p2 9p2 2 2 3 2 è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ p ö p2 é 12 2 ù 1æ p ö p2 é 16 3#1 ù 1 S#% # 1 # 1# %;S1 % % # % 3 ç ¸ 3 ç ¸ ç ¸ ê ú ç ¸ ê ú è 4 ø 4 2ë p9p3 û 2 è 4 ø 4 2 ë 9p3 û 2 è ø è ø æ ö æ p ö p2 é 16 4 ù 1 S1 # % # % 3 ç ¸ ç ¸ ê ú è 4 ø 4 2 ë 9p3 û 2 è ø æ æ ö ö æ ö æ p ö æp ö p p2 é 16 4 ù 1 1 2 é 16 4 ù j %S# % 1 # % 1 % »# % 0,%043 ç ¸ 3 ç ¸ . ç ¸ ê ú ç ¸ ê ú ç ¸ è 4 ø è 4 ø 24 4 ë 9p3 û 2 2 2 ë 9p3 û è è ø ø è ø 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 p1 æ 4 1 4 1ö p1 æ 49 328 m 1a# ( a#b#a#b#a#b ! 1 # #1# 1 # ## # 3 0 1 1 2 2 3 3 ç ¸ç ¸ 2 2 2 2 16 2 è p 4 81 p 9 ø 16 2 è 36 81 p ø 2 p1 æ 49 328 ö # # 2 ç ¸ 2 2 2 æ ö p m 6 p328 61 49 2 3 16 2 è 3 81 p ø æ ö m 1  . # # 1 1 ´ » . 0, 91344 eff 2 2 ç 2 ¸ 2 ç ¸ 6 m p 16 2 è 36 81 pp ø eff è ø 6 Exercice 2 1. re résentation ra hi ue y

- p

-2 /3 p

- /3 p

1

0

-1

/3 p

2 /3 p

p

4 /3 p

5 /3 p

2 p

1 2 1 1 1 1 a 1 p p p a p%a p a 1 f(t)dt 1 f(t)dt 1 1dt # 0dt # % 1dt 1 [ ] t % [ ] t ò %p 0 ò 0 ò a ò p%a ò 0 0 p%a 2 p 2 p p p pp p 1 a 1 ( a%p#p%a ! 1 0 0 p b10  La fonctionfest paire donc les coefficients n sont tous nuls . T2p p 2 2 2 æ ö a1f(t) cos ( nwt ! dt1f(t) cos ( nt ! dt1f(t) cos ( nt ! dt n ç ¸ ò 0 0 ò 0 ò T2p p è ø a p æ ö p a p 2 2 2 2 é sin(nt) ù é sin(nt) ù æ ö æ ö æ ö ç ¸ a1f(t) cos ( nt ! dt1cos ( nt ! dt#(%1) cos ( nt ! dt1 % ò 0 0 ò p%a ò ç ¸ ç ¸ ç ¸ ê ú ê ú n p è ø p è ø p è ø p ç n n ¸ ë û 0 ë û p%a è ø 2 æ sin(na) sinn(p%a)) ö 2 2 n a1 # 1 ( sin(na)#(sinnpcosna%cos(np) sin(na) ! 1sin(na)% ( 1% ! sin(na) n ç ¸ ( ! pn n npnp è ø 2 n 2 4 é ù a11% ( %1 ! sin ( n ! a ; a1 [ 1#1 ] sin ( 3a ! 1sin ( 3a ! 10 n3 ë û np3p3p

x

ì 2kp a 10# 3a 10#2p ì k ï 3 p sin ( 3a ! 10Û Û 0 a 0 p 1a1 í í , or 20 / , donc a 0 . 3a 1 p #2kp p2kp 3 î ï a 1 # ï î 3 3 T2p p 2 1 2 1 2 2 2 1 p/ 3p 1æ p2pö2 F1 [ f(t) ] dt1(f(t))dt1f(t)dt1 [ t ] # [ t ] 1 # p % 1 ( ! ç ¸ ò 0 0 ò 0 ò 0 2p/ 3 T2p2pèp p 3 3 ø 3 g(t)1a#acost#bsint#acos(2t)#bsin(2t)a1a1b1b10 0 1 21 2 1 20 2 2æ p ö 4 3 2 3 2 æ 2p ö 2 3 a1 [ 1#1 ] sin a1 [ 1%1 ] sin10 1 1 1 ; 2 ç ¸ on obtient, donc g(t)1cos(t ) . ç ¸ 2p3 p è3 ø 2 è ø p p p 2 2 p T2 p æ ö 2 p 2 p 2 1 2 3 121 2 2 6 1 # cos(2t) 6 æ t1 ö G 1 [ g(t) ] dt 1 cost dt 1 cos(t)dt 1 dt 1 # sin(2t) ç ¸ ò 0 ò 0 ç ¸ 3 ò 0 3 ò 0 3 T2 p p 2 p p 2 p è 2 4 ø è ø 0 2 2 2 6 2 p 6 G6 /p96 3 G 1 ´ 1  . et par conséquent on a »´ 1 1 1 0, 91189 3 2 2 2 2 p 2 p F 2 / 3 p 2 p