Mardi 14 décembre 2010.NOM : Mathématiques. 1S1 et 1S2. 1 heure. Calculatrice interdite. 1. Questions de cours a)Définition du nombre dérivé d’une fonction f ena :b)Interprétation géométrique du nombre dérivé d’une fonction f ena: c)Equation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction f au point d’abscissea :d)Compléter. f(x)kDfDf'f'(x)(u v)'1f(x)xDfDf'f'(x)k IR, (ku)'1f(x)1kxDfDf'f'(x)2 f(x)xDfDf'f'(x)(u v)'1 3 Df'f'(x)f(x)1xDfn*n n IN, (u)'1f(x) f(x)1xDfDf'' f(x)11 /xDfDf'f'(x)Df Df'f'(x)(1 /u)'f(x)1x4x² + 4x + 1 2. fest la fonction définie par: f(x) =Df =Df’= x + 1 a)f ’(x) = b)Etude du signe de f ’(x) : c)Tableau de variation : suite au dos …
3x - 6 3.fest la fonction définie par. Df= Df’=: f(x) = 4 - 3x a)f ’(x) = b)Etude du signe def(x): c)Tableau de variation : 1 4.f est la fonction définie parDf’=Df =: f(x) = x² - 4x a)f ’ (x) = b)Etude du signe de f(x) : c)Tableau de variation : 5. f est la fonction définie par= Df’=x Df: f(x) = (x² − 5) a)f’ (x) = b)Etude du signe def ’(x) : c)Tableau de variation : 1 6. f estla fonction définie par :f(x) = 2x +Df =Df’=x a)Equation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 : b)En déduire l’approximation affine de f(1+h) pourhproche de 0 c)Donner alors une valeur approchée de f(1,003) et de f (0,98)
Corrigé. pour les questions de cours : voir le cours ! 4x² + 4x + 1 2. fest la fonction définie par: f(x) = x + 1 Dfpour que x + 1 =IR \{−1}0Df’=Dfcar f est rationnelle (4x² + 4x + 1)'(x + 1) - (4x² + 4x + 1)(x + 1)'(8x + 4)(x + 1) - (4x² + 4x + 1)(8x + 4)(x + 1) - (4x² + 4x + 1) a. f ’(x) == = (x + 1)²(x + 1)²(x + 1)² 4x² + 8x + 3  = (x + 1)² b. Etude du signe de f ’(x) : dansDf’, (x + 1)² > 0 donc f’(x) est du signe du trinôme 4x² + 8x + 3 recherche des racines: Δ= 16 donc x = −3/2 ou x = −1/2 c. Tableau de variation : 3x - 6 3.fest la fonction définie par.: f(x) = 4 - 3x Df= IR\{4/3} pour que 4 – 3x0Df’ =Df car f est rationnelle (3x - 6)'(4 - 3x) - (3x - 6)(4 - 3x)'3(4 - 3x) - (3x - 6)( - 3)-6 a. f ’(x) == = (4 - 3x)²(4 - 3x)²(4 - 3x)² b. Etude du signe def(x): dansDf’, (4 – 3x)² > 0 donc f’(x) est du signe de −6 donc négative. c. Tableau de variation : 1 4.f est la fonction définie par: f(x) = x² - 4x x² − 4x = 0Ûx(x – 4) = 0Ûx = 0 ou x = 4 doncDf; 0}= IR\{4Df’ =Df car f est rationnelle - (x² - 4x)'- (2x - 4)- 2x + 4 a. f ’ (x) == = (x² - 4x)²(x² - 4x)²(x² - 4x)² b. Etude du signe de f(x) : dansDf’, (x² − 4x)² > 0 donc f’(x) est du signe de −2x + 4 c. Tableau de variation : 5. f est la fonction définie par: f(x) = (x² − 5)x pour quex existeDf= [0 ; +¥[Df’ = ]0 ; +¥[ car la fonction racine n’est pas dérivable en 0. 1 4x²+ x² - 55(x² - 1)5(x - 1)(x + 1) a. f’ (x) = (x² − 5)’x + (x²− 5)(x )’ = 2xx + (x² − 5)= == 2 x2 x2 x2 x 5(x + 1) b. Etude du signe def ’(x) : dans ]0 ; +¥0[, > 2 x donc f’(x) est du signe de x − 1 c.Tableau de variation : 1 6. f estla fonction définie par :f(x) = 2x +Df= IR*Df’ =Dfcar f est rationnellex a. latangente (T) à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1a pour équation : y = f’(1)(x – 1) + f(1) or f(1) = 3et f’(x) = 2 – 1/x² d’où f’(1) = 1 donc (T) a pour équation y = x + 2 b. En déduire l’approximation affine de f(1+h) pourhproche de 0 pour x proche de 1 : f(x)»et avec x = 1 + h, pour h proche de 0 : f(1 + h)x + 2»3 + h c. Donner alors une valeur approchée de f(1,003) et de f (0,98) f(1,003) = f(1 + 0,003)»3, 003f(0,98) = f(1 – 0,02)»2, 98