TP Présentation de la méthode d'Euler

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Méthode d'euler
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

TP: Présentation de la méthode d'Euler  On rappelle que si ƒ est une fonction dérivable en a, alors il existe une fonctiontelle que: lim h=0 fah=fah f 'ah h où . h0 fah≈fah f 'a D'où l'approximation:. Cette approximation est d'autant meilleure que h est petit. C'est sur cette approximation qu'est basée la méthode d'Euler. Son idée:Approcher la courbe d'une fonctiondont on ne connait pas l'expression de manière explicite mais dont on connait la dérivé par depetits segments. Exercice 1: f1=1 On suppose qu'il existe une fonction ƒ définie sur [1;2] telle que: f 'x=  x et . fah 1. Compléter:D'après les propriétés de la dérivée, on sait qu'en tout point a de [1;2],a pour approximation fa'h fa affine soitici ... 2. Partageonsl'intervalle [1;2] en deux intervalles de même amplitude: [1;1,5] et [1,5;2]. f1h On sait que f(1) = 1 donca pour approximation affine f1h×  1 soit ... f1,5=f10,5≈... Ainsi, f1,5h De mêmea pour approximation affine f1,5  1,5×h , on en déduit que f2=f1,50,5≈... 3. Représenterles trois points d'abscisses respectives 1 ; 1,5 et 2 ainsi obtenus et les relier par deux segments. (Prendre 10 cm pour la distance entre 1 et 2). Remarque: on obtient ainsi une approximation de la courbe (C) représentative de ƒ. On peut en utilisant le même procédé approcher la courbe de ƒ en partageant l'intervalle en 10 intervalles de même amplitude 0,1. Alors f1=1; f1,1≈1,1; f1,2≈f1,1  1,1×0,1 etc... A vous de calculer. Relier les points par 10 segments pour approcher (C). 4. Miseen œuvre de la méthode sur tableur: ● Écrire dans la colonne A les différentes valeurs subdivisant l'intervalle: dans le cas présent 1 ; 1,1 ; 1,2 ... ; 2. Faire calculer dans la colonne B les différentes approximations. ● ● Tracer le graphique à partir du tableau de valeurs. 1 ● Amélioration: Modifier la feuille de calcul afin de partager l'intervalle [1;2] en n intervalle de même amplitude. n 2 1 fx=x  x 5. Démontrerque la fonction ƒ telle quevérifie les conditions imposées et superposer sa courbe 3 3 (C) sur le dessin précédent. Quelle remarque peut-on faire?

Exercice 2: En utilisant la méthode d'Euler, tracer avec un tableur une approximation de la représentation graphique d'une fonction ƒ 2  = f0=1 définie et dérivable sur [0;2] en sachant que x x xf ' et . Rechercher dans le livre la définition d'une « primitive », trouver alors l'expression d'une telle fonction ƒ et comparer la représentation graphique avec son approximation.

Exercice 3: Approximation de ƒ solution de l'équation ƒ' = f avec f(0) = 1 Remarque: aucune fonction polynôme, rationnelle, trigonométrique... n'est solution de cette équation différentielle. f '=f f0=1 Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur IR telle queet . 1. Soith un nombre réel donné. Par la méthode d'Euler et avec un pas h fixé donner une approximation affine de fh M M0;1 . Cette méthode permet de construire une suite de points n avec 0 . Calculer les fh, f2h,... approximations deet écrire les coordonnées des points correspondants. Vérifier que la suite des ordonnées est géométrique. f0,5, f1, f1,5f2 2. Déterminerune approximation affine deet enchoisissant successivement comme pas 0,5 ; 0,1 ; 0,01. f−1 3. Déterminerune approximation deavec un pas de -0,1. 4. Tracerune représentation graphique de la courbe de ƒ au moyen du tableur sur [0;2] avec un pas de 1 puis de 0,5 puis de 0,2.

f 'x=fx f0=1 Définition:On appellefonction exponentielleet, l'unique fonction ƒ dérivable sur IR telle que fx=expx . On note provisoirement.

CORRECTION du TP:

Exercice 1: f1=1 On donne f 'x=  x et . h f 'afah fah=fa . Icif 'a=  adonc fah  a est une approximation affine de 1. f1h≈1h 2. f1h≈f1h×  1 . Or f(1) = 1 donc. Donc f1,5=f10,5×  1≈1,5 . f2=f1,50,5≈f1,50,5  1,5soit environ 2,11. 3. 4.

5. Lafonction ƒ est définie et dérivable sur [1;2] comme somme et produit de fonctions dérivables sur [1;2]. 2 1 2x  x2 2x  x x  x f 'x= 1×  xx×    ==  . D'où: <=> xf '  x <=> f 'x  3 2  x3 2x3 2x2x 2 3 f 'x= ×  x=  x Il vient queet f(1) = 1. Donc ƒ vérifie les conditions. 3 2 Au niveau des courbes, plus h est petit, plus l'approximation de la courbe devient fidèle à celle de ƒ. y

1

0 12 x Exercice 2: Idem au niveau de la méthode. fah≈fah f 'af 'a=a²a faha²a . Icidonc l'approximation affine de f(a+h) est ici. f0,1≈1 On donne f(0) = 1 donc f(0,1) = f(0 + 0,1) soit environ f(0) + 0,1 (0² + 0) donc. Et le processus continue jusqu'à avoir f(2).

Définition d'une primitive:Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F' est égale à f.

3 3 x x²x3x² Ici on peut donc poser F(x) = x² + x . Il vient par un peu d'astuce que fx=  k . En effet,  '= =x² et 3 23 3 x²2x  '= =x k'=0 et .Trouvons la valeur de k: 2 2 3 3 x x²0 0² On sait que f(0) = 1. Or d'après ce que l'on vient de trouver, fx=  k . D'où f0=  k=k . Donc k=1. 3 23 2 3 x x² => Ainsi, fx=  1 . 3 2 Courbe de ƒ:(en guise de comparaison avec celle trouvée avec la méthode d'Euler)

Exercice 3: Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur IR telle que ƒ = ƒ' et f(0) = 1. a) Soit a un réel fixé. fah≈fah f 'af 'a=fafah≈fa1h . Ordonc . fh=f0h=f01h fh=1h Donc . f2h=fhh=fh1hfh=1h f2h=1h² . Or, donc. n  ≈  On se propose de démontrer par récurrence que f nh1h . (L'initialisation ayant déjà été faite, prouvons l'hérédité) nn1  ≈    ≈   Supposons qu'il existe un rang n pour lequel f nh1h , démontrons que f n1h1h . fn1h=fnhhfnhh fnhf 'nh=fnh soit car. nn1  ≈   ≈      D'où, d'après l'hypothèse de récurrence, nhh ff nh1h1h1h . D'où f nhh≈1h . n  ≈  Donc par récurrence, f nh1h . n e de points M n ont les coordonn Mnh ;1h  La méthode d'Euler permetde construire la suitd éessont n . On remarquera que la suite des abscisses est arithmétique de raison h et que la suite des ordonnées est géométrique de raison 1+h. approximation/h 0,50,1 0,01 550 f0,5 (1 + 0,5) 10,1 10,01 210100 f1 10,510,110,01 315150 f1,5 10,510,110,01 420200 f2 10,510,110,01 On pose h = -0,1 10 − = − ≈ f1 10,1 0,35 . Courbes: