Travaux pratiques (TP) de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

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Tp-barycentre
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour Première SSI

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Extrait

TP MATHEMATIQUES BARYCENTRES –LIGNES DE NIVEAU 1°SSI

Exercice 1. Construire le pointGsi il existe, barycentre de (A ;, a) et (B ;b) dans les cas suivants : 1.a 3 etb 2.= 5a= 5 etb=%4 3.a=%1 etb=%3 = 2 3 4.a= etb= 5.a=%2 etb= 2 6.a= 4 etb= 6 3 2 Exercice 2. Construire le pointGsi il existe, barycentre de (A ;, a), (B ;b) et (C ;c) dans les cas suivants : 1.a= 3 ;b= 5 etc 2.= 4a=%2 ;b= 5 etc= 3 1 1 3.a=%1 ;b=%2 etc=%4 4.a= 2 ;b=% 2 etc= 2 Exercice 3. On considère un triangleABCet l’on désigne parGle barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; -3). a) Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ; -3). b) Montrer que GA#GB10 et en déduire la position de G sur (AI). Exercice 4.  SoitGle barycentre de (A; 1), (B ; -1), (C ; 2) et (D ; 3). a) Quelle relation vectorielle peut-on écrire ? b) Soit J le barycentre de (A ; 1) et (C ; 2) et K le barycentre de (B ; -1) et (D ; 3).  Montrer que 3GB#2GK10 . Construire les pointsJ,KetG. c) Construire le barycentre L de (A ; 1), (B ; -1) et (C ; 2). Montrer que 3GL#2GD10  En déduire une nouvelle construction deG. Exercice 5.  On se donne un triangleABC. Pour tout point M du plan on pose : f(M)12MA%3MB#MC  a) P désignant un point quelconque du plan, prouver quef(M) =f(P) = constante  b) ConstruireG 1 le barycentre de (B ; -3) et (C ; 1). Montrer quef(M) = 2G 1 A  c) ConstruireG 2 le barycentre de (A ; 2) et (C ; 1). Montrer quef(M) = 3 BG 2  d) On désigne parG 3 de (B ; -3) et (A ; 2). Montrer que les droites (le barycentre AG 1 ), (BG 2 ) et (CG 3 )  sont parallèles. En déduire une construction deG 1 ,G 2 etG 3 . Exercice 6. ABCest un triangle rectangle isocèle de sommet A, de côtéa, c’est à dire queadésigne la longueurAB. Pour chaque question déterminer et tracer le lieu des points vérifiant le relation donnée : a) AM#2BM#2CM10 b) 2AM#BM#CM12a c) 2AM#BM#CM12AM%BM%CM   2AM AM%BM%CM d) #BM#CM = Exercice 7.  ABCDest un carré de côtéa. Pour chaque question déterminer le lieu des points vérifiant la  relation donnée : a) AM#BM#CM#DM1AB AM BM CM DM3AM3BM C b)  1# # # % #M%DM c) AM#BM#CM#DM1AM%BM#CM%DM  

Exercice N° 8 Soit ABC un triangle. 1. Construire le point D barycentre de A , ,1   B, 2  le point E barycentre de , A1 ,  ,C  et le , 3  point F barycentre de B  et , 2C,%3 . 2. M est un point quelconque. Simplifier MA#2MB;MA#3MC et2MB%3MC . 3. En déduire la valeur de 4ME%3MD%MF . 4. Montrer que les points D,E et F sont alignés Exercice N° 9  On considère un triangle ABC. Les points I, J et K sont définis de la manière suivante :     · milieu du segment [AB] par rapport à B ;I est le symétrique du uuuuuu BK1 1 BC     · 2JA%3JC1 0 ; 3 1. Faire une figure. Que dire des droites CI , BI et AK ? 2. Exprimer les points I, J et K comme barycentres de A, B et C. 3. Prouver que les droites CI , BI et AK sont concourantes. Exercice N° 10  ABC est un triangle quelconque de centre de gravité G.     · On appelle O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.     · On note A ' , B ' et B ' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].     · Soit enfin K le point défini par OK1OA#OB#OC . 1. Faire une figure, sans placer le point K. 2. Montrer que les vecteurs AK et OA ' sont colinéaires.  En déduire que les droites (AK) et (BC) sont perpendiculaires. 3. Mais qui est donc le point K? 4. Prouver que O1Bar K,%1 ;A,1 ;B,1 ;C,1 . 5. En déduire que les points O, G et K sont alignés et préciser leur position relative. Exercice N° 11   ABCD est un quadrilatère quelconque, I est le milieu de [AC] et J celui de [BD]  On définit le points K par KA1 %2KB , L est le barycentre de { (D,2), (C,1)}  et M est le milieu de [KL] . Faire une figure 1. Montrer que K est le barycentre de A et B avec des coefficients que l'on déterminera 2. Montrer que M est le barycentre de A, B, C et D avec des coefficients que l'on déterminera 3. En déduire que les points J, M et I sont alignés Exercice N° 12  On considère le triangle ABC du plan. 1. a. Déterminer et construire le point G, barycentre de A,1 ;B,%1 ;C,1 .  b. Déterminer et construire le point G’, barycentre de A,1 ;B,;5C,%2 . 2.) a. Soit J le milieu de [AB]. Exprimer GG' et JG' en fonction de AB et AC et en déduire  l’intersection des droites (GG’) et (AB).  b. Montrer que le barycentre I de B ;, 2C,%1 appartient à (GG’). 3. Soit D un point quelconque du plan n’appartenant pas à la droite (AC).  Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].  a. Déterminer trois réelsa,detctels que K soit barycentre de A,a;D,d;C,c  b. Soit E point d’intersection de (DK) et (AC).le  Déterminer les réelsa’etc’tels que E soit barycentre de A,a' ;C,c' . Exercice N° 13 uuuuu  ABC est un triangle. Soit I e point tel que IA13IB , et J est le point tel que JA1 3 2 JC .

uuuuuu  Le point K est tel que BK1 1 3 BC Le but de l’exercice est de démontrer que les droites.  (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes. 1. Faire une figure précise. 2. Montrez que I est le barycentre de A,%2 ;B  et que J est le barycentre de , 6A,%2 ;C, 3 3. Soit G le barycentre de A,%2B, 6C, 3  a. Prouvez que G est aussi le barycentre de I ;, 4C, 3  ; que peut-on en conclure ?  b. Prouvez que G est sur la droite (BJ). 4. Il faut maintenant prouver que G est sur (AK).  a. Montrez que K est le barycentre de B, 6 ;C  . , 3  b. Montrez que G est aussi le barycentre de A,%2 ;K  que peut-on en conclure ? ; , 9 5. Les trois droites (AK), (BJ) et (CI) sont-elles concourantes . Exercice N°14     ABCest un triangle quelconque .On construit les pointsI, JetKde sorte que I est le symétrique uuuuuu  de B par rapport àC ; Jvérifie la relation vectorielle AJ1 2 5 AC etKest le symétrique du milieu  de [AB] par rapport àA. 1. faire une figure 2. Exprimer les pointsI,JetKen tant que barycentre des pointsA,BetC. 3. Montrer que les droites (AI) et (BJ) se coupent au milieu du segment [AC]. Exercice N°15   On donne un triangle ABC de dimensions AC = 4 ; BC = 2 et AB = 3 (unité le cm) 1. Construire les points P et N définis respectivement par :  P est le barycentre des points pondérés A,1 ;B,%2 .  N est le barycentre des points pondérés B,%2 ;C,3 . % 2. Soit G le barycentre de A,1 ;B ;, 2C,3 .  Montrer que A, G et N sont alignés. Préciser la position de G sur [AN].  Montrer que les droites (CP) et (AN) sont sécantes en G. uuuuu 3. Placer le point L tel que LA1 % 4 3 AC  a. Montrer que L est le barycentre des points A et C affectés de coefficients que l’on déterminera.  b. Montrer que L, G et B sont alignés. 4. Montrer que le vecteur v13MA%2MB%MC est indépendant du point M et construire le vecteur v . 5.Déterminer puis représenter l’ensemble des points M tels que : MA%2MB#3MC13MA%2MB%MC Exercice N°16   On considère un triangle ABC vérifiant : AB15 ,AC16 etBC14 .  (unité le cm)  Ainsi que le point G barycentre de A,1 ;B, 2 ;C,%1 et le point H barycentre de A;3,C,%1 . 1. Question de cours :  Démontrer, en n’utilisant que la définition du barycentre, que le point H appartient à la droite (AC) 2. Construire un triangle ABC ainsi que les points G et H 3. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que: MA#2MB%MC1AC 4. Déterminer et construire l'ensemble F des points N du plan tels que: NA#2NB%NC1 %3NA#NC  Exercice N°17 eitrap e  èrmireP ecteurs  v : Dans toute cette question, le plan est muni d’ un repère orthonormé . % Considérons les points de coordonnées respectives 0;3 , 1;1 , et 1;0 . 1. Calculer AB,AC et BC. 2. Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier) 3. Calculer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC .

4. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et BC 5. Trouver les coordonnées du point D pour que ce quadrilatère ABCD soit un carré.  (Il faut évidemment justifier…) 6. Soit I le centre du carré. Calculer ses coordonnées. Que remarque-t on ? (justifier votre réponse)  Calculer IO et IC. Le point I appartient-il à la médiatrice de[OC] ? (justifier) Deuxième partie  ABC est un triangle tel que AB15 ,AC16 etBC14 (en  cm).. 1.Construire le barycentre des points pondérés A,1 ;B ;, 3C,%  . 1, 5  On expliquera la méthode utilisée et on laissera les traits de construction. 2. Quel est l’ ensemble des points M tels que. 2MA#6MB%3MC13AB Troisième partie     ABC  3 est un triangle. I est le point tel que IB#IC1 3  J est le point tel que0 . JA#JC1 0 .     Kest le milieu de [AB]. 1. Faire une figure précise. 2. G est le barycentre de A ;, 3B, 3 ;C,1 .  Montrer queGest aussi le barycentre de A, 3 ;I, 4  Que peut-on en conclure quant aux pointsG, AetI? 3. Montrer queGest aussi le barycentre de B ;, 3J, 4  .  Que peut-on conclure quant aux pointsG,JetB? 4. Montrer queGest sur la droite (CK) . 5. Que peut-on conclure sur les droites (CK), (AI) et (BJ) ? Exercice N° 18 1. a) Construire un triangle ABC vérifiant AB15 ,AC16 etBC1  (unité le cm) . 4 .  Placer  le point I milieu de [AB J milieu de [] , le pointBC  le point G centre de gravité du ] et  triangle ABC  b) Construire le point H barycentre des points pondérés B, 2 ;C,%1 .  c) Construire le barycentre K des points pondérés A ;, 2B, 2 ;C,%1 . 2. a) Montrer que les points K , I et C sont alignés. Les points K,G et C sont-ils alignés ?.  b) Déterminer le point d’intersection des droites (CI ) et (AH) 3. Montrer que AH1 46 . 4. Déterminer et construire l’ensemble (F) des points M du plan tels que :  2MA#2MB%MC1AH 5. Déterminer et construire l’ensemble (D) des points N du plan tels que : 2NA#2NB%NC1NA#NB#NC                                   Exercice N°19 ABC est un triangle. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que MA#4MB#MC13MA#MB

 

Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que MA#4MB#MC13MA#MB Pour « traiter » cette égalité il faut « réduire » les sommes MA#4MB#MC MA#MB

Exercice N° 20  Soit ABC un triangle dont les côtés mesurent AB = 5cm, AC = 7cm et BC = 8cm. 1) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble E1 des points M du plan tels que : MA#2MB#3MC13MA#3MC      2) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble E2 des points M du plan tels que : MA#MB#2MC12AB     

Exercice 1.Construire le pointG, s’il existe, barycentre de (A ;a) et (B ;b) dans les cas suivants : 1.a= 3 etb 2.= 5a= 5 etb=%4 3.a=%1 etb=%3 2 3 4.a= etb= 5.a=%2 etb= 2 6.a= 4 etb= 6    3 2 Correction: uuu 1. 3 GA + 5 GB = 0 Þ  BG = 8 3 BA 2. BG15BA 5. Le barycentre n'existe pas Exercice 2. Construire le pointG, si il existe, barycentre de (A ;a), (B ;b) et (C ;c) dans les cas suivants : 1.a= 3 ;b= 5 etc= 4 2.a=%2 ;b= 5 etc 3 = 1 1 3.a=%1 ;b %2 etc=%4 4.a= ;b=%etc= 2 =

2 2 Correction: uuu 1. I barycentre partiel de (B ; 5) et (C ; 4) ; puis AG = 4 3 AJ ; on peut également tout faire passer par uuuuuuuuu  le point A et on obtient AG1 12 5 AB# 1 3 AC   Exercice 3. On considère un triangleABCet l’on désigne parGle barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; -3). a) Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ; -3). b) Montrer que GA#GB10 déduire la position de G sur (et en AI). Correction: a) BI = 3CB b) GA + 4 GB -3 GC = 0  est le or Ibarycentre partiel de (B ; 4) et (C ; -3) donc affecté du coef. 1. Exercice 4. SoitGle barycentre de (A; 1), (B ; -1), (C ; 2) et (D ; 3). a) Quelle relation vectorielle peut-on écrire ? b) Soit J le barycentre de (A ; 1) et (C ; 2) et K le barycentre de (B ; -1) et (D ; 3).  Montrer que 3GB#2GK10 . Construire les pointsJ,KetG. c) Construire le barycentre L de (A ; 1), (B ; -1) et (C ; 2). Montrer que 3GL#2GD10  En déduire une nouvelle construction deG. Correction: a) GA - GB +2 GC +3 GD = 0 b) JA + 2 JC = 0  Þ3 JC + CA = 0  Þ  CJ = 3 1 CA et %KB + 3 KD = 0   Þ2 KB + 3 BD = 0  Þ  B ¾ K | = 2 3   BD  On a : GA + 2 GC  = 3 GJ  et %GB + 3 GD = 2 GK  ; d'où la relation cherchée. c) idem Exercice 5.  On se donne un triangleABC. Pour tout point M du plan on pose : f(M)12MA%3MB#MC  a) P désignant un point quelconque du plan, prouver quef(M) =f(P) = constante  b) ConstruireG 1 le barycentre de (B ; -3) et (C ; 1). Montrer quef(M) = 2G 1 A  c) ConstruireG 2 le barycentre de (A ; 2) et (C ; 1). Montrer quef(M) = 3 BG 2  d) On désigne parG 3 le barycentre de (B ; -3) et (A ; 2). Montrer que les droites (AG 1 ), (BG 2 ) et (CG 3 )  sont parallèles. En déduire une construction deG 1 ,G 2 etG 3 . Correction: a) f(M) = 2MA%3MB#MC = 2MA%3MA#AB#MA#AC = 3BA#AC . b) %3G 1 B#G 1 C10  et %3MB#MC1 %2MG 1   Û   f(M) = 2MA%2MG 1 = 2G 1 A . c) 2MA#MC13MG 2   Û   f(M) = 3MG 2 %3MB = 3 BG 2 .

d) %3MB#2MA1 %MG 3   Û   f(M) = M ¾ C | % M ¾ G | 3 = G 3 C .  On a donc :f(M) = 2BA#BC = 2G 1 A = 3 BG 2 = G 3 C ;  les vecteurs sont colinéaires et les droites sont parallèles. Exercice 6. ABCest un triangle rectangle isocèle de sommet A, de côtéa, c’est à dire queadésigne la longueurAB. Pour chaque question déterminer et tracer le lieu des points vérifiant le relation donnée : a) AM#2BM#2CM10 b) 2AM#BM#CM = 2a

c) 2AM#BM#CM = 2AM%BM%CM d) 2AM#BM#CM = AM%BM%CM Correction: a) AM#2BM#2CM10 ; 1), (B ; 2), (C ; 2).on a immédiatement M barycentre du système de points (A uuuuuuu On construit en premier le milieu H de [BC] ; puis on a HM1 6 1 HA . b) I barycentre du système de points (A ; 2), (B ; 1) et (C ; 1) {I milieu de [AH]} uuu donc 4MI12a  Û  IM1 2 1 a on en déduit que MÎau cercle de centre I et de rayon½ a. c) 2AM#BM#CM = 2AM%BM%CM  Û  4IM = AB#AC Û IM = 4 1 AB#AC = 4 1 a 2 d) 2AM#BM#CM = AM%BM%CM  Û  4G 1 M = %G 2 M   G 1 barycentre du système de points (A ; 2), (B ; 1), (C ; 1) G 2 barycentre du système de points (A ; 1), (B ;%1), (C ;%1) M est sur la droite perpendiculaire à [G 1 G 2 ] passant par le point situé à ¼ en partant de G 1 . Exercice 7.  ABCDest un carré de côtéa. Pour chaque question déterminer le lieu des points vérifiant la  relation donnée : a) AM#BM CM DM    AB # # = b) AM BM CM   # # #DM = 3AM#3BM%CM%DM c) AM#BM#CM#DM = AM%BM#CM%DM   Correction: a) On a immédiatement M barycentre du système de points (A ; 1), (B ; 1), (C ; 1) et (D ; 1). On construit en premier les milieux de [AB] et de [CD] ; puis on a 4GM1AB . b) I barycentre du système de points (A ; 3), (B ; 3), (C ; -1) et (D ; -1). 3AM#3BM%CM%DM16G 1 I%2G 2 I10 G 1 milieu de [AB] et G 2 de [DC] Donc 3G 1 I%G 2 I10Û2G 1 I1G 2 G  D'où AM#BM#CM#DM = 3AM#3BM%CM%DM  Û  4GM = 4IM  Û  GM = IM  M est sur la médiatrice de [IG] donc MÎ(AB). c) Pas de barycentre AM#BM#CM#DM = AM%BM#CM%DM uuuuuuuuuuuuuuu M = AB C 1 Û  4G   #A#AD1AB#CD or AB#CD10 donc G = M 4

2.              Si M = D, on a  4 + ( – 1) = 3¹0 d’où D barycentre de {(E ; 4) , (F ; – 1)} donc les ponts D, E et F sont alignés   

                

Exercice n°9 :  Il est facile de placer I et K sur la figure. Pour placer J :  2JA%3JC10  osti 2   JA%3JA%3AC10Û %JA%3AC10ÛJA#3AC10  , Soit AJ13AC  ce qui permet de placer J.  On peut conjecturer que les trois droites (CI),(BJ) et (AK) sont concourantes. 1. Pour J :  2JA%3JC1 0 ;(%)1%1 ¹0 donc J est le barycentre de (A,2) et (C,-3) uuuuu 3  Pour I : AI1AB 2 s tio AI%3AB10Û2AI%3AI%3IB10Û %AI%3IB10ÛIA%3IB1 0 . 2  Or1%)1%2¹0 donc I est le barycentre de (A,1) et (B,-3).soit par homogénéité de (A,2) et (B,-6) uuuuuu  Pour K : BK1 1 3 BC sio t 3BK%BC10Û3BK%BK%KC10Û2BK%KC10Û2BK%KC10  Soit. %2KB%KC1 0 ,%(%1 ¹0 donc K est le barycentre de (B,%2) et (C,%1) soit par homogénéité  De (B,-6) et (C,-3) 2 La somme(%,%)est différente de zéro . Soit G le barycentre de (A, 2), (B,-6) et (C,-3).  Par associativité, G est aussi le barycentre de (I,%4) et (C,%3) donc G appartient à (IC).  G est aussi le barycentre de (K,-9) et (A, 2) donc G appartient à (AK). Enfin G est aussi le barycentre  de (J,%1) et (B,%6) donc G appartient à (BJ). Les trois droites sont donc concourantes en G. Exercice 10  La figure est essentielle !

2. OK1OA#OB#OC1OA#2OA ' et OK1OA#AK .On en déduit que AK12OA'  Les vecteurs sont donc colinéaires . (OA’) est la médiatrice de [BC] donc est perpendiculaire à (BC),  (AK) est parallèle à (OA’) . Or, si deux droites sont parallèles ,toute perpendiculaire à l’une est  perpendiculaire à l’autre donc (AK) est perpendiculaire à (BC). 3. On démontre de la même façon que (BK) est perpendiculaire à (AC). (AK) et (BK) sont deux hauteurs  du triangle ABC et se coupent en K donc K est l’orthocentre du triangle. 4. OK1OA#OB#OC soit %OK#OA#OB#OC1 0 . Or%1#1#1#11(donc cette somme est non nulle.  On a donc O barycentre de (K,%1) (A,1) (B,1) et (C,1). 5. Par associativité, O est aussi le barycentre de (G ,3 ) et ( K,%1 ) car G est le centre de gravité du triangle  donc l’isobarycentre des points A,B et C. On a %OK#3OG1 0 ,soit OK13OG  ce qui donne la position relative des trois points : G appartient au segment [OK] donc les points  O, G et K sont alignés

                                             Exercice 11:   L'égalité KA1 %2KB peut s'écrire KA#2KB1 0 ce qui montre que K est le barycentre de { (A,1),  (B,2)} M est le milieu de [KL] il est donc l'isobarycentre de { K , L }  Il est donc le barycentre de { (K,3) , (L,3) } .or K est le barycentre de { (A,1) , (B,2)}et L est le  barycentre de { (D,2) , (C,1)} . donc M est le barycentre de { (A,1) , (B,2) , (D, 2) , (C,1)}  or I est le milieu de [AC] donc le barycentre de { (A,1) , (C, 1) }  et J est le milieu de [BD] donc le barycentre de { (B,2) , (D, 2) }  Par associativité, M est donc le barycentre de { (I,2) , (J,4) }  Donc M appartient à la droite (IJ) et les points I, M et J sont alignés. Exercice 12 1. a) Pour tout point M, on a : (1 – 1 + 1) MG = MA  %  MB + MC .    Pour M = B, on a : BG = BA + BC . Donc G est le quatrième sommet du  parallélogramme construit sur les segments [BA] et [BC].  b) Pour tout point M, on a : (1 + 5%2) MG' = MA + 5 MB  %2 MC .  Pour M = A, on en déduit : 4 AG' = 5 AB  %2 AC , d’où AG' = 4 5 AB  %  1 2 AC .  On en déduit la construction de G’. 2. a) GG' = GA + AG' = CB + 4 5 AB - 2 1 AC (car GABC est un parallélogramme)  donc GG' = 5 1 9 3   CA + AB + 4 AB %  2 AC = 4 AB %  2 AC .           JG' = JA + AG' =% 2 1 AB + 4 5 AB %  1 2 AC (car J est le milieu de [AB]). donc JG' = 4 3   AB %  2 1 AC .  Des égalités précédentes, on déduit : GG' = 3 JG' J, G et G’ sont alignés et. Donc les points  les droites (GG’) et (AB) sont par suites sécantes en J.  b) Pour tout point M du plan, on a : (2 – 1) MI = 2 MB %  MC . Pour M = A, on obtient :

1 3 1          AI = 2 AB - AC . G'I = G'A + AI =%  5 4 AB + 2 AC + 2 AB  %  AC = 4 AB %  2 AC .  On en déduit : G'I = JG' = 3 1   GG' . Donc les points I, G et G’ sont alignés. 3. a) Le point O, milieu de [CD] est le barycentre de (C ; 1 ) et (D ; 1). Considérons le barycentre du  système (C ; 1) , (D ; 1) et (A ; 2) ; c’est, d’après le théorème sur l’associativité du barycentre ,  le barycentre du système : (O ; 1 + 1) et (A ; 2). Ce barycentre est donc le point K. On peut  prendre, par conséquent,a= 2,d= 1 etc= 1.  b) Notons E le barycentre du système (A ; 2) et (C ; 1) ; donc E la droite (AC) et K estappartient à  le barycentre du système : ( E , 2 + 1) et (D ; 1).  Donc K appartient à la droite ( ED ) et, par conséquent, E est le point d’intersection des droites  (AC) et (DK), c’est-à-dire le point E . Donc on peut prendrea’= 2 etc’= 1. Exercice N°13 A

I

B

K

G

C

J

 On considère le point G1Bar A,%2B, 6C, 3 2. %IA#3IB1  est0 donc I bien le barycentre de A,%1 ;B, 3  . 3. On considère le point G1Bar A,%2B, 6C, 3    a. par homogénéité de barycentres I est aussi  barycentre de A,%2 ;B  . De ce fait , 6      G1Bar I ;, 4C  on , 3  peut donc en conclure  que G est sur la droite (CI). b. De même  2JA%3JC1 0 donc J est bien le barycentre de A,%2 ;C  homogénéité par de , 3  barycentres. J est aussi barycentre de A,%2 ;C, 3  ce fait .De G1Bar J,1B, 6     on peut donc en conclure que G est sur la droite (BJ). uuuuuu 4) a) BK1 3 1 BC donc 3 BK1(BK#KC  d’où) , %2KB%KC10Û2KB#KC1  donc0 , K1Bar B ;, 2C,11Bar B ;, 6C, 3  .           b. G est le barycentre A,%2B, 6C, 3 remplace B et C par leur barycentre On  .       K1Bar B ;, 6C, 3  ;donc G1Bar A,%2K  On peut donc en conclure que G appartient , 9  .  à (AK). 5) G appartient aux trois droites (CI), (BJ) et (AK) : elles sont donc bien concourantes ! Exercice n° 15 1. P est le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; -2)  Pour tout point M du plan : MA%2MB1 %MP  le point A : pour en particulier AP12AB    N est le barycentre des points pondérés (B ; -2) et (C ; 3). Pour tout point M du plan : %2MB#3MC1MN    en particulier pour le point B : BN3BC 1 2. G est le barycentre de (A ; 1) ; (B ; -2) et (C ; 3). D’après le théorème d’associativité, G est aussi le  barycentre de (N ; 1) et de (A ; 1). Les points A, G et N sont donc alignés) et G est le milieu de [AN]. 3. G est aussi le barycentre de (P ;-1) et (C ; 3) donc les points G, P et C sont alignés. Les droites (CP)