Travaux pratiques (TP) - exercices de maths sans correction

Kdouh

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Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Extrait

         Exercice 1 1 soit I le milieu d’un segment [AB]. Démontrer que MA 2 #MB 2 12MI 2 # A 2 B 2 pour tout point M du plan. 2.Application :soit ABCD un rectangle de centre I.  Montrer que MA 2 #MC 2 1MB 2 #MD  pour tout point M du plan.. Exercice 2  ABCD est un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 2 et · BAD1 4 ϑ rad  Donner la valeur exacte de AB´AC . Exercice 3  Soient ABCD un carré de côté a, et h un réel tel que 00h0a . On place les points PÎ[AB] et RÎ[AD] de sorte que AP1DR1h . _ _ On place le point Q de sorte que le quadrilatère APQR soit un rectangle. 1. Faire un dessin. 2. Montrer que CQ´PR1CQ´AR%CQ´AP . 3. Exprimer CQ´AR et CQ´AP en fonction de a et h . 4. Donner alors la valeur de CQ´PR . Que peut-on en déduire ? Exercice 4  ABC est un triangle tel que A1;%2 , B4;3 et C%2;1 . 1. Déterminer une équation de la hauteur issue de A. 2. Déterminer une équation de la hauteur issue de B. 3. En déduire les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC. Exercice 5 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, soient A(1; 1), B(6; 2) et C(3; 5). 1. Calculer la distance du point C à la droite (AB). 2. Déterminer une équation de la hauteur issue de C. Exercice 6  Le plan est muni d’un repère O;i;j lamr .orthono Soit C  le cercle d’équation x 2 #y 2 %2x%6y%31 0 . 1. Vérifier que le point A(4 ; 1) appartient au cercle C  . 2. Déterminer le centre et le rayon de C  . 3. En déduire une équation de la tangente à C  en A. Exercice n°7:  ABC est un triangle. (les deux questions sont indépendantes) 1. Montrer que la somme des carrés des médianes est égale aux 3 4 de la somme des carrés des côtés. 2. Montrer que, pour tout pointMdu plan : MA.BC#MB.CA#MC.AB10 3. En déduire que les trois hauteurs sont concourantes. Exercice 8 1. Soient [AB] longueur 6 cm , et de milieu I, et M un point tel queun segment de MI14cm . a. Calculer MA 2 #MB 2 a. Calculer MA´MB 2. Soit ABC un triangle tel que AB17cm ; BC18cm et AC110cm . a. Calculer les valeurs exactes de  cosA; sin 2 Apuis sinA . b. Déterminer alors l’aire du triangle ABC . c. Donner les valeurs exacte de  sinBet sinB  

Exercice 8

On considère un quadrilatère non croisé ABCD dont les diagonales  [AC [] etBD] se  coupent en un point O. On appelle alors H et H  orthocentres respectifs des triangles OAB et OCD.' les 1. Faire un dessin . 2. Montrer que AC´BD1HH'´BD   ( Indication : écrire d’abord AC1AH#HH'#H'C . 3. Procéder de même pour montrer que AC´BD1AC´HH' 4. On note I1m[AD et  ]   J1m[BC  Montrer que ] . AC%BD12IJ . 5. Déduire des questions 2, 3 et 4 que les droites HH'  te  IJ sont perpendiculaires. Exercice 9 Soient A et B deux points distincts du plan. Déterminer l’ensemble 9 des points M du plan tels que AM12BM . Rappel : penser à passer aux carrés scalaires pour factoriser l’équation proposée. Exercice 10  Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 3 cm.  On place les points I et J sur [AC] de sorte que AI = IJ = JC = 1 cm. 1. Calculer BI´BJ . 2. Déterminer les longueurs BI et BJ. 3. En déduire la valeur exacte de  cosIBJ . Exercice 11 Soit ABC un triangle tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm. 1. Calculer  cosA . 2. En déduire  cos 2 Apuis sinA . 3. Déterminer l’aire du triangle ABC. Exercice 12 Dans le plan muni d’un repère orthonormé, soient A(1; 1), B(6; 2) et C(3; 5). 1. Calculer la distance du point C à la droite (AB). 2. Déterminer une équation de la hauteur issue de C.  Exercice 13    Soit ABC un triangle. 2 1. On donne A ϑ 1 , AC = 1, AB = 2. Calculer BC. 3 ϑ 2. On donne 1 et BC = 1. Calculer AC et AB. A1B 6  Exercice 14    Dans un repère orthonormal direct O;i,j , on donne A  , 2; 0B%1;%  , 3C .  ;232 B Donner une mesure de l'angle AC;A . Exercice 15  Soit A et B deux points tels que AB = 4. 1. a. Construire le barycentre G des points pondérés (A, 1) et (B, 3).  b. Calculer les distance AG et BG. 2. Montrer que, pour tout point M du plan : MA 2 #3MB 2 112#4MG 2 . 3. Soit f l’application du plan dans ¡ qui, à tout point M , associe f(M)1MA 2 #3MB 2 .  Montrer que f(M uqsre ) est minimal lo M est en G . 4. Déterminer la ligne de niveau f(M)1  . 61

 Exercice 16 : naissance de cone stReésinagro noituti  

ax0 Le plan est muni d’un repère orthonormal O;i,j . Soit D la droite d’équation cartésienne #by#c1 . A est un point du plan de coordonnées x A ;y A .

1. ue la oint A à la droite D est d1 a x A #b y A #c  Démontrer q distanceddu p a 2 #b 2 2. Application :  D a pour équation réduite y12x% A a pour coordonnées ( 2 ; – 3 ). 1et           Calculer la distanced. Exercice 17  On prendra pour unité de mesure le centimètre. 1. On donne : a = 7, b = 4, c = 3 . les nombres a, b et c peuvent-ils mesurer les côtés d’un triangle ? 2. On donne : a = 7, b = 5, c = 3 . les nombres a, b et c peuvent-ils mesurer les côtés d’un triangle ? a. Construire le triangle. b. En utilisant la relation d’Al-Kashi , calculer  cosA .

c. Donner la valeur de l’angle A , de  sinA . d. En déduire la surface du triangle. in sinC e. Calculer  sB et .  Exprimer les mesures des angles B et C en degrés.

Exercice n°6 : Dans un plan, muni d’un repère orthonormé O;i;j , on donne les points :A(-1 ;3),B(1 ;1) etC(-4 ;0). 1. Calculer les coordonnées du pointG barycentre de (A;4) ; (B;3) et (C;5).  Soit l’expression h M1MA.BC#2MB.MC#3MC.MA10 2. Calculer h G . 3. Exprimer h M en fonction de MG 2 et h G .   4. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan tels que : h M118 .

Exercice 1

Exercice 3 1. Attention à l’ordre des points

: le point Q doit se trouver à l’intérieur du carré ABCD.

3. Le quadrilatère APQR est un rectangle donc (QR)⊥(AR) : de ce fait, R  est le projeté orthogonal de Q sur (AR). De même, D est le projeté

P), si bien que

Exercice 4 On notera (H A ) et (H B ) les hauteurs issues de A et de B. uuu 1. On a BC%6;%2 donc (H A ) admet le vecteur % 1 2 BC3;1 pour vecteur normal.  De ce fait, elle a une équation cartésienne de la forme 3x+y+c= 0.  Comme A(1; −2) appartient à cette droite, on a 3 − 2 +c= 0 soitc= −1.  Ainsi La droite (H A ) a pour équation cartésienne 3x+y− 1 = 0.   uuu 2. On a BC%3;3 donc (H B ) admet le vecteur % 1 3 AC1;%1 pour vecteur normal.  De ce fait, elle a une équation cartésienne de la formex−y+d= 0.  Comme B(4; 3) appartient à cette droite, on a 4 − 3 +d= 0 soitd= −1.  Ainsi La droite (H B ) a pour équation cartésiennex−y− 1 = 0. 3. L’orthocentre H(x;y) du triangle ABC est le point de concours des hauteurs (H A ) et (H B ) :  r

     De ce fait L’orthocentre du triangle ABC est le point H ç æ è ; 2 1 % 2 1 ƒ ø ¸  Exercice n°5   : 1. Un des théorèmes de la médiane appliqué trois fois aux médianes du triangleABCpermet d’écrire : AI 2 1 2 1 è æ ç AB 2 #AC 2 % B 2 C 2 ø ƒ ¸ , BJ 2 1 2 1 æ ç è BA 2 #BC 2 % A 2 C 2 ƒ ¸ ø t CK 2 1 1 è ç æ CA 2 #CB 2 % AB 2 ø ¸ ƒ . e 2 2 æ ƒ AI 2 #BJ 2 #CK 2 1 1 2 ç è AB 2 #AC 2 % B 2 C 2 #BA 2 #BC 2 % A 2 C 2 #CA# 2 CB% 2 A 2 B 2 ¸ 1 ø K1 4 3 AB# 2 AC# 2 BC . La somme des carrés des médianes est donc égale aux 4 3 de la somme des carrés des côtés. 2.Pour tout pointMdu plan : + +  

 

 

                                                                                                        SoitHle point d’intersection des deux hauteurs du triangleABCissues deAet deB. (AH) ^ (BC) et (BH) ^ (AC) Or + +

Happartient à la hauteur issue deCet les trois hauteurs sont donc concourantes. Exercice n°6: G barycentre de A; 4 , B; 3 et C; 5

% G æ 7 5 ƒ 1. x G 1 4´ % 4 1 # #3´ 3 1# #5 5´ %41 %21 12 1 %7 4 et y G 1 4´ 4 3# # 3´1 3 # # 5 5 ´0 1 15 21 1 5 4 è ç Þ 44 ; ¸ ø .

2. Soith(M) =

a)h(G) =

b)h(M)

 

+

+  

+ + 2GB. GC   = +3

.

= =-87/4 …….

=  6 MG 2 + + 2 + 3  = 6 MG 2 + +h(G 6 MG) = 2 +h(G). 1 c) h M118Û6MG 2 #h G118Û6MG 2 118 % %78 4 1 9 4 51 ÛMG 2 1 5 8 9531 24 . L’ensemble des pointsMdu plan tels que :h(M 18 est donc le cercle de centre) =Get de rayon 53 . 8

         b.

+2

+

     

Exercice 8 1.

                                   2.

  

  

  

    3.

    

     

     

        4.

        

      

        Cela signifie que les droites

Exercice 9 1.

 

  pour tout point M, si bien que

 

HH

'

et

IJ

s

ont perpendiculaires.

                                                     ce qui montre que 9 est le cercle de diamètre [FG]. Exercice 10 1.

      car (BA) ^ (AI), (BA) ^ (AJ) et A, I, J sont alignés dans cet ordre. 2. On applique le théorème de Pythagore aux triangles rectangles (en A) BAI et BAJ.  Ceci nous conduit

                                

 Comme alors Exercice 11 1. On pose a = BC, b = AC et c = AB. D’après le théorème d’Al-Kashi, on a

2. Par conséquent,

On dédu

De plus,

De ce fait,

.

d’où

n fondamentale de la trigonométrie qu

puisque c’est

, si bien que

3. On sait qu’alors, l’aire du triangle ABC est

Ainsi

Exercice 12 1. Il nous faut tout d’abord déterminer une équation cartésienne de la droite (AB). B % A 2%1 1 _ Sa pente a1 x y B %x y A 1 6%1 1 5 est _ Son ordonnée à l’origine est b1y A % 5 1 x A 11% 5 1 1 5 4  Ainsi, la droite (AB) admet pour équation y1 5 1 x# 5 s tio 4 x%5y#410 3%5´5#4  On déduit d du o d C,AB1 1 e cette équation que la distance p int C(3; 5) à (AB) est  1 2 #(%5) 2 2. La hauteur issue de C admet pour vecteur normal AB  de ce fait, elle possède 5;1 :  une équation cartésienne de la forme  5x#y#c1 . 0  Comme C(3; 5) appartient à cette droite, alors  5´3#5#c10 soitc1 %20 . 5 20  Ainsi, La hauteur issue de C admet pour équation x#y% 1 . 0

Exercice 14

 

18 26

E

   

      

      

3

  

Exercice 1 (7 points)  Construire un triangle ABC tel que AB = 8, AC = 5 et BC = 6 (l’unité est le cm). I est le milieu de [AB]. 1) Construire l’ensemble _ des points M du plan tels que MA2 + MB2 = 82 . 2) Choisir k pour que la ligne de niveau L k de la fonction f définie par f(M)1MA 2 #MB 2 passe par C. 3) Construire l’ensemble F des points M tels que  61σMA 2 #MB 2 σ 82 . 4) On note G k l’ensemble des points M tels que MA 2 #MB 2 %2MC 2 1k . a) Quelle est la nature de G k b) Choisir k pour que G k passe par B et la construire dans ce cas particulier. Exercice 2. (13 points)  ABC est un triangle tel que AB =7, AC = 9, BC = 8. I est le milieu de [BC] 1) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure de l’exercice (unité : 1cm) 2) a) Calculer AI, et le produit scalaire AB.AC  b) Calculer la valeur de  cosAB;AC sin , puis celle de AB;AC .  c) En déduire l’aire de ABC et le rayon de son cercle circonscrit. 3) On appelle G le milieu de [AI]. Montrer que G est le barycentre de (A,2), (B,1), (C,1).  Calculer GA, GB et GC 4) On pose f M1AM 2 #MB.MC .  Montrer que f M12MG 2 #f(G des lignes de niveau de f. ) . En déduire la nature 5) Calculer f(A  ne udéd eri, )f(G  la valeur de ) et GB.GC . 6) On définit g par g(M)12MA 2 #MB 2 #MC 2 . g  a) Montrer que g(M)14MG 2 #2GA 2 #GB 2 #GC 2  .. En déduire la nature des lignes de niveau de  b) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que f M#g M10