Corrigé bac S 2014 Pondichéry maths spécialité

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CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES DU BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE PONDICHERY 2014 EXERCICE 1: ! !!"1) ! !≤ 2 = 0,15⇔ !! !"= 0,15 ! !!!" ⇔ −! = 0,15 ! !!! ⇔ ! = 1−0,15 !" !,!" ⇔ !=− ≈ 0,081 ! ! !!,!"#!2) a) ! !≥ 3 = 1−! !≤ 3 = 1− 0,081! !" ! !!,!"#! ! !!,!"#×! = 1− −! = 1+! −1= 0,78 ! b) Pour !> 0 et ℎ> 0, démontrons qu’il s’agit d’une loi sans vieillissement : ! !!!!! ∩ !!! ! !!!!! !!! !!!!! ! !≥ !+ℎ = = = !!! ! !!! ! !!! !!! !!! !!!!!" !! !!! !!" !!!!!!! !! ! ! !! !!! !!" !!"= = = = ! =1− −! = 1− !! !"= 1−! !≤ ℎ = ! !≥ ℎ ! !!" !!"!!" ! !! !!!!! ! c) ! !≥ 5 =! !≥ 3+2 = ! !≥ 2 = 1−! !≤ 2 = 1−0,15= 0,85 !!! !!! !)!) ! ! d) !" = = = 12,34 ! !,!"# !"# !"#$ 3) On cherche à savoir au seuil de décision de 5% si la proportion ! de moteurs défectueux dans la population est != ! =1% ou pas à partir de l’échantillon de taille 800. ! ! Vérifions les hypothèses : ! = 800≥ 30 puis !×! = 800× = 8≥ 5 ! !"" ! !! et enfin, !× 1−! = 800× 1− = 800× = 8×99≥ 5 ! !"" !"" ! ! ! ! !! !!! !"" !"" ! !"" !"" L’intervalle est donc : != −1,96× ; +1,96× = 0,003;0,016 !"" !"" !"" !"" !" Or , != = 0,018∉ ! donc on rejette et le résultat remet en question l’annonce de l’entreprise A . !"" EXERCICE 2: ! ! ! ! ! 1) Prenons ! = 1− pour !≥ 2. D’une part, ! −! = 1− − 1− = 1− −1+ ! !!! !! !!! ! !!! ! !!!!!! ! ! ! ! = = > 0 donc !

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Publié le 14 avril 2014
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Langue Français

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CORRIGE DE L’EPREUVE DE MATHEMATIQUES
DU BACCALAUREAT SCIENTIFIQUE

PONDICHERY 2014
EXERCICE 1:
! !!"1) ! !≤ 2 = 0,15⇔ !! !"= 0,15
!
!!!" ⇔ −! = 0,15
!
!!! ⇔ ! = 1−0,15
!" !,!"
⇔ !=− ≈ 0,081
!
! !!,!"#!2) a) ! !≥ 3 = 1−! !≤ 3 = 1− 0,081! !"
!
!!,!"#! ! !!,!"#×! = 1− −! = 1+! −1= 0,78 !
b) Pour !> 0 et ℎ> 0, démontrons qu’il s’agit d’une loi sans vieillissement :
! !!!!! ∩ !!! ! !!!!! !!! !!!!!
! !≥ !+ℎ = = = !!! ! !!! ! !!! !!! !!!
!!!!!" !! !!! !!" !!!!!!! !! ! ! !! !!! !!" !!"= = = = ! =1− −! = 1− !! !"= 1−! !≤ ℎ = ! !≥ ℎ ! !!" !!"!!" ! !! !!!!!
!
c) ! !≥ 5 =! !≥ 3+2 = ! !≥ 2 = 1−! !≤ 2 = 1−0,15= 0,85 !!! !!!
!)!)
! !
d) !" = = = 12,34
! !,!"#
!"# !"#$
3) On cherche à savoir au seuil de décision de 5% si la proportion ! de moteurs défectueux dans la
population est != ! =1% ou pas à partir de l’échantillon de taille 800. !
!
Vérifions les hypothèses : ! = 800≥ 30 puis !×! = 800× = 8≥ 5 ! !""
! !!
et enfin, !× 1−! = 800× 1− = 800× = 8×99≥ 5 ! !"" !""
! ! ! !
!! !!! !"" !"" ! !"" !""
L’intervalle est donc : != −1,96× ; +1,96× = 0,003;0,016
!"" !"" !"" !""
!"
Or , != = 0,018∉ ! donc on rejette et le résultat remet en question l’annonce de l’entreprise A .
!""

EXERCICE 2:
! ! ! ! !
1) Prenons ! = 1− pour !≥ 2. D’une part, ! −! = 1− − 1− = 1− −1+ ! !!! !! !!! ! !!! !
!!!!!! ! ! ! !
= = > 0 donc ! croît, et d’autre part, !≥ 2⇒ ≤ ⇔ 1− ≥ 0 soit ! ≥ 0. ! !! !!! ! !!! ! ! !
Les hypothèses sont donc vérifiées et pourtant, lim ! = 1, donc l’assertion est FAUSSE !→! !
!! !!!
2) Soit ! ∈ ;∞ , ! ! = 2!⇔ 2! ln 2!+1 −1 = 0⇔ != 0 ou !=
! !
Les deux solutions sont dans l’ensemble de définition, donc il n’y a pas une unique solution. FAUX
!! !!3) ! dérivable sur ;∞ et ! ! = 2ln 2!+1 +2!× donc le nombre dérivé en 2 se calcule
! !!!!
!! !en prenant l’image de 2 par ! : ! 2 = 2!"2+ = 1+ !"4. Donc VRAI
!
2 1
4) ! 3 et ! 1 On calcule ! .! = 2×1+3×1−1×5= 0⇔!⊥ℛ donc VRAI ! ℛ ! ℛ
−1 5EXERCICE 4 :
PARTIE A :
1) La situation 3 ne peut pas correspondre car ! décroît et croît, donc !′ devrait être négative et
!positive. Or, sur le graphique, la courbe de ! est toujours au-dessus de l’axe des abscisses donc
!! ≥ 0 ce qui est absurde.
!Pour la situation 2, on a ! qui s’annule en −1 en changeant de signe donc ! devrait admettre un
extremum en −1, (en l’occurrence un minimum) ce qui n’est pas le cas sur le graphique. Donc il
!s’agit de la situation 1. On pourrait aussi remarquer que ! est représentée par une droite non
parallèle à l’axe des ordonnées donc que !′ est affine. Donc, ! devrait être de degré 2 et par
conséquent représentée par une parabole. Mais ceci est exclu puisque la courbe n’admet pas d’axe
de symétrie. Il s’agit donc de la situation 1 .
2) L’équation de la tangente en 0 est, compte tenu des données de l’énoncé ;
!!= ! 0 !−0 +! 0 = 1×!+2= !+2 donc != !+2
3) a) On sait que ! 0 = 2⇔ 1+!= 2⇔ != 1
! !! !b) Comme ! est dérivable, on a ! ! =−! +! et comme ! 0 = 1 on conclut :
!! 0 = 1⇔−1+!= 1⇔ != 2
! !!4) Variations de ! sur ℝ : ! ! = 0⇔=−! +2= 0⇔ !=−!"2
! −∞ −!"2 +∞
!! ! − 0 +
! 3− !"4

!!5) lim ! = 0 et lim 2!+1=+∞ donc lim !=+∞ !→! !→! !→!

PARTIE B :
! ! !!1) a) ! est dérivable sur ℝ et ! ! = ! ! −1=−! +1.
! !! !! ∗! ! ≥ 0⇔−! +1≥ 0⇔ ! ≤ 1⇔−!≤ !"1 (car log croît sur ℝ ) !
⇔ !≥ 0
Donc ! décroît sur ℝ et croît sur ℝ et comme ! 0 = 0 ! !
alors ∀ ! ∈ℝ, ! ! ≥ 0=! 0 ⟺ !"# ! = 0 ℝ
b) Comme ! ! ≥ 0⇔ ! ! ≥ !+2 alors on peut dire que ! toujours au−dessus de ∆
!! !! !! !!!!2) Il suffit de calculer, (! ! − !+2 )!" = ! !"+ !"!− 1!"
!! !! !! !!
!"#é!"#$é
!!!!! ! ! !! ! !! != −! + − ! =−! +! +0− 2− −2 = −! +! −4 !! !!! !!


EXERCICE DE SPECIALITE :
1) a) On peut utiliser la formule des probabilités totales (ligne4) ou la démontrer :
! = (! ∩! )∪ (! ∩! )∪ ! ∩! !!! !!! ! !!! ! !!! !
⇒!(! )=! ! ∩! ∪ ! ∩! ∪ ! ∩! et comme les évènements sont incompatibles : !!! !!! ! !!! ! !!! !
!(! )=! ! ∩! +! ! ∩! +! ! ∩! et grâce aux probabilités conditionnelles : !!! !!! ! !!! ! !!! !
! ! =! ! ! ! +! ! ! ! +! ! ! ! = 0,5! +0,5! +0,1! !!! ! !!! ! ! !!! ! ! !!! ! ! ! !! ! !
Soit finalement, ! = 0,5! +0,5! +0,1! !!! ! ! !
b) On a ! = 1−! −! et du coup, pour tout entier naturel !, ! ! !
! = 0,3! +0,4! +0,2! = 0,4! +0,3! +0,2 1−! −! = 0,2! +0,1! +0,2 !!! ! ! ! ! ! ! ! ! !
! = 0,2! +0,1! +0,7! = 0,1! +0,2! +0,7 1−! −! = −0,6! −0,5! +0,7 !!! ! ! ! ! ! ! ! ! !
2) a) Pour != 1, l’algorithme ne boucle qu’une seule fois et renvoie :
0,4 0,4 0,5 0,1 0,4×0,5+0,4×0,3 0,1 0,42
!"+!= + = + =
0,2 0,1 0,3 0,2 0,2×0,5+0,1×0,3 0,2 0,33
Pour != 3, on peut résumer les résultats dans un tableau :
0,42!= 0< 3

0,33
0,4 0,4 0,42 0,1 0,4!= 1< 3
+ =
0,2 0,1 0,33 0,2 0,317
0,4 0,4 0,4 0,1 0,3868!= 2< 3
+ =
0,2 0,1 0,317 0,2 0,3117
0,3868
Donc l’algorithme renvoie :
0,3117
! 0,3868!
b) Janvier correspond à != 0 donc avril à != 3, or ! = = d’où ! = 0,3868 ! !! 0,3117!

3) a) On sait que != !−! donc !"=!⟺ !−! !=!
⟺ !"−!"=!
⟺ !=!+!"=!"+!

!" !" !"
0,1 !"!! !" !"b) Comme ! est inversible, !"=!⇒!=! != = !" !" !0,2
!" !" !"

4) a) ∀!∈ℕ,! =! −! !!! !!!
=!! +!−!=!! +!− !"+! =!! −!"=! ! −! = !! ! ! ! ! !

!b) On calcule donc ! =! ! −! +! : ! !
0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

0,2 0,1 0,2 0,1 0,2 0,1
!!" !!
0,4 0,4 0,24 0,2 0,136 0,116 0,0776 0,066 !"""" !"""
On a = !! !"#0,2 0,1 0,1 0,09 0,058 0,049 0,033 0,0281
!""" !""""
!"#$! !" ! !!" !! ! !"
! 0,37!! !" !" !"""" !""" !" !" !"""Et ! −!= − = donc = + = ≈ ! ! ! ! !! !"# ! ! !"#$!!! 0,30− −
!" !" !"# !""" !"""" !"# !" !"""""

De ce fait on conclut : ! ≈ 0,37 et ! ≈ 0,3 et enfin, ! = 1−! −! ≈ 0,31 ! ! ! ! !




Vincent R.
Professeur de Mathématiques.