Corrigé de l épreuve de mathématiques spécialité BAC L
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Corrigé de l'épreuve de mathématiques spécialité BAC L

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Téléchargez le corrigé de l'épreuve l'épreuve de mathématiques spécialité du BAC L de l'année 2014.

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Publié le 10 septembre 2014
Nombre de lectures 5 316
Langue Français

Extrait

BACCALAURÉAT

Séries :
ES/L

Épreuve :Mathématiques
(obligatoire)

Session 2014

Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5

PROPOSITION DE CORRIGÉ

1

Exercice 1(5 points)

1)

2)

3)

4)

5)

B=0 ,7
D'après l'arbre ci-contre :pA.
( )

Donc réponse :c).

p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=.0 , 26
( )

Donc réponse :c).

Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12 ,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]

3
Sur 0 ;+∞: ln(x)+ln(x+3)=3 ln 2⇔ lnx×x+3=ln 2 ⇔
] [( )(( ))( )

2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 .
( )( )

Donc réponsed).

56
6
L'aire, en unités d'aire est égale à∫dx=5 lnx2=65 ln −5ln 2 .
[( )]( ) ( )
2
x

Donc réponse :a).

Exercice 2(5 points)

1)

2)

3)

20
u=u−u+50=1250.
1 0 0
100

20 20
u=u−u+50=u1− +50=0
+1n n n, 8un+50.
( )
n
100 100

a)v=u−250=0 ,8u+50−250=0 , 8u−200=0 , 8(u−250)=0 , 8v.
n+1n+1n nn n

Par suite,(v)est une suite géométrique de raisonq=0 , 8 et de premier terme
n

v=u−250=1500−250=1250 .
0 0

n nn
b) Par formule,vn=v0q=1250×0 ,8. Par suite,un=vn+250=250+1250×0 ,8.

4
c)u4=250+1250×0 , 8=762 . Donc la surface de terrain engazonné au bout de 4

2
années est de762m.

2

Comme 0 ,8<décroissante.1 , la
suite(vn)est

n<500

6)

DoncClaude a raison, la surface de terrain engazonné ne pourra être inférieure à
2
250m.

Exercice 3(5 points)

u
limn=250.
n→+∞

3

4)

ln(0 , 2)
nln 0 ,8<2ln 0, ⇔ n>(avecln 0 , 8<0).
( ) ( )( )
ln 0 ,8
( )

b)

60−30 30 3
p X>30=p(X∈[30 ; 60])== = .
( )
60−20 40 4

2)

1)

Partie A

60+20 80
E X= = =40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2

ln(0, 2)
Avec≈7 , 2126 , on obtientn=8comme plus petite valeur dentelle que
0
ln 0 ,8
( )

Interprétation: au bout de 8 années, la surface de terrain engazonné sera inférieure à
2
500m.

n n
De plus,−1<0 ,8<1,, 8lim 0 =0donclim 1250×0 ,8=0et par suite
( ) ( )
n→+∞n→+∞

0,8u+50
n
n+1

n
250+1250×0, 8<500 .

n nn250
a)250+1250×0, 8<500 ⇔ 1250×0, 8<500−250 ⇔ 0 ,8< ⇔
1250

Partie B

1)

2)

3)

p=p(D<57)=0, 5
Comme 57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :1.

(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)

p=p(56 , 75<D<57 , 25)≈0 ,977 d'après la calculatrice.
2

p=1−p≈.0 , 023
3 2

Partie C

1)

2)

66
f= =.0 , 825
80

1 1
Par formule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n

Exercice 4

Partie A

1)

2)

Par lecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.

Par lecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.

Partie B

1)

−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
( ) ( )( )(( ))
' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2

−0 , 5x−0 ,5x
=e 1−0 , 5x−1=−0, 5xe.
( )

D'où le tableau de variations def:
x
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe de e

Signe def '

Variations def

−0 ,5×0
0=2 e=2×1=2et
( )

0

2

+

15

f(15)

−0 ,5×15−3
15=17 e≈9 , 4×10.
( )

fest donc strictement décroissante sur 0 ; 15 .
[ ]

4

5

admet bien une unique solution sur 0 ; 15 .
[ ]

f(0)=2>0 ,1etf15≈0 , 009<0 , 1 . Donc d'après la propriété des valeurs
( )

D'après les résultats affichés,

◦puisf9 , 4≈0 , 104>0 , 1 etf9 ,5≈0 , 099<donc0 ,1 α∈9 , 4 ; 9 , 5[.
( ) ( )]

signe def ' ' x
( )

−0 , 5x
signe de e

Ainsifest concave sur 0 ; 2 (f ' '<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ' '>0 ).
[ ][ ]

3)

+

+

+

4)

+

x
signe de
0 , 25x−0 , 5

0

0

2

0

Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe de'f ' :

La baisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie

au bout de 2 heures.

f ' '(x)change de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.

1)

Partie C

2)

intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf x=0 ,1
( )

2)

D'après la calculatrice :
◦f9≈0 , 12>0 , 1 etf10≈0 , 08<0 , 1doncα∈.9 ; 10
( )( )] [

actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.

D'après la partie B,fα =0 , 1avecα∈donc le médicament n'est plus9 , 4 ; 9 , 5
[ ]
( )

Sur l'intervalle 0 ; 15 , la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]

15

−0, 5x
' ' x=0 , 25x−e0 , 5 .
( ) ( )

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