Cours Mathématiques - Série ES: Limites d’une fonction

Cours Mathématiques - Série ES: Limites d’une fonction

Documents
4 pages
Lire
YouScribe est heureux de vous offrir cette publication

Description

Fiche de révision Mathématiques : Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivée
Ce premier chapitre rappelle utilement, de façon chronologique et résumée, les notions et outils de base relatifs aux études de fonctions ainsi qu’aux propriétés de leurs courbes représentatives. Il constitue donc une part importante de la culture générale dont doit disposer l’élève en abordant le programme de terminale, ainsi que le répertoire des bons réflexes.

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 27 février 2014
Nombre de visites sur la page 65
Langue Français
Signaler un problème

Nº : 22001

Plan de la fiche

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série ES

Fiche 1 : Limites d’une fonction

I -Notations et formes indéterminées(FI)
II -Limites de référence
III -Tableau récapitulatif des résultats généraux en fonction de l’expression de f(x)
IV - Fonctions classiques donnant lieu aux quatreFI
V -Limites d’une fonction composée
VI - Limites et ordre

Ce premier chapitre rappelle utilement, de façon chronologique et résumée,les notions et outils de base relatifs aux études de
fonctions ainsi qu’aux propriétés de leurs courbes représentatives.Il constitue donc une part importante de la culture générale
dont doit disposer l’élève en abordant le programme de terminale, ainsi que le répertoire des bons réflexes qu’il est souhaitable
d’avoir devant les thèmes abordés ci-dessous.

I - Notations et formes indéterminées(FI)

Une fonction fétant donnée, d’ensemble de définitionEf,la notation lim f(x) = b signifie: quand xvaleurs,s’approche, en
x→a
infiniment près dea, l’imagef(x)s’approche, envaleurs, infiniment prèsdeb… Signalons très vite queapeut être un réel, appartenant
àEfou l’infini,et il en est de même pourou pas,bpeut donc fort bien rencontrer les limites suivantes (correctes) :. On

limf(x) = 5exemple,, pour, parf(x) = x + 2
x→3
2
x−9
limf(x) = 6exemple,, pour, parf(x) =
x→3x−3
2
x−5x+2
limf(x) = + ∞, pour, parexemple,f(x) =
x→ −∞x−3
3x−1
+
limf(x) = +∞, pour, parexemple,f(x) =(la notation2sous lim signifie quex > 2;
→2x−2
+
x
-
sixtendait vers2par valeurs inférieures à2, onaurait noté2)
2x−1
limf(x) = 2exemple,, pour, parf(x) =, etc.
x→ + ∞x+3

Formes dites « indéterminées »(FI):quandxtend versa(réel ou infini), il arrive que,selon l’expression def(x)ne sache, on
pasa prioriIl y a quatre formes indéterminées à connaître : ce vers quoi tendvers quoi va tendre ce dernier.f(x)se présente sous
la forme :
∞0
×
∞ – ∞,, ,0 ∞
∞0

► ÀSAVOIR
On doit le plus souvent dire formesa priori indéterminéescar – heureusement ! – on verra que le cours fournit
toujours la bonne règle,l’astuce pour les résoudre (on dit « lever » une indétermination).

Attention, parailleurs, àne pas considérer certaines formes comme indéterminées alors qu’elles ne le sont
pas :

réel≠0 réel≠0 ∞
" "," "," " etc. (cf. tableau 1 page suivante)
∞0 réel

© Tous droits réservés Studyrama 2010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

1

Nº : 22001

II - Limites de référence

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

On admettra les résultats suivants,intuitivement évidents, pournentier naturel non nul :

n
lim x= ∞, demême quelim x= +∞
x→∞x→+ ∞
1 1
im=
ln0même que, delim=0
x
x→∞x→+ ∞
x
n
lim x=0même que, delim x=0
+
x→0
x→0
1 1
lim= ∞même que, delim∞= +
n
+
x→0
x
x→0
x

Série ES

► ÀSAVOIR
Quand le résultat est infini (∞) l’élève saura aisément le signe qu’il convient de placer devant :
13
lim∞= +,lim x∞= −, etc.
−2
x→0 x→− ∞
x

III - Tableau récapitulatif des résultats généraux en fonction de l’expression def(x)

Soient deux fonctionsgeth, dela même variablex. Onsait que
lim g (x) = b
x→a
lim h (x) = b’,a,betb’pouvant être réels ou infinis. On s’intéresse àlimf(x)quandfest définie parf(x) = g (x) + h (x), ou
x→a x→a
g(x)
f(x) = g (x) · h (x), ouf(x) =a alors le tableau :. On
h(x)

b IR, b’ IR*

b IR*, b’ = 0

b = 0 , b’ = 0

b = ∞, b’ IR*

b = ∞, b’= 0

b IR*, b’= ∞

b = 0 , b’ = ∞

b = + ∞, b’= + ∞

b = + ∞, b’= – ∞

b = – ∞, b’= – ∞

g
f= g + hf= g · h
f=
h
b
l = b + b’l = bb’
l =
b'
l = bl = 0l = ∞
l = 0l = 0?
∞ ∞ ∞
∞?∞
∞ ∞0
∞? 0
+ ∞+ ∞?
?– ∞?
– ∞+ ∞?

Tab. 1 Tableau récapitulatif des limites d’une opération de fonctions

Ici, les« ? » indiquent une forme indéterminée ; examinons ci-dessous les exemples typiques où on les rencontre et précisons les
règles pour les lever à chaque cas.

© Tous droits réservés Studyrama 2010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

2

Nº : 22001

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

IV - Fonctions classiques donnant lieu aux quatreFI

Série ES

Notons dès à présent que l’on rencontrera (et assez souvent !) les quatreFI surdes fonctions propres au programme de
terminale.
•∞ – ∞: celapeut arriver quandxtend vers l’infini et quefest un polynôme …
12
Exemple :xlim (−1000x−10.000)?
x→+ ∞
100
RÈGLES
On prend la limite du monôme du plus haut degré :
2
x
12
… =lim () =lim (x)= + ∞(noter que l’on vient de faire appel à une limite de référence).
100 100
x→+ ∞x→+ ∞

•peut arriver quand: celaxtend vers l’infini et quefest une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) …

2
100x+1000x+10.000
Exemple :)lim (?
3 2
x→ + ∞
x−5x−3x−100

RÈGLES
On prend la limite du rapport des monômes du plus haut degré :
1
…= 100×lim ()=0dernière étape,l’usage d’une limite de référence).(également, en
x
x→+ ∞
0
•: cetteFIsurvient quandxtend versa,aétant un réel annulant numérateur et dénominateur. Ce problème est bien connu car
0
on le rencontre dans la définition même du nombre dérivé (cf.Fiche 3).
2
x−9
Exemple :lim = ?
x→x−3
3
Ici il n’y a pas de règle spéciale : il suffit de changer l’expression de la fonction (pour pouvoir éliminer le facteur « annulant », soit
icix – 3) :
…= lim(x + 3) = 6 (x2 – 9 = (x + 3)(x – 3))
x→3
► ÀSAVOIR
Ce problème peut se poser sans que l’on puisse procéder à la factorisation qui « sauve » :
sin x
Exemple :lim? On fera dans ce cas appel aux résultats sur lesnombres dérivés( cf. Fiche 3) :
x
x→0
sin x−sin 0
… =lim=sin' (0)=cos 0=1
x−0
x→0
•0 × ∞: cetteFIest parfois rencontrée pour des fonctions de terminale (pour les fonctionsLnetExp. Onverra en temps voulu
les formules du cours permettant de la lever).

V - Limites d’une fonction composée

DÉFINITION
On rappelle que la notationf= g o h(f,gethétant trois fonctions données),signifie :f(x) = g [h(x)].
2x−1 2x−1
Exemple :f(x)=, avech : x→etg : x→x
x+3 x+3

© Tous droits réservés Studyrama 2010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com

Nº : 22001

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série ES

Pour traiter une limite du typelimf(x), il suffit dechercherlim h (x) = b, puisécrire :limf(x) =lim g(x) …
x→a x→a x→a X→b

Ne pas écrirelim f(x) = g (b), carg peut ne pas être définie enb(mais peut y avoir une limite) !
x → a

Reprenons l’exemple ci-dessus :
2x−1 2x2x−1
lim ()=lim ()=2; donclim=lim X=2
x+x3 x+3
x→+ ∞x→+ ∞x→+ ∞X→2
πx−1
Autre exemple :lim sin()? (réponse :0)
x+1
x→− ∞

VI - Limites et ordre

Il y a un certain nombre de petites règles à connaître, toutes intuitivement évidentes (mais que l’on admettra sans démonstration),
quand on résout des problèmes de limites dans un contexte d’inégalités :

Limites infinies:supposons que dans un voisinage dea,a réelou infini (c’est-à-dire un intervalle centré enapour ou|x|
suffisamment grand quandaest l’infini),fetgsoient deux fonctions telles que :
f(x)≥g (x)etlim g (x) = + ∞, alorslimf(x) = + ∞
x→a x→a
(de même :sif(x) ≤ g (x)etlim g (x) = – ∞, alorslimf(x) = – ∞)
x→a x→a
Limites finies :supposons que dans un voisinage deaon ait :(même signification que ci-dessus),
f(x) ≥g (x)et silimf(x) = letlim g (x) = l’, alorsl≥l’
x→a x→a (≤)
(≤)

RÈGLE
Le (fameux) théorème des « gendarmes »
Ce théorème,très utile,découle des « limites finies » ci dessus.
Si au voisinage dea, ona :g (x) ≤f(x) ≤ h (x)et silim (x) = llim hg (x) =, alorsfa une limite enaetlim f(x) = l.
x→a x→a x→a

2x 2x+1
Exemple :…(dans un contexte donné) on sait que :≤f(x)≤pourxsuffisamment grand.Alors on peut en déduire
x−3 x−5
que :
2x 2x+1
limf(x) = 2, carlim ()=lim ()=2.
x−3 x−3
x→+ ∞x→+ ∞x→+ ∞

► À SAVOIRCas particulier
Si0 ≤f(x) ≤ h (x), et silim h (x) = 0, alorslimf(x) = 0.
x→a x→a

© Tous droits réservés Studyrama 2010
Fiche téléchargée sur www.studyrama.com