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Fiche Cours
MATHEMATIQUES
I - Fonction exponentielle népérienne II - Fonction logarithme népérien III - Courbes représentatives.Dérivabilité de la fonction ln IV - Propriétés conjointes de la fonction exp et de la fonction ln V - Puissance d’exposant réel de a (a > 0) VI - Fonction exponentielle de base a VII - Fonction puissance VIII - Fonction logarithme de base a
I - Fonction exponentielle népérienne
Théorème et définition Il existe une unique fonctionftelle que :dérivable surf’=fetf(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la noteexp.
Propriétés immédiates La fonctionexp.est strictement positive sur La fonctionexpest dérivable suret :exp’(x) = exp(x)pour toutxréel. La fonctionexp.est strictement croissante sur
x Le nombre e.Notatione On désigne le réelexp(1)par la lettree. x On convient de noterepourexp (x), pourtoutxréel.
II - Fonction logarithme népérien
Série S
Théorème et définition La fonctionexpsurréalise une bijection de]0, + ∞[. Sa bijection réciproque,fonction de]0, + ∞[dans ,est appelée fonction logarithme népérien et est notéeln.
Propriétés immédiates La fonctionlnest strictement croissante sur]0, + ∞[. ln 1 = 0;ln e = 1. La fonctionlnest strictement négative sur]0, 1[et strictement positive sur]1, + ∞[.
III - Courbes représentatives. Dérivabilité de la fonction ln
Les courbes représentatives des fonctionslnetexpdans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la première bissectrice. 1 La fonctionlnest dérivable dans]0, + ∞[et(ln)’ (x) =pour x > 0 x
IV - Propriétés conjointes de la fonction exp et de la fonction ln
Réciprocité Pour tout réeluet tout réelvstrictement positif,exp u = véquivaut àu = ln v
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ln( x ) e=xpour toutx]0 ; + ∞] x ln ( e)=xpour toutx
Fiche Cours
MATHEMATIQUES
Série S
Méthode : « Equations et exponentielles, Equations simples », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode :et logarithmes népérien, Equations simples« EquationsExponentielles, logarithmes,», fiche exercices n°3 « puissances ».
Propriété fondamentale Pour tous réelsaetbtous réels strictement positifs, pourcetd: exp(a + b) = exp(a) × exp(b) ln(cd) = ln c + ln d Une exponentielle transforme une somme en produit. Un logarithme transforme un produit en somme.
Conséquences de la propriété fondamentale Pour tous réels a et b,pour tous réels strictement positifs c et d,pour tout n entier relatif : 11Exp(– b)=etln= – ln d exp(b)dexp(a) cExp(a – b)=etln =ln c – ln d exp(b)dn Exp(na)=(exp(a))etln(c)=n ln c n
« OpérationsMéthode :», fiche exercices n°3 «élémentaires et fonction exponentielleExponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Opérations élémentaires et fonction logarithme », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».
Propriétés asymptotiques,croissances comparées x lim e= + ∞etlim lnx= + ∞ x→ + ∞x→ + ∞ x lim e=0etlim ln x= − ∞ + x→ − ∞ x0 x ln x e lim= + ∞etlim=0 nentier naturel non nul nn x→ + ∞x→ + ∞ xx Méthode : « Limites et croissances comparées », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».
Taux d’accroissement • Tauxd’accroissement en zéro de la fonction exponentielle népérienne x e1On a :lim =1 x x0   Cela signifie que la fonction exponentielle est dérivable en zéro et que le nombre dérivé en ce point vaut1. Interprétation géométrique :la tangente à la courbe au point d’abscisse zéro est parallèle à la première bissectrice,c’est-à-dire la droite d’équationy = x.
• Tauxd’accroissement en1de la fonction logarithme népérien. ln(x)On a :lim= 1 x1 x1   Cela signifie que la fonction logarithme népérien est dérivable en1et que le nombre dérivé en ce point vaut1. Interprétation géométriquement :la tangente à la courbe au point d’abscisse1est parallèle à la première bissectrice, c’est-à-dire la droite d’équationy = x.
Egalités, inégalitéset fonctions exp et ln • Pour tous réelsaetbstrictement positifs : ln(a) = ln(b)a = b ln(a) = 0a = 1 ln(a) ≤ ln(b)a ≤ b ln(a) > ln(b)a > b
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Fiche Cours
MATHEMATIQUES
• Pour tout réelλet tout réelxstrictement positif : λ ln(x) = λ x=e
• Pour tous réelsaetb: a b e=e a= b a ea = 0= 1 a b eea ≤ b a b e>e a> b
Série S
Méthode : « Equation du second degré et exponentielle », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Equation du second degré et logarithme », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquations et exponentielle », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquations et logarithmes », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquation du second degré et logarithme », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ». Méthode : « Inéquation du second degré et exponentielle », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».
Fonctions composées par exp et par ln • Exponentielle d’une fonction uu u Siuest une fonction dérivable sur un intervalleIfonction, laeest elle aussi dérivable surIet(e)=u' e. u La fonction exponentielle est toujours positive donc les fonctionsueteont le même sens de variation.
Méthode : « Dérivation des fonctions utilisant la fonction exp », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».
• Logarithme népérien d’une fonction u' Soituune fonction dérivable sur un intervalleIet telle queu(x) > 0surIfonction, laln(u)est elle aussi dérivable surIet(ln(u))=. u La fonctionuétant positive surI, lesfonctionsuetln(u)ont le même sens de variation.
: « Dérivation des fonctions utilisant la fonction ln », fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».Méthode
V - Puissance d’exposant réel de a (a > 0)
b Notationa b bln a Pour tout réelastrictement positif et pour tout réelb, onpose :a=e On lit «apuissanceb»
Propriétés algébriques Pour touta > 0et pour toutb,créels : b a bc a= c a 1 b a= b a c b×c b a=(a) b 1 a=(a)avecc ≠ 0 b c c
VI - Fonction exponentielle de base a
Attention ces fonctions sont définies si et seulement siaest un réel positif non nul et différent de1.
Définition x x xln(a ) On appelle fonction exponentielle de baseadansfonction de, ladéfinie par :xaaveca=e Toute question relative à une fonction exponentielle de basease ramène à une question sur la fonction exponentielle népérienne x xln(a ) en utilisant cette définition :a=e.
Méthode :« Equations et fonctions exponentielles de basea», fiche exercices n°3 « Exponentielles, logarithmes, puissances ».
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• Sia > 1. Alorsln(a) > 0fonction exponentielle de base; laaest strictement croissante. x De pluslim(a)= + ∞etlim(a)=0. x x x→ − ∞ → + ∞ Allure de la courbe :
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Série S
x (ln(a))aqui a le même signe queln(a).
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MATHEMATIQUES
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0
• Si0 < a < 1. Alorsln(a) < 0; lafonction exponentielle de baseaest strictement décroissante. x x De pluslim(a)=0etlim(a)= + ∞ x→ + ∞x→ − ∞ Allure de la courbe :
Sens de variations La fonction exponentielle de base a est dérivable sur. La dérivée de la fonction exponentielle de baseaest la fonctionx
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Fiche Cours
Nº : 32003
VII - Fonction puissance
Fiche Cours
MATHEMATIQUES
Série S
Fonction puissanceα,α≠ 0 αα αln( x ) On appelle fonction puissanceα, lafonction de[0 ; + ∞[dans ;x xavecx=e; Fonction racine n-ième 1 n Pour tout entier naturelnnon nul on appelle fonction racinen-ièmela fonction de[0 ; + ∞[dans :xx. 1 n n On note également :x=x. Fonction exponentielle de base a et fonction puissance 3 3ln( 2) La fonction exponentielle de baseagénéralise la notion d’exposant aux nombres réels.2=e. Ne pas confondre fonction exponentielle de baseaet fonction puissance. 2 fx: xest une fonction puissance. x g : x2est une fonction exponentielle. Cesdeux fonctions ne se manipulent pas de la même manière.Par exemple pour la dérivation : f’(x) = 2 x; en revanche,pour la fonctiongla formule :, il faut appliquer(e)=u' e u u x xln( 2) g(x)=2=e x ln( 2)x g’(x)=(ln(2))e=(ln(2))2
VIII - Fonction logarithme de base a
Attention, ces fonctions sont définies si et seulement siaest un réel positif non nul et différent de1.
Définition ln(x) : ave= On appelle fonction logarithme de basea, lafonction de]0 ; + ∞[dansx loga(x)cloga(x) ln(a) Toute question relative à une fonction logarithme de basease ramènera à une question sur le logarithme népérien en utilisantln(x) cette définition :log (x)= a ln(a) Fonction logarithme décimal ln(x) = C’est la fonction logarithme de basea =10, elle est définie sur les réels positifs non nuls, notéelog, avec:log(x) ln(10) Allure de la courbe :
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0 -0,5
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