Cours Mathématiques - Série ES/S : Les fonctions

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Fiche de révision Mathématiques : Les fonctions
Quelles sont les limites, dérivation et les continuité d'une fonction ?

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Publié le 26 février 2014
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Langue Français
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Nº : 32002

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Fiche Cours

MATHEMATIQUES

I -Limites, comportement asymptotique
II -Dérivation
III -Continuité

I - Limites, comportement asymptotique

Série S

Définitions
Une fonctionfa pour limite+ ∞en+ ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande.
On notelimf∞= +oulimf(x)= +∞.
+ ∞x→ + ∞
Une fonctionfa pour limite+ ∞en− ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue
suffisamment grande.
On notelimf∞= +oulimf(x)= +∞.
− ∞x∞→ −
Une fonctionfa pour limite− ∞en+ ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande.
On notelimf= −∞oulimf(x)∞= −.
+ ∞x→ + ∞
Une fonctionfa pour limite− ∞en− ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue
suffisamment grande.
On notelimf= −∞oulimf(x)= −∞.
− ∞x→ −∞
Une fonctionfa pour limite un réelen+ ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle ouvert contenantcontient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande.
On notelimf=oulimf(x)=.
+ ∞x→ + ∞
Une fonctionfa pour limite un réelen− ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle ouvert contenantcontient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur
absolue suffisamment grande.
On notelimf=oulimf(x)=.
− ∞x∞→ −
Une fonctionfa pour limite+ ∞en a réel lorsque :
• la fonctionfest définie soit sur un intervalle qui contientaun intervalle ouvert dont, soit suraest une borne ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche dea.
On notelimf∞= +oulimf(x)= +∞.
ax→a
Une fonctionfa pour limite− ∞en a réel lorsque :
• la fonctionfest définie soit sur un intervalle qui contientaun intervalle ouvert dont, soit suraest une borne ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche dea.
On notelimf= −∞oulimf(x)= −∞.
ax→a
Une fonctionfa pour limite un réelenaréel lorsque :
• la fonctionfest définie soit sur un intervalle qui contientaun intervalle ouvert dont, soit suraest une borne ;

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1

Nº : 32002

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

• tout intervalle ouvert contenantcontient aussi les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche dea.
On notelimf=oulimf(x)=.
a x→a

Asymptotes
• Asymptote horizontale : lorsquelimf=oulimf=(réel), la courbe représentative defadmet la droite d’équationy =
+ ∞− ∞
pour asymptote horizontale.
• Asymptote verticale : lorsquelimf∞= +oulimf∞= −(aréel), la courbe représentative defadmet la droite d’équationx = a
a
a
pour asymptote verticale.
• Asymptote oblique : lorsquelim(f(x)−(αx+ β))=0 oulim(f(x)−(αx+β))=0courbe représentative de, la fadmet la
x∞→ −
x→ +∞
droite d’équationy = αx + βpour asymptote oblique.

« Montrer qu’une droite est une asymptote oblique »,Méthode :fiche exercices n°2 « Les fonctions ».

Limites et opérations
La lettreadésigne soit un réel,soit+ ∞, soit− ∞lettres. Leset’ désignent des réels.

Somme
• Silimf=etlim g='alorslim(f+g)=+'.
a
a a
• Silimf=etlim g∞= +alorslim(f+g)= +∞.
a aa
• Silimf=betlim g= −∞alorslim(f+g)= −∞.
a aa
• Silimf∞= +etlim g= +∞alorslim(f+g)= +∞.
a aa
• Silimf= −∞etlim g= −∞alorslim(f+g)= −∞.
a aa
Produit
• Silimf=etlim g='alorslim(fg)= '.
a aa
• Silimf=>0etlim g= +∞alorslim(fg)= +∞.
a aa
• Silimf=>0etlim g∞= −alorslim(fg)∞= −.
a
a a
• Silimf=>0etlim g= +∞alorslim(fg)∞= −.
a a
a
• Silimf=>0etlim g∞= −alorslim(fg)= +∞.
a aa
• Silimf= +∞etlim g= +∞alorslim(fg)∞= +.
a
a a
• Silimf= +∞etlim g= −∞alorslim(fg)= −∞.
a a
a
• Silimf= −∞etlim g= −∞alorslim(fg)∞= +.
a
a a
Inverse
1 1
=
• Silim get≠ 0alors= lim=.
a
a
g
1
=
• Si0lim getg > 0alors= lim∞= +.
a
a
g
1
=
• Si0lim getg < 0alors= lim= −∞.
a
a
g
1
Silim g∞= −alo
• rs= lim=.
0
a
a
g
1
= +∞
• Silim galors= lim=0.
a
a
g

Il est essentiel de garder à l’esprit que ces théorèmes sont des conditions suffisantes.Les cas non envisagés sont
des « formes indéterminées » qui demandent à être étudiées cas par cas.

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Nº : 32002

Pour déterminer des limites

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

► ÀSAVOIRFONCTIONS DE RÉFÉRENCE
nest un entier strictement positif.
n1
•lim x∞= +;lim x= +∞;lim=0;
n
x→ + ∞x→ + ∞x→ + ∞
x
1 111
n
•lim x=0;lim x=0;lim∞= +;lim∞= +;lim= +∞;lim= −∞;
n 2n2 n−1
x→0 x→0 x→0, x>0 x→0 x→0, x<0x→0, x<0
x xx
x
sin x
•lim=1;
x→0
x

A propos des notations :
1
•lim∞= +signifie que c’est la fonction
n
x→0, x>0
x


]0,+ ∞[→ ;

1
x

n
x
qui a pour limite+ ∞lorsque la variable tend vers zéro.
1
•lim= +∞signifie que c’est la fonction
2 n
x→0, x<0
x


]− ∞,0[→;

1
x

2 n
x
qui a pour limite+ ∞lorsque la variable tend vers zéro.

Méthode :« Calculer des limites »,fiche exercices n°2 « Les fonctions ».

Théorèmes de comparaison
La lettre a désigne soit un réel,soit+ ∞, soit− ∞. Leslettres et désignentLes lettresdes réels.f,g,u etvdes désignent
fonctions.

• Sif≤ gau voisinage deaet silimf= +∞alorslim g∞= +.
a a
• Sif≥ gau voisinage deaet silimf= −∞alorslim g∞= −.
a a
• Siu ≤f≤ vau voisinage deaet silim u=etlim v=alorslimf=(théorème des gendarmes).
a aa
• Sif≤ gau voisinage deaet silimf=etlim g='alors≤.

a a

Limite d’une fonction composée
Chacune des lettresa,etdésigne un réel,+ ∞ou− ∞lettres. Lesuetvdésignent des fonctions.
Silim u=etlim v='alorslim vu='.
a
a

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Nº : 32002

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Exemples :
a)lim(1−x)∞= +etlim t∞= +entraînentlim 1−x= +∞.
x→ −∞t→ + ∞x→ + ∞
1
sin
1sin t1 1
x
b)lim=0etlim=1entraînentlim xsin=1carx sin=pourx > 0.
1
x→ + ∞→0x→ + ∞
xtx x
x

Fonctions et suites
• Silimf=alorslim(f(n))n.
=
+ ∞
=etlimf=a=
• Silim(un)nalorslim(f(un))n.
a

Exemples :
11
a) La suiten sinconverge vers1carlim xsin=1l’exercice précédent., d’après
x→ + ∞
n x
 n>0
1
sin
1sin x
n
 
b) La suite converge vers0et la fonctionxa pour limite1en0. Il enrésulte que la suite
1
nn>0x 
 
1.nn>0
converge vers
On retrouve le résultat ci-dessus.

II - Continuité

Définitions
• Une fonctionfdéfinie sur un intervalleIest continue enaappartenant àIlorsquelimf=f(a).
a
• Elle est continue sur l’intervalleIlorsqu’elle est continue en tout point deI.

Propriétés
• Toutefonction usuelle est continue sur tout intervalle sur lequel elle est définie.
• Une somme, un produit de fonctions continues surIest une fonction continueI. L’inversed’une fonction continue surIet qui
ne s’annule pas surIest continu surI.

Théorème des valeurs intermédiaires
Soitfune fonction continue sur un intervalleIet deux réelsaetbappartenant àIet tels quea < b. Pourtout réelkcompris entre
f(a)etf(b), il existeun réelccompris entreaetbtel quef(c) = k.
Cela revient à exprimer que le réelcest une solution de l’équationf(x) = kdans l’intervalleI.

Corollaire
Pour que l’équationf(x) = 0admette une solution dans l’intervalleIil suffit que la fonctionfsoit continue sur l’intervalleIet qu’il
existe dans cet intervalle deux réels dont les images sont de signes contraires.

Fonction continue strictement monotone
Soitfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalle[a, b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe
un réelcet un seul appartenant à l’intervalle[a, b]tel quef(c) = k.
Cela revient à exprimer que le réelcest l’unique solution de l’équationf(x) = kdans l’intervalle[a, b].

Corollaire
Pour que l’équation f(x) = 0 admetteune solution et une seule dans l’intervalleI ,il suffit que la fonction fsoit continue et
strictement monotone sur l’intervalleIet qu’il existe dans cet intervalle deux réels dont les images sont de signes contraires.

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Nº : 32002

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Exemple :
Résoudre dans[0, 1]l’équationcos x = x.
La fonctionf: xx − cos xest continue et strictement croissante (somme des fonctionsx xetx− cos xcontinues
et strictement croissantes sur[0, 1]). Lesimages des bornes de l’intervalle[0, 1]sont−1et1 − cos 1, réel strictement
négatif, ellesencadrent donc0. Parsuite il existe un réelcunique appartenant à[0, 1]tel quef(x) = 0.

fiche exercices n°2 « Les fonctions ».« Résoudre une équation »,Méthode :
« Encadrer une solution d’une équation du typeMéthode :f(x) = 0», ficheexercices n°2 « Les fonctions ».

III - Dérivation

Définitions
Soitfune fonction définie sur un intervalleIet un réelaappartenant àIpropositions suivantes sont équivalentes :. Les
f(x)−f(a)
• il existe un réeltel quelim=;
x→a
x−a
f(a+h)−f(a)
• il existe un réeltel quelim=;
h→0
h
• il existe un réelune fonction etε telsquef(x) −f(a) = (x − a)+ (x − a) ε (x − a) pourxproche de suffisammenta, avec
limε(x−a)=0;
x→a
• il existe un réelet une fonctionεtels quef(a + h) −f(a) = h+ h ε (h)pourxavecsuffisamment petit,limε(h)=0.
h→0
Lorsque ces propositions sont satisfaites,on dit que la fonction fest dérivable ena etque le réelle nombre dérivé de est f
ena.

Exemples :
Etudier la dérivabilité defenaet déterminer, le cas échéant,le nombre dérivé defena.
1
a)f: xeta = 1
x
1 1−(1+h)
−1
f(a+h)−f(a)1+h 1+h−1−1
= ==pourhDenon nul et suffisamment petit.lim= −1, ilrésulte quefest
h→0
h hh 1+h1+h
dérivable en1et le nombre dérivé est−1.
2
b)f: xx−x+2eta = 0
f(h) −f(0) = − h + h ε (h)avecε (h) = h. Doncfest dérivable en0et le nombre dérivé est1.

c)f: xxeta = 0
x−0 11
=pourx > 0etlim∞= +prouvent quefn’est pas dérivable en0.
x→0
x
x x
d)f|x|: xeta = 0.
x1 pour>0
x−0

=
. Doncfn’est pas dérivable en0est dérivable à gauche et à droite,. Cependant on dit qu’elle
x
 −x1 pour<0

le nombre dérivé à gauche étant−1et le nombre dérivé à droite étant1.

Continuité et dérivabilité
Si une fonction est dérivable enaréel alors elle est continue enafonctions. Lesxxetxxsont continues en0et non
dérivables en0.
Pour qu’une fonction soit continue enaqu’elle soit dérivable ennon nécessaire,réel, il est suffisant, maisa.
Pour qu’une fonction soit dérivable enanon suffisant,qu’elle soit continue enréel, il est nécessaire, maisa.

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Nº : 32002

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Fonction dérivée
Lorsqu’une fonctionfest dérivable en tout point d’un intervalleI, ondit qu’elle est dérivable surI.
La fonctionf ’tout point, qui àadeIassocie le nombre dérivé defena, est lafonction dérivée def.
Désormais le nombre dérivé defenaest notéf ’ (a).
Fonctions usuelles
f(x) f ’(x) ConditionssurI
x 1 aucune
nn−1
xavecn > 1,n∈ n x aucune
nn−1
xavecn < 0,n ∈ n x 0∉I
1
1

2 0∉I
x
x
1
x I⊂ ]0,+ ∞[
2 x
x1 si>0

|x|  0∉I
 −x1 si<0

sinx cos x aucune
cosx − sin x aucune
21
tanx 1+tan x= I⊂{x, cos x ≠ 0}
2
cos x

Tangente
Lorsqu’une fonctionfest dérivable enala droite de coefficient directeurf ’(a)qui passe par le pointA(a,f(a))est la tangente enA
à la courbe représentative defdroite a pour équation. Cettey = (x − a)f ’(a)+f(a).

Dérivation et opérations
• Si les fonctionsuetvsont dérivables dans l’intervalleIalors les fonctionsu + vetuvsont dérivables dansI.
u
• Si les fonctionsuetvsont dérivables dans l’intervalleIet sivne s’annule pas dansIalors la fonctionest dérivable dansI.
v
n
• Si la fonctionuest dérivable dansIalors la fonctionuest dérivable dansIpour tout entier naturelnnon nul.
n
• Si la fonctionuest dérivable dansIet ne s’annule pas dansIalors la fonctionuest dérivable dansIpour tout entier relatifn
strictement négatif.
• Si la fonctionuest dérivable dans l’intervalleIet si la fonctionvest dérivable dans l’intervalleJtel queu(I)est inclus dansJalors
vuest dérivable dansI.
• Si la fonctionuest dérivable dansIet est strictement positive dansIalors la fonctionuest dérivable dansI.

Formules à appliquer selon les théorèmes ci-dessus
•(u + v)’ = u’ + v’.
•(uv)’ = u’v + uv’.
uu ' v−u v '

 =
•2.
vv

n n−1
•(u)=n u×u '.

•(vu)=(v 'u)×u '.
u '

( )
•u=.
2 u

Ces théorèmes sont des conditions suffisantes et non pas des conditions nécessaires.A ce sujet,se reporter au
point méthode indiqué ci-dessous.

fiche exercices n°2 « Les fonctions ».Méthode :« Etudier la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle »,

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Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Exemples :
1−3−1
2−6 x
a) La fonctionf: xest dérivable dans]− 1, 1[et( )( )2 4
f' x= −3 x−1×2 x=pourx∈]−1, 1[.
3
2
(x−1)(x−1)
 π π 
b) La fonctiong : xcos3x− est dérivable dansetg '(x)= −3 sin3x− pour toutx.
6 6
23x
c) La fonctionh : x3x−1est dérivable dans[1, 2]eth '(x)=pourx∈[1, 2].
2
3x−1

Du bon usage de l’adjectif « dérivable » .. .
Cet adjectif doit être exclusivement suivi d’une locution d’un des types suivants : « ena. . . », « réeldans
l’intervalle .. . ».
1
Ainsi, écrire: «la fonctionf: x est dérivable dans l’intervalle]−1, 1[et dans l’intervalle]1, + ∞ [»
2 3
(x –1)

1
est correct, écrire : « la fonctionf: x est dérivable dans]1,+ ∞ []−1, 1[» est incorrect.
2 3
(x –1)

Variations d’une fonction dérivable
Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI.
• Sif ’est strictement positive surIsauf peut-être en des points isolés où elle s’annule alorsfest strictement croissante surI.
• Sif ’est strictement négative surIsauf peut-être en des points isolés où elle s’annule alorsfest strictement décroissante surI.
• Sif ’est nulle surIalorsfest constante surI.

Exemple :
4
La fonctionxxest strictement croissante surcar sa dérivée est strictement positive sur
s’annule.

Extremum
Soitfune fonction dérivable sur un intervalle ouvertIetaun élément deI.
• Sifadmet un extremum local enaalorsf ’(a) = 0.
• Sif ’s’annule enaen changeant de signe alorsfadmet un extremum local ena.

sauf en0où elle

« Optimiser », fiche exercices n°2 « Les fonctions ».Méthode :
fiche exercices n°2 « Les fonctions ».« Etablir une inégalité sur un intervalle »,Méthode :
Méthode :« Résoudre une équation »,fiche exercices n°2 « Les fonctions ».
Méthode :« Utiliser une fonction auxiliairegpour étudier une fonctionfexercices n°2 « Les fonctions ».», fiche
Méthode :« Encadrerf(α)lorsque la fonctionfprésente un extremum enα», ficheexercices n°2 « Les fonctions ».

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