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Devoir Surveille n PSI

4 pages
Devoir Surveille n?2 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 15 Octobre 2011) (duree : 4 heures) Questions de cours ou Applications tres directes Duree Conseillee 30 mn 1. Donner la definition d'une serie numerique convergente (resp : divergente). 2. Demontrer la condition necessaire d'une serie numerique convergente et justifier que cette condition n'est pas suffisante. 3. Donner la definition d'une serie numerique absolument convergente. 4. Qu'appelle-t-on serie de Riemann ? Quelle est leur nature ?. 5. Donner une serie convergente et non absolument convergente. 6. Citer cinq criteres pour demontrer la convergence d'une serie numerique a termes positifs. 7. Donner la formule de Stirling. 8. Donner la definition du determinant de n vecteurs dans une base d'un K-e.v de dimension n. 9. Determiner le determinant de l'endomorphisme f de Mn(R) defini par : ?M ?Mn(R), f(M) = M +t M 10. Donner la comatrice de ( a b c d ) . 11. Verifier que la matrice A = ? ? 1 1 1 1 2 1 0 1 2 ? ? est inversible et l'aide des formules de Cramer, donner son inverse. Exercice Duree Conseillee 30 mn Soit ? ? R.

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  • serie numerique convergente

  • calculer ∆

  • ?n

  • convergence de la serie ∑

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DevoirSurveill´en2 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 15 Octobre 2011) (dure´e:4heures)
QuestionsdecoursouApplicationstre`sdirectes Dur´eeConseille´e30mn 1.Donnerlad´enitiondunes´erienum´eriqueconvergente(resp:divergente). 2.D´emontrerlaconditionne´cessairedunese´rienume´riqueconvergenteetjustierquecettecondition n’est pas suffisante. 3.Donnerlad´enitiondunes´erienum´eriqueabsolumentconvergente. 4.Quappelle-t-onse´riedeRiemann?Quelleestleurnature?. 5.Donnerunes´erieconvergenteetnonabsolumentconvergente. 6.Citercinqcrit`erespourd´emontrerlaconvergencedunese´rienum´eriquea`termespositifs. 7. Donner la formule de Stirling. 8.Donnerlade´nitiondude´terminantdenvecteurs dans une base d’unK-e.v de dimensionn. 9.De´terminerled´eterminantdelendomorphismefdeMn(R)d´eapin:r t M∈ Mn(R), f(M) =M+M   a b 10. Donner la comatrice de. c d   1 1 1   11.Ve´rierquelamatriceAl’aide des formules de Cramer, donnerest inversible et2 1= 1 0 1 2 son inverse. Exercice Dure´eConseille´e30mn SoitλRnscoOn.:nantreim´dteereldie` 2 3 1λλ λ 3 2 λ1λ λ Δ = 2 3 λ λ1λ   2 3 λ λλ1 1)Sionde´signeparK1,K2,K3K4onlneessvdeecΔteurscolet,ra`le,pxilicd´leeretdeaiΔ,deanimtn det(K1+K3,K2,K3K1,K4) 2) Calculer Δ .
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