Devoir Surveille n PSI

Documents
3 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Devoir Surveille n?3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 2 Octobre 2010) (dure : 4 heures) Questions de cours 1. Demontrer que la serie harmonique diverge. 2. Citer et demontrer la condition necessaire de convergence d'une serie. Donner un contre- exemple montrant que cette condition n'est pas suffisante. 3. Etablir qu'il existe ? ? IR, n∑ k=1 1 k = ln(n) + ?+ o n?+∞ (1). 4. Citer cinq criteres permettant d'obtenir la nature d'une serie a termes positifs. 5. Citer et demontrer le C.S.S.A. Exercice I – Etude de series dont le terme general est le reste d'une serie convergente. Soit n0 un entier naturel fixe. Soit ∑ n>n0 an une serie convergente. On definit pour n entier naturel superieur ou egal a n0 , rn son reste de rang n : rn = +∞∑ k=n+1 ak. Le but de l'exercice est d'etudier la convergence de la serie ∑ n>n0 rn dans trois exemples differents. Exemple 1 1. On pose pour n> 0, an = 1 2n . Calculer rn puis montrer que ∑ n> 0 rn converge et calculer sa somme.

  • reel quelconque

  • expression integrale de rn

  • devoir surveille n?3

  • condition necessaire de convergence

  • convergence de la serie ∑

  • serie

  • nature de la serie ∑

  • regle de raabe-duhamel


Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 octobre 2010
Nombre de visites sur la page 94
Langue Français
Signaler un problème
Questions de cours
DevoirSurveill´en3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 2 Octobre 2010) (dure : 4 heures)
1.D´emontrerquelas´erieharmoniquediverge. 2.Citeretd´emontrerlaconditionn´ecessairedeconvergencedunes´erie.Donneruncontre-exemple montrant que cette condition n’est pas suffisante. n X 1 3. Etablir qu’il existeγIRln(, =n) +γ+o(1). n+k k=1 4.Citercinqcrit`erespermettantdobtenirlanaturedunes´erie`atermespositifs. 5.Citeretde´montrerleC.S.S.A.
ExerciceIEtudedes´eriesdontletermege´ne´ralestlerestedunese´rie convergente. P Soitn0iltx´et.uSroeernaentinuaned´One.routpniuneeioc´sreegtnvnrenentier naturel n>n0 +P sup´erieurou´egal`an0,rnson reste de rangn:rn=ak. k=n+1 P Lebutdelexerciceestd´etudierlaconvergencedelase´rierndesplemexisrostanst.id´rene n>n0 Exemple 1 1 1.On pose pourn>0,an= . n 2 P Calculerrnpuis montrer quernconverge et calculer sa somme. n>0
Exemple 2 1 2.On pose pourn>1,an= . 2 n Nousallonschercherune´quivalentde(rn). Soitkitreus´preeiruuo.1a`laugnee´n 1 11 a.Montrer quet[k, k+ 1],6 6. 2 22 (k+ 1)t k b.quepuired´edEnulelurnnnoeitntanrtruoetuonet pour tout entierNus´perieur`a ZN NX N+1 P1 dt1 2et`anon a :+ 1,6 6. 2 22 (k+ 1)t k k=n+1n+1 k=n+1 c.relnnatutierutenlnounndEopeuotruude´qerin, on a : 1 11 6rn6+ . 2 n+ 1n(+ 1n+ 1) d.qeiuaveltned(´nusrolarennoDrn) lorsquenest au voisinage de +. P Quepeut-onenconcluresurlanaturedelas´eriern? n>1
1