mode d'une série stat à variable continue

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• Publié par: benaf
• Publié le: 09 mai 2015
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• Langue: Français

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       BENMAKHLOUF ABDELFATEH [e-mail] Université Bordj Bouarerridj, Faculté des sciences et techniques Algérie Résumé: On ne retrouve pas de difficulté dans la détermination du mode d’une série statistique à variable discrète ; le problème se pose pour une variable statistique continue, où la documentation donne différentes estimations du mode. Dans ce travail on parlera de ces estimations puis on arrive finalement à la bonne méthode de détermination du mode. Mots clefs: série statistique, variable continue, densité de classe, mode 1-Introduction : On trouve aussi (fig.2), le mode est le centre de la Le mode pour une variable statistique discrète, est classe modale, il peut être calculé à partir de la par définition, l’élément de la série statistique qui a classe ayant le plus grand effectif, Il se calcul sur le plus grand effectif. Graphiquement, c’est l'histogramme par:  l’élément de la plus grande hauteur.  =  +  + Une variable statistique continue est définit par un intervalle, ce qui signifie qu’il n y a pas une valeur précise, on parle ici d’une classe modale, certaines documentations détermine cette classe en regardant à la plus grande fréquence (effectif). On va voir par la suite que cette constatation est fausse. D’autres, estime une valeur pour le mode dans cette classe modale. Fig.2 : Milieu de la classe dont la fréquence est laplusgrande Mo=6.75 A ce stade, on trouve différentes analyses et valeurs du mode. Dans ce travail, on va répondre à la question :quelle est la valeur qui représente fidèlement le mode? 2-Ce qu’il y a dans la documentation Le mode est un paramètre statistique de tendance  Fig. 3 : classe modale et détermination graphique centrale, on le trouve souvent dans divers documentations (livres) ; sur le net. C’est un D’après les données du taleau et l’histogramme on paramètre qui sera étudié par nos étudiants. a : Sa valeur se diffère d’un document à l’autre, on 4 trouve par exemple celles qui ne parlent pas de mode  = 49 + 2 = 50.14 4 + 3 mais, de classe modale, logiquement c’est juste, La même formule est utilisée pour des classes mais elle ne peut pas être utilisée dans divers d’amplitudes différentes. analyses statistiques.

Fig.1 : Classe modale d’une variable quantitative continue

Fig.4 : Le mode

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3-Résumé de tous les cas possibles et analyse On peut résumer tous les cas possibles par l’organigramme suivant :

le plus grand effectif

classe modale

la plus grande densité

mode

centre de la classe modale

le plus grand effectif

Avant d’entamer l’analyse de cet organigramme, on doit revenir à la représentation graphique des données statistiques groupées par classe. Le graphe le plus connu est l’histogramme, il est à noter que l’aire de chaque rectangle correspond à l’effectif qui lui est attribué. 3.1- L’histogramme ·Cas ou l’amplitude des classes est la même Soit le tableau suivant : classes Effectifs n i [50- 60[ 20 [60- 70[ 60 [70- 80[ 50 [80- 90[ 40 [90- 100[ 30 Tab.1 : données statistiques réparties par classes d’amplitudes égales

Fig.5 : histogramme pour des classes d’amplitudes égales On voit clairement que le rectangle représentant la deuxième classe est trois fois celui qui représente la première classe est deux fois celui de la dernière classe. On a: 60 = 20  3 = 2  30

la plus grande densité

a' partir de la formule

le plus grand effectif

la plus grande densité

De même, la hauteur de la deuxième classe vau trois fois la hauteur de la première et deux fois la hauteur de la dernière, cela parce que les classes ont la même amplitude, l’aire du rectangle est donnée par :  =  =          : L’aire du rectangle correspond à la classe i fectif de la cla  sse i: L’ef   : Amplitude de la classe i   : La hauteur de la classe i  Remarque: on va voir plus tard que  n’est que la densité de la classe i Dans ce cas la classe modale est la classe qui a le plus grand effectif, c’est la classe [60- 70[, elle présente la plus grande hauteur. ·Cas ou l’amplitude des classes est différente classes Effectifs n i  densité d i [50- 60[ 20 2 [60- 70[ 60 6 [70- 75[ 50 10 [75- 90[ 40 2.67 [90- 100[ 30 3 Tab.2 : données statistiques réparties par classes d’amplitudes différentes On a pris le tableau précédent, on a changé les amplitudes des classes 3 et 4, [70- 75[ avec une amplitude égale à 5, et [75- 90[ d’amplitude 15. On a ensuite calculer la densité pour chaque classe i.    =   La représentation est faite selon les effectifs (graphe a), et selon les densités (graphe b),

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graphe a graphe b Fig.6 : histogrammes pour des classes d’amplitudes différentes Pour le premiergraphe aremarque un accord on entre les trois classes 1, 2 et 5, mais les deux autres ne donnent pas de bonnes informations, puisque la troisième classe doit avoir 50 éléments, la classe qui     > la suit comporte 40 seulement ; or  >     ≡ 30  malgré que  Cette représentation, qu’on la trouve souvent dans la documentation est alors fausse, elle ne visionne pas clairement les données, on a intérêt alors à ce qu’on appelle la densité de classe. Elle est présentée dans legraphe b, malgré  >     , et  >  , les aires des rectangles présentent d’une manière très juste les données du tableau. On remarque aussi que la classe [70- 75[, qui a un effectif 50, présente la plus grande hauteur, c’est la classe modale. Dans ce cas, la classe modale est la classe qui a la plus grande densité. Si on revient au tableau 1, le calcul de la densité et la représentation graphique conduit au même histogramme. La classe modale reste toujours [60- 70[(Tab.3, Fig. 7) classes Effectifs (ni) densité (di) [50- 60[ 20 2 [60- 70[ 60 6 [70- 80[ 50 5 [80- 90[ 40 4 [90- 100[ 30 3 Tab.3 : classe modale suivant l’effectif et la densité

Fig.7 : histogramme pour des classes d’amplitudes égales réalisé sur la base de densité On arrive alors à la constatation suivante : quel que soit l’amplitude des classes représentants les données statistiques, la classe modale est la classe de la plus grande densité. 3-2 Est-ce que le mode est la classe modale? Si cela est juste comment alors faire une comparaison entre la moyenne et le mode, comment alors faire une comparaison entre la médiane et le mode ? D’autre part, dans plusieurs cas cette représentation sera remplacée par une courbe pour déterminer la loi de distribution.

Fig.8: lois de distribution normale 3.3- Le mode est-il le centre de la classe modale ? Il n’est pas praticable de dire que le mode est la classe modale, on cherche donc une valeur dans la classe modale qui présente le mieux le mode. Si on regarde la figure précédente, la position du mode est étirée vers la gauche (classe de la plus grande densité). Lorsque les classes adjacentes à la classe modale ont des densités différentes, le mode est étiré vers la classe la plus dense. Il sera au centre de la classe modale si les classes adjacentes ont la même densité.

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3.4- Formule qui représente le mode On va étudier les cas suivants ·classe d’amplitudes égales classes Effectifs (ni) densité (di) [50- 60[ 20 2 [60- 70[ 60 6 [70- 80[ 50 5 [80- 90[ 40 4 [90- 100[ 30 3

Le mode est donné par : ∆ #  =  +    ∆ + ∆ #    : Limite inférieure de la classe modale ∆ # : La différence entre la classe modale est la classe avant ∆  : La différence entre la classe modale est la classe suivante On va appliquer cette formule en utilisant les effectifs et les densités de classes $60 − 20&  = 60 +  10 $60 − 20& + $60 − 50& 40 = 60 + 10 = 68 50 $6 − 2&  = 60 +  10 $6 − 2& + $6 − 5& 4 = 60 + 10 = 68 5 Dans le cas où les classes ont la même amplitude on trouve la même valeur du mode en se servant des effectifs ou des densités. La valeur trouvée par calcul représente effectivement celle à partir du graphe. ·classe d’amplitudes différentes classes Effectifs n i  densité d i [50- 60[ 20 2 [60- 70[ 60 6 [70- 75[ 50 10 [75- 90[ 40 2.67 [90- 100[ 30 3

On va utiliser la même formule ∆ #   =  +  ∆ + ∆ #  Avec les effectifs : −10  = 70 +  5? ? ‼! $−10 + 10& ,--, ,-, --, Avec les densités : $10 − 6&  = 70 +  5 $10 − 6& + $10 − 2.67& 4 = 70 +  5 = 71.76 4 + 7.33 Ce résultat est en très bon accord avec le graphe, on peut dire que,si les classes de la série statistique ont de différentes amplitudes, l’utilisation des effectifs pour calculer le mode n’est pas toujours acceptable, le seul paramètre qui peut être utilisé dans ce cas est la densité des classes. Donc voici les étapes pour bien calculer le mode =  / 1-Calculer la densité des classes    2-Trouver la classe la plus dense, c’est la classe où se trouve le mode 3-Appliquer la formule suivante : ∆ #  =  +    ∆ + ∆ #    : Limite inférieure de la classe modale ∆ # : La différence en densité entre la classe modele est la classe avant ∆  : La différence en densité entre la classe modale est la classe suivante   : L’amplitude de la classe modale

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Conclusion générale: Le mode est un paramètre de tendance centrale, on le rencontre en calcul statistique, il est facile à déterminer pour un variable discrète, mais le problème se pose pour une variable continue. Dans ce travail, on a arrivé aux conclusions suivantes : ·Le mode ne doit pas être la classe modale ·Le mode est le centre de la classe modale si et seulement si les deux classes adjacentes ont la même densité et même amplitude ·L’utilisation des effectifs pour le calcul du mode n’est pas toujours applicable ·Dans tous les cas l’utilisation des densités de classes conduit à un meilleur accord entre le graphe et le calcul Références : « Élément 424b, Introduction à la statistique descriptive », Prof. Marie-Hélène de Sède-Marceau, 2010/2011, p45

« Résumé du Cours de Statistique Descriptive », Yves Tillé, 18 janvier 2008, p17 « Cours de statistique, paramètres de position et de dispersion », H. Schyns, juin 2010, p 2.2, 2.3 « Maths 4 : Probabilités et Statistiques », Dr Djawad Zendagui, Université Aboubekr Belkaid Tlemcen, (2010/2011), p19-20 « Introduction à la Statistique Descriptive », Dakhmouche Meghlaoui, Ecole Preparatoire En Sciences Economiques Commerciales Et Des Sciences De Gestion De Constantine, 2010- 2011,pp29-31 “Statistiques”, Didier Müller, août 2006, p5 “CRC, standard probability and Statistics tables and formulae”, Daniel Zwillinger, Stephen Kokoska, Chapman & Hall/CRC, 200,Pp 21-23 “Essentials of Statistics”, Mario F. Triola, 5th edition, 2015, page 55 Remarque : ces références ne sont que des titres d’exemples

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