Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Charles Suquet

Description

• cours - matière potentielle : ipé

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2006–2007 Corrigé du Devoir no 1 Un nombre décimal est un rationnel qui peut s'écrire k10n , avec k ? Z et n ? N. L'ensemble D des nombres décimaux est évidemment dénombrable puisque : 1. D contient N, donc D est infini. 2. D est inclus dans Q ensemble des nombres rationnels qui est dénombrable. On sait que tout sous-ensemble infini d'un ensemble dénombrable est dénombrable (cf. polycopié de cours IPÉ 2006–2007, prop. 1.31 p. 14). Ex 1. Développement(s) décimaux d'un réel Par définition, l'écriture x = 0,379 999 999 999 . . . signifie que x = 37 100 + +∞∑ k=3 9 10k . La série ∑ k≥3 ci-dessus est une série géométrique de premier terme 9/1000 et de raison 1/10. Sa somme est donc +∞∑ k=3 9 10k = 9 1000 +∞∑ j=0 ( 1 10 )j = 9 1000 1 1? 110 = 9 1000 10 9 = 1 100 . Par conséquent x = 37 100 + 1 100 = 0,38.

• composition précise de l'urne


• réalisation de ?


• ie tirage fournissant le ie


• évènements élémentaires


• développement décimal


• indépendance mutuelle des évènements n1


• urne

Sujets

• Développement décimal

Informations

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• Langue: Français

Extrait

IPE Math 306

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Année 2006–2007

o Corrigé du Devoir n1 k Un nombredécimalest un rationnel qui peut s’écrire n , aveck∈Zetn∈N. 10 L’ensembleDdes nombres décimaux est évidemment dénombrable puisque : 1.DcontientN, doncDest infini. 2.Dest inclus dansQensemble des nombres rationnels qui est dénombrable. On sait que tout sous-ensemble infini d’un ensemble dénombrable est dénombrable (cf. polycopié de cours IPÉ 2006–2007, prop. 1.31 p. 14). Ex 1. Développement(s)décimaux d’un réel Par définition, l’écriturex= 0,379 999 999 999. . .signifie que +∞ X 37 9 x= +. k 100 10 k=3 P La sérieci-dessus est une série géométrique de premier terme9/1000et de raison k≥3 1/10. Sa somme est donc   +∞+∞ X X j 9 91 91 910 1 = == =. k 1 10 100010 1000 1− 1001000 9 10 k=3 j=0 Par conséquent 37 1 x= + =0,38. 100 100 L’écriture0,379 999 999 999. . .développement décimal illimitéporte le nom de « impropre » du nombre0,38. On appelle « développement décimal illimité propre » d’un réelx, un développement qui ne comporte pas la répétition indéfinie du chiffre9à partir d’un certain rang. Pour généraliser le calcul fait ci-dessus, il est utile d’établir une fois pour toutes la formule suivante : +∞ X 9 1 ∀m∈N, R m := =.(1) k m 10 10 k=m+1 P +∞ −m−1 En effet, la sérieci-dessus est géométrique de premier terme9×10et de k=m+1 raison1/10. Sa somme se calcule en mettant en facteur le premier terme de façon à se ramener à la série géométrique standard de raison1/10, ce qui donne : +∞ X  j 9 19 19 101 R m = == =. m+1m +1 1 m+1m 10 1010 1 − 1010 9 10 j=0