Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées
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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2008–2009 Corrigé du devoir no 1 Ex 1. Sur la série harmonique alternée... Soit (un)n?N? la famille de réels définie par nun = (?1)n?1 pour tout n ? N?. 1) Soit x > ?1 et n ? N?. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n, au point 0, à la fonction f : ]? 1,+∞[? R , x 7? ln(1 + x), indéfiniment dérivable en 0. Ainsi, il existe ? = ?(x, n) ?]0, 1[ (qui dépend de x et de n) tel que f(x) = n∑ k=0 fk(0) k! xk + fn+1(?x) (n + 1)! xn+1. Or, on montre par récurence que pour tout entier k ≥ 1, fk(x) = (?1)k?1(k? 1)! 1(1+x)k et donc fk(0) = (?1)k?1(k ? 1)!. D'où ln (1 + x) = n∑ k=1 (?1)k?1xk k + (?1)nxn+1 (n + 1)(1 + ?x)n+1 .

  • positif ?

  • nature de la série

  • n?

  • consommation

  • modélisation adéquate de l'expérience aléatoire

  • règle de conduite pour la consommation journalière

  • n? ?


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Exrait


  • positif ?

  • nature de la série

  • n?

  • consommation

  • modélisation adéquate de l'expérience aléatoire

  • règle de conduite pour la consommation journalière

  • n? ?


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Université U.F.R. de
IPE Math 306
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
o Corrigé du devoir n1
Année 2008–2009
Ex 1. Surla série harmonique alternée... n1Soit(un)nNla famille de réels définie parnun= (1)pour toutnN. 1) Soitx >1etnN. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l’ordren, au point0, à la fonction f: ]1,+[R, x7→ln(1 +x), indéfiniment dérivable en0. Ainsi, il existeθ=θ(x, n)]0,1[(qui dépend dexet de n) tel que n k n+1 X f(0)f(θx) k n+1 f(x) =x+x . k! (n+ 1)! k=0 k k1 1 Or, on montre par récurence que pour tout entierk1,f(x) = (1) (k1)!k (1+x) k k1 et doncf(0) = (1) (k1)!. D’où n k1nk n+1 X (1)x(1)x ln (1 +x) =+. n+1 k(n+ 1)(1 +θx) k=1 En particulier pourx= 1, quelque soitnN, il existeθ=θ(1, n)]0,1[tel que n k1n X (1) (1) ln 2= +. n+1 k(n+ 1)(1 +θ) k=1 On majore ensuite le reste : n X k1n (1) (1) 1 ln 2=. n+1k(n+ 1)(1 +θ)n+ 1 k=1 P k1 n(1) On en déduit que les sommes partiellesont pour limiteln 2quandntend k=1k vers+et donc que la série de terme généralunconverge et a pour sommeln 2. Néanmoins, la famille(un)nNn’est pas sommable car la série de terme généralun n’est pas absolument convergente. 2) Onconsidère la série formée en prenant dans la série de terme généralun, dans l’ordre où ils apparaissent, un terme positif, un terme négatif, un terme positif, èmep1 deux termes négatifs,..., lepterme positif puis2termes négatifs, etc... Cette construction revient à permuter les termes de la série à l’aide d’une bijectionφdeN dansN. Cette bijection est donnée de la manière suivante :
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