Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Myriam Fradon - Charles Suquet

Description

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2008–2009 Corrigé du devoir no 1 Ex 1. Sur la série harmonique alternée... Soit (un)n?N? la famille de réels définie par nun = (?1)n?1 pour tout n ? N?. 1) Soit x > ?1 et n ? N?. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n, au point 0, à la fonction f : ]? 1,+∞[? R , x 7? ln(1 + x), indéfiniment dérivable en 0. Ainsi, il existe ? = ?(x, n) ?]0, 1[ (qui dépend de x et de n) tel que f(x) = n∑ k=0 fk(0) k! xk + fn+1(?x) (n + 1)! xn+1. Or, on montre par récurence que pour tout entier k ≥ 1, fk(x) = (?1)k?1(k? 1)! 1(1+x)k et donc fk(0) = (?1)k?1(k ? 1)!. D'où ln (1 + x) = n∑ k=1 (?1)k?1xk k + (?1)nxn+1 (n + 1)(1 + ?x)n+1 .

• positif ?


• nature de la série


• n?


• consommation


• modélisation adéquate de l'expérience aléatoire


• règle de conduite pour la consommation journalière


• n? ?

Sujets

• Consommation

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Université U.F.R. de

IPE Math 306

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

o Corrigé du devoir n1

Année 2008–2009

Ex 1. Surla série harmonique alternée... n−1∗ Soit(u n ) n∈N la famille de réels définie parnu n = (−1)pour toutn∈N. ∗ ∗ 1) Soitx >−1etn∈N. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l’ordren, au point0, à la fonction f: ]−1,+∞[→R, x7→ln(1 +x), indéfiniment dérivable en0. Ainsi, il existeθ=θ(x, n)∈]0,1[(qui dépend dexet de n) tel que n k n+1 X f(0)f(θx) k n+1 f(x) =x+x . k! (n+ 1)! k=0 k k− 1 1 Or, on montre par récurence que pour tout entierk≥1,f(x) = (−1) (k−1)! k (1+x) k k−1 et doncf(0) = (−1) (k−1)!. D’où n k−1nk n+1 X (−1)x(−1)x ln (1 +x) =+. n+1 k(n+ 1)(1 +θx) k=1 ∗ En particulier pourx= 1, quelque soitn∈N, il existeθ=θ(1, n)∈]0,1[tel que n k−1n X (−1) (−1) ln 2= +. n+1 k(n+ 1)(1 +θ) k=1 On majore ensuite le reste : n X k−1n (−1) (−1) 1 ln 2−=≤.  n+1   k  (n+ 1)(1 +θ)n+ 1 k=1 P k−1 n (−1) On en déduit que les sommes partiellesont pour limiteln 2quandntend k=1 k vers+∞et donc que la série de terme généralu n converge et a pour sommeln 2. Néanmoins, la famille(u n ) n∈N n’est pas sommable car la série de terme généralu n ∗ n’est pas absolument convergente. 2) Onconsidère la série formée en prenant dans la série de terme généralu n , dans l’ordre où ils apparaissent, un terme positif, un terme négatif, un terme positif, èmep−1 deux termes négatifs,..., lepterme positif puis2termes négatifs, etc... Cette ∗ construction revient à permuter les termes de la série à l’aide d’une bijectionφdeN ∗ dansN. Cette bijection est donnée de la manière suivante :