[tel-00096815, v1] Étude du résultant sur une variété algébrique

Busé, Emile Laurent

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Extrait

´UNIVERSITE DE NICE - SOPHIA ANTIPOLIS
´FACULTE DES SCIENCES
Laboratoire J. A. Dieudonn´e
U.M.R. du C.N.R.S. No 6621
`THESE
pr´esent´ee pour obtenir le titre de
Docteur en Sciences
sp´ecialit´e: Math´ematiques
par
´Laurent BUSE
´ ´ETUDE DU RESULTANT
´ ´ ´SUR UNE VARIETE ALGEBRIQUE
Soutenue le 19 d´ecembre 2001 devant le jury compos´e de:
M. Marc CHARDIN Charg´e de recherche au CNRS
M. Mohamed ELKADI Maˆıtre de conf´erence `a l’Universit´e de Nice
M. Andr´e GALLIGO Professeur `a l’Universit´e de Nice
M. Andr´e HIRSCHOWITZ `aersit´e de Nice
M. Jean-Pierre JOUANOLOU Professeur `a l’IRMA de Strasbourg
M. Michel MERLE `a l’Universit´e de Nice
M. Bernard MOURRAIN Charg´e de recherche `a l’INRIA
M. Mike STILLMAN Professeur `a l’Universit´e de Cornell
tel-00096815, version 1 - 20 Sep 2006tel-00096815, version 1 - 20 Sep 2006J’exprimetoutemagratitudeenversmesdeuxdirecteursdeth`ese,Andr´e
Hirschowitz et Bernard Mourrain, pour leur disponibilit´e, leur soutien cons-
tant et leur aide pr´ecieuse durant toute l’´elaboration de cette th`ese. Je les
remercie ´egalement de m’avoir propos´e ce sujet, les math´ematiques que j’y
ai crois´ees ´etaient tr`es s´eduisantes.
Je voudrais ´egalement remercier chaleureusement Charles Walter pour
l’aide permanentequ’il m’a prodigu´eet la disponibilit´e dont il a fait preuve.
Unmercitoutaussichaleureux`aMarcChardinquiasensiblementinfluenc´e
cetravail,surtoutlechapitre3,autraversdenombreusesdiscussionsetd’un
cours qu’il a donn´e `a l’Universit´e de Nice.
J’exprime toute ma reconnaissance aux Professeurs David Cox et Jean-
Pierre Jouanolou qui ont accept´e la difficile tˆache de rapporteur. Je les re-
mercie pour leur lecture d´etaill´ee de ce manuscrit. Je remercie ´egalement
tous les membres du jury pour leur participation.
Je remercie ´evidemment Laurent, Laurent, Fabrice et Gilles pour avoir
anim´e le bureau 701 et pour tous ces moments explosifs que nous avons
pu partager. Merci aussi `a Mohamed d’avoir toujours ´et´e `a mes cˆot´es.
Merci ´egalement `a tous les personnels administratifs du laboratoire pour
leur d´evouement.
Enfin je tiens `a remercier ma famille et C´eline pour leur soutien et leur
patience de tous les jours. Je n’oublie pas non plus mon p`ere, cette th`ese lui
est d´edi´ee.
tel-00096815, version 1 - 20 Sep 2006tel-00096815, version 1 - 20 Sep 2006i
Table des mati`eres
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Pr´eliminaires 1
1.1 R´esultant de deux polynˆomes en une variable . . . . . . . . . 2
1.2 R´t sur un espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 R´esultant creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
´2 Etude g´eom´etrique du r´esultant 11
2.1 R´esultant g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 R´t r´esiduel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
´3 Etude alg´ebrique du r´esultant r´esiduel 25
3.1 R´esultant r´esiduel sur un espace projectif . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 B´ezoutiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 R´esultant r´esiduel d’une intersection compl`ete . . . . . . . . . 34
3.2.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 R´esolution du r´esiduel d’une intersection compl`ete . . 40
3.2.3 Calcul du r´esultant r´esiduel . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4 Lien avec le r´esultant multivari´e . . . . . . . . . . . . 48
3.2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 R´esultant r´esiduel d’un id´eal de codimension 2 . . . . . . . . 52
3.3.1 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 R´esolution de l’id´eal r´esiduel . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.3 Calcul du r´esultant r´ . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 R´esolution de syst`emes polynomiaux et r´esultant 65
4.1 U-r´esultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 R´esoudre en calculant des vecteurs propres . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Propri´et´esdesop´erateursdemultiplicationsd’unealg`e-
bre z´ero-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Op´erateurs de multiplications et U-r´esultant. . . . . . 73
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4.2.3 Op´erateurs de multiplications et U-r´esultant r´esiduel . 75
4.2.4 Exemple: cylindres passant par cinq points . . . . . . 79
4.3 Repr´esentation univari´ee rationnelle . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Le probl`eme du robot parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Implicitisation et r´esultant 93
5.1 de courbes rationnelles . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.1 Courbes rationnelles sans point base . . . . . . . . . . 95
5.1.2es avec points bases . . . . . . . . . 96
5.2 Implicitisation de surfaces rationnelles . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.1 Surfaces rationnelles sans point base . . . . . . . . . . 97
5.2.2 avec points bases localement in-
tersection compl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 R´esultant d´eterminantal 103
6.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2 R´esolution d’une vari´et´e d´eterminantale . . . . . . . . . . . . 109
6.2.1 Partitions et Foncteurs de Schur . . . . . . . . . . . . 110
6.2.2 La r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Calcul du r´esultant d´eterminantal. . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4 R´esultant d´eterminantal multivari´e . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bibliographie 124
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iii
Introduction
C’est `a la fin du dix-neuvi`eme si`ecle, si`ecle ou` les g´eom`etres alg´ebristes
portaient une attention toute particuli`ere `a la th´eorie de l’´elimination, que
les articles remarquables de A. Cayley [Cay48] et F.S. Macaulay [Mac02]
expos`erent les bases de la th´eorie du r´esultant. En 1948, juste avant que
A. Weil lance son fameux “Il faut ´eliminer l’´elimination” qui marquera le
d´ebut d’une p´eriode sombre pour la th´eorie de l’´elimination, B. Van der
Waerden consacrait un chapitre entier `a cette th´eorie ou` il y montrait en
particulier comment il est possible d’utiliser le r´esultant pour calculer de
mani`ere effective les racines d’un syst`eme polynomial. Ce n’est qu’avec le
succ`es croissant des techniques de calcul assist´e par ordinateur et le besoin
pratique de savoir r´esoudre effectivement des syst`emes alg´ebriques que la
th´eorie de l’´elimination, et donc celle du r´esultant, a fini par r´eapparaˆıtre et
devenir une aire de recherche tr`es active.
Le r´esultant le plus connu est celui de deux polynˆomes en une variable,
introduitparSylvester,quidonneuneconditionn´ecessaireetsuffisantepour
quedeuxpolynˆomesposs`edentuneracinecommune.Sag´en´eralisationaucas
de n polynˆomes homog`enes en n variables a ´et´e ´etablie par F.S. Macaulay
en 1902 dans [Mac02], puis formalis´ee et d´evelopp´ee par J.-P. Jouanolou
dans deux articles de r´ef´erences [Jou91] et [Jou97]. Soient f ;::: ;f des1 n
polynˆomes homog`enes en les variables x ;::: ;x , c’est-`a-dire1 n
X
fif (x)= c x ;i i;fi
jfij=di
fiou` x d´esigne un monˆome en les variables x ;::: ;x de degr´e d et ou`1 n i
les c sont des param`etres `a valeur dans un corpsK alg´ebriquement clos.i;fi
Si l’on consid`ere les coefficients c comme des ind´etermin´ees, le r´esultanti;fi
des polynˆomes f :::: ;f est alors un polynˆome en les c . Lorsque l’on1 n i;fi
sp´ecialise tous les c dans K, ce r´esultant s’annule si et seulement si lesi;fi
polynˆomes f ;::: ;f obtenus par cette sp´ecialisation poss`edent une racine1 n
n¡1commune dans l’espace projectifP associ´e aux variables x ;::: ;x . Par1 n
exemple si les polynˆomes f ;::: ;f sont des formes lin´eaires, i.e.1 n
nX
f (x)= c x ;i i;j j
j=1
alors le r´esultant de ces polynˆomes est simplement le d´eterminant de la ma-
trice (c ) .i;j i;j=1;:::;n
Ce r´esultant se r´ev`ele ˆetre un outil puissant pour ´eliminer plusieurs va-
riables d’un syst`eme alg´ebrique et donc finalement un outil puissant pour
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les r´esoudre. Malheureusement, il ne permet de traiter que des syst`emes qui
ne poss`edent g´en´eriquement pas de solutions, c’est-`a-dire des syst`emes qui
n’ont pas de solutions pour des param`etres c suffisamment g´en´eriques. Lei;fi
but de ce travail de th`ese e