Theories homogenes et categories
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Theories homogenes et ?-categories Clemens BERGER Universite de Nice-Sophia Antipolis, Lab. J.-A. Dieudonne, UMR du CNRS no 6621, Parc Valrose, F-06108 Nice, Cedex 2, France. Resume Nous introduisons la notion de theorie homogene afin de caracteriser les theories issues d'operades. Il s'ensuit une analogie parfaite entre les E∞-espaces de Boardman-Vogt-May [3], [8], et les ?-categories (faibles) de Batanin [1]. Pour realiser geometriquement les ?-categories, nous les relions aux ?-categories de Joyal [6] a l'aide d'un nerf cellulaire. Homogenous theories and ?-categories We introduce the notion of a homogenous theory so as to characterize operadic theories. This yields a perfect analogy between Boardman-Vogt- May's E∞-spaces [3], [8], and Batanin's (weak) ?-categories [1]. In order to realize ?-categories geometrically, we relate them to Joyal's ?-categories [6] by means of a cellular nerve. 1 Introduction Les ?-categories ont ete definies et etudiees pour la premiere fois par Street [13]. Recemment, Batanin a developpe une approche operadique qui s'appuie sur la monadicite “globulaire” des ?-categories strictes. Cette Note propose une notion de theorie homogene qui englobe et les operades de May [8] et les ?- operades de Batanin [1].

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Th´eorieshomog`enesetωsie-ac´tgero Clemens BERGER o Universite´deNice-SophiaAntipolis,Lab.J.-A.Dieudonne´,UMRduCNRSn6621, Parc Valrose, F-06108 Nice, Cedex 2, France. R´esume´ Nousintroduisonslanotiondethe´oriehomoge`neandecaract´eriser lesthe´oriesissuesdope´rades.Ilsensuituneanalogieparfaiteentreles E-espaces de Boardman-Vogt-May [3], [8], et lesωroge´tacbiaf(seiles)-deBatanin[1].Pourre´aliserge´om´etriquementlesωoregs,ie-t´caonsuels relions auxθaiulllcerfneundediala`]6[layoJgoriesde-cat´eer. Homogenous theories andω-categories We introduce the notion of a homogenous theory so as to characterize operadic theories. This yields a perfect analogy between Boardman-Vogt-May’sE-spaces [3], [8], and Batanin’s (weak)ω-categories [1]. In order to realizeω-categories geometrically, we relate them to Joyal’sθ-categories [6] by means of a cellular nerve.
1 Introduction Lesωeiosgero´tdetne´cat´-refoisparStreetpseelruoerpae`imn´eseieett´i´ud [13].R´ecemment,Bataninade´velopp´euneapprocheope´radiquequisappuie surlamonadicite´globulairedesωuneeproposeeCttNetortciet.soregssie-t´ca notion deriehomogth´eoe`engnolebteuqeiesadMadesoleerp´s]8[yelteω-ope´radesdeBatanin[1].Lid´eeremonte`aBoardman-Vogt[3,II.5]etconsiste a`plongerlop´eradedansuneeiropodare´ruetscat´egde sorte que lacomposition dope´rateursindlastuisemerutcurcilpitlueledivataderp´obr`euresUne.lgea lope´radese´tendalorscanoniquementsetimilocntmaorsfantraucerpe´afsinenu enlimites.Untelpr´efaisceauestaussiappele´or´eieme`doedelhtal. Uneimportancecapitaleincombe`alath´eoriehomoge`neterminale: pour les ensembles,cestlathe´oriedontlesmod`elesrepr´esententlessene´ilseba¨odımno; pourlesensemblesglobulaires,cestlath´eoriedontlesmod`elesrepr´esententles ωet-ssseicirt´tacrogeaLrp.reteme`irieh´eocontientoge´tacaeSedΓeir],12l[gal lasecondeth´eorienestautrequelacat´egorieΘdeJoyal[6].Enparticulier,un op mono¨ıdeab´eliensidentiea`unpre´faisceaudensemblesX: ΓEns tel que n X(n)Xbijectif pour tout(1) soitn0, et uneωcietsdiogirsert-cat´eeitne op a`unpre´faisceaudensemblesX: ΘEns tel queX(T)limXsoit ←− GTbijectifpourtoutarbreni`aniveauxT. Enconside´rantdesmod`elestopologiques,ilyadeuxfa¸consdassouplirla notiondemonoı¨deab´elien:Lapremi`ere,due`aBoardman-VogtetMay,aboutit a`lanotiondeE-espaceaSegal,ande,due`,]alesoc3[,]8[onalnoittuoba`ti de Γ-espaceemepdemˆlestquirtremsnollnouoas[1.N2]lairlpuossadelbisso notion deωegt´ieorristedctuede¸afxsnocpal:rceami-`eredonnelieauxuω-cat´egoriesdeBatanin[1],lasecondeauxθ´tac-iesdegoral[6eJoye´uq,]lneecvila des deux constituant la base d’unemotopoeioeirdehh´tsatisfaisante.
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