Theories homogenes et categories

Clemens Berger

Description

Theories homogenes et ?-categories Clemens BERGER Universite de Nice-Sophia Antipolis, Lab. J.-A. Dieudonne, UMR du CNRS no 6621, Parc Valrose, F-06108 Nice, Cedex 2, France. Resume Nous introduisons la notion de theorie homogene afin de caracteriser les theories issues d'operades. Il s'ensuit une analogie parfaite entre les E∞-espaces de Boardman-Vogt-May [3], [8], et les ?-categories (faibles) de Batanin [1]. Pour realiser geometriquement les ?-categories, nous les relions aux ?-categories de Joyal [6] a l'aide d'un nerf cellulaire. Homogenous theories and ?-categories We introduce the notion of a homogenous theory so as to characterize operadic theories. This yields a perfect analogy between Boardman-Vogt- May's E∞-spaces [3], [8], and Batanin's (weak) ?-categories [1]. In order to realize ?-categories geometrically, we relate them to Joyal's ?-categories [6] by means of a cellular nerve. 1 Introduction Les ?-categories ont ete definies et etudiees pour la premiere fois par Street [13]. Recemment, Batanin a developpe une approche operadique qui s'appuie sur la monadicite “globulaire” des ?-categories strictes. Cette Note propose une notion de theorie homogene qui englobe et les operades de May [8] et les ?- operades de Batanin [1].

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Extrait

Th´eorieshomog`enesetωsie-ac´tgero Clemens BERGER o Universite´deNice-SophiaAntipolis,Lab.J.-A.Dieudonne´,UMRduCNRSn6621, Parc Valrose, F-06108 Nice, Cedex 2, France. R´esume´ Nousintroduisonslanotiondethe´oriehomoge`neafindecaract´eriser lesthe´oriesissuesd’ope´rades.Ils’ensuituneanalogieparfaiteentreles E ∞ -espaces de Boardman-Vogt-May [3], [8], et lesωroge´tacbiaf(seiles)- deBatanin[1].Pourre´aliserge´om´etriquementlesωoregs,ie-t´caonsuels relions auxθaiulllcerfneund’edia’la`]6[layoJgoriesde-cat´eer. Homogenous theories andω-categories We introduce the notion of a homogenous theory so as to characterize operadic theories. This yields a perfect analogy between Boardman-Vogt- May’sE ∞ -spaces [3], [8], and Batanin’s (weak)ω-categories [1]. In order to realizeω-categories geometrically, we relate them to Joyal’sθ-categories [6] by means of a cellular nerve.

1 Introduction Lesωeiosgero´tdetne´cat´-refoisparStreetpseelruoerpae`imfin´eseieett´i´ud [13].R´ecemment,Bataninade´velopp´euneapprocheope´radiquequis’appuie surlamonadicite´“globulaire”desωuneeproposeeCttNetortciet.soregssie-t´ca notion deriehomogth´eoe`engnolebteuqeiesadMadesoleerp´s]8[yelteω- ope´radesdeBatanin[1].L’id´eeremonte`aBoardman-Vogt[3,II.5]etconsiste a`plongerl’op´eradedansuneeiropo’dare´ruetscat´egde sorte que lacomposition d’ope´rateursindlastuisemerutcurcilpitlueledivataderp´’obr`euresUne.lgea l’ope´rades’e´tendalorscanoniquementsetimilocntmaorsfantraucerpe´afsinenu enlimites.Untelpr´efaisceauestaussiappele´or´eieme`doedelhtal. Uneimportancecapitaleincombe`alath´eoriehomoge`neterminale: pour les ensembles,c’estlathe´oriedontlesmod`elesrepr´esententlessene´ilseba¨odımno; pourlesensemblesglobulaires,c’estlath´eoriedontlesmod`elesrepr´esententles ωet-ssseicirt´tacrogeaLrp.reteme`irieh´eocontientoge´tacaeSedΓeir],12l[gal lasecondeth´eorien’estautrequelacat´egorieΘdeJoyal[6].Enparticulier,un op mono¨ıdeab´eliens’identifiea`unpre´faisceaud’ensemblesX: Γ→Ens tel que n X(n)→Xbijectif pour tout(1) soitn≥0, et uneωciet’sdiogirsert-cat´eefiitne op a`unpre´faisceaud’ensemblesX: Θ→Ens tel queX(T)→limX − soit ←− G↓T ∗ bijectifpourtoutarbrefini`aniveauxT. Enconside´rantdesmod`elestopologiques,ilyadeuxfa¸consd’assouplirla notiondemonoı¨deab´elien:Lapremi`ere,due`aBoardman-VogtetMay,aboutit a`lanotiondeE ∞ -espaceaSegal,ande,due`,]alesoc3[,]8[onalnoittuoba`ti de Γ-espaceemepdemˆlestqu’irtremsnollnouoas[1.N2]lairlpuossa’delbisso notion deωegt´ieorristedctuede¸afxsnocpal:rceami-`eredonnelieauxuω- cat´egoriesdeBatanin[1],lasecondeauxθ´tac-iesdegoral[6eJoye´uq,]’lneecvila des deux constituant la base d’unemotopoeioeirdeh’h´tsatisfaisante.

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