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Numero d’ordre : 545 Année 1997
THESE
présentée à
L’Université de Bretagne Occidentale
pour l’obtention du
DOCTORAT EN ELECTRONIQUE
par
Stéphane AZOU
Réalisation équilibrée de systèmes par orthogonalisation
de fonctions d’entrée - Grammiens et approximation
soutenue le 19 Décembre 1997 devant la Comission d’Examen composée de :
Président
J. P. NOUGIER Professeur Université de Montpellier II
Rapporteurs
R. CARIN Professeur Université de Caen
J. P. RICHARD Professeur Ecole Centrale de Lille
Examinateurs
G.BUREL Professeur UniversitédeBretagneOccidentale
L. C. CALVEZ Professeur Université de Bretagne Occidentale
G. FROMONT Maître de Conférences CNAM Paris
P.VILBE Professeur UniversitédeBretagneOccidentale
Directeur de thèse:P.VILBE
◦Recherches effectuées au LEST-UMR CNRS N 6616
Université de Bretagne Occidentale
Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne 3
Remerciements
La présente étude a été e ffectuée au Laboratoire d’Electronique et Systèmes de Télécommunications
◦(LEST),UnitéMixtedeRechercheCNRSN 6616,del’UniversitédeBretagneOccidentaleàBrest.
J”exprimemaprofondereconnaisanceàMonsieurP.VILBE,directeurdethèse,pourlesoutien
actif et les nombreux conseils prodigués qui ont permis la réalisation de ce travail.
Je remercie Monsieur L. C. CALVEZ, responsable de formation doctorale, pour les nombreuses dis-
cussions et les remarques avisées qui ont largement contribué au bon déroulement de cette étude.
J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur J. P. NOUGIER ...

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Numero d’ordre : 545 Année 1997 THESE présentée à L’Université de Bretagne Occidentale pour l’obtention du DOCTORAT EN ELECTRONIQUE par Stéphane AZOU Réalisation équilibrée de systèmes par orthogonalisation de fonctions d’entrée - Grammiens et approximation soutenue le 19 Décembre 1997 devant la Comission d’Examen composée de : Président J. P. NOUGIER Professeur Université de Montpellier II Rapporteurs R. CARIN Professeur Université de Caen J. P. RICHARD Professeur Ecole Centrale de Lille Examinateurs G.BUREL Professeur UniversitédeBretagneOccidentale L. C. CALVEZ Professeur Université de Bretagne Occidentale G. FROMONT Maître de Conférences CNAM Paris P.VILBE Professeur UniversitédeBretagneOccidentale Directeur de thèse:P.VILBE ◦Recherches effectuées au LEST-UMR CNRS N 6616 Université de Bretagne Occidentale Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne 3 Remerciements La présente étude a été e ffectuée au Laboratoire d’Electronique et Systèmes de Télécommunications ◦(LEST),UnitéMixtedeRechercheCNRSN 6616,del’UniversitédeBretagneOccidentaleàBrest. J”exprimemaprofondereconnaisanceàMonsieurP.VILBE,directeurdethèse,pourlesoutien actif et les nombreux conseils prodigués qui ont permis la réalisation de ce travail. Je remercie Monsieur L. C. CALVEZ, responsable de formation doctorale, pour les nombreuses dis- cussions et les remarques avisées qui ont largement contribué au bon déroulement de cette étude. J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur J. P. NOUGIER, Professeur à l’Université de Montpel- lier II, qui m’a fait l’honneur de bien vouloir présider la commission d’examen. Je suis très reconnaissant à Messieurs les Professeurs R. CARIN, de l’Université de CAEN, et J. P. RICHARD, de l’Ecole Centrale de Lille, d’avoir accepté d’examiner ce travail. Je remercie vivement Messieurs G. BUREL, Professeur à l’UBO, et G. FROMONT, Maître de Con- férences au CNAM Paris, pour avoir accepté de faire partie du jury. Enfin, j’associe à ces remerciements l’ensemble des membres du LEST, enseignants-chercheurs, in- génieurs, secrétaires, techniciens ou thésards, qui se sont intéressés à mon travail et qui m’ont permis de travailler dans la bonne humeur. Sommaire Remerciements 3 Introduction 0 1Contexteetprésentation.......................3 1.1 Généralités............................3 1.2 Réalisation équilibrée .......................5 1.2.1 Définition-Interprétation géométrique..............5 1.2.2 Algorithmes de Moore et Laub ................8 1.2.3 Commentaires sur d’autres Algorithmes.............9 1.3 Présentation du travail...................... 10 2 Réalisation équilibrée de systèmes SISO par orthogonalisation de fonctions d’entrée ......................... 13 2.1 Fonctions d’Entrée/Sortie .................... 14 2.1.1 Définitions, Propriétés générales ............... 14 2.1.2 Représentation par fonctions d’entrée dans le domaine de Laplace ouZ........................... 16 2.2 Orthogonalisation des fonctions d’entrée par les tableaux de Routh/Aström ......................... 22 2.3 Application au calcul de réalisations équilibrées ........... 28 2.4 Exemples ........................... 29 2.4.1 Filtres de Butterworth ................... 29 2.4.2 Système de Lin et Han ................... 32 2.5 Performances .......................... 33 2.5.1 Matrices de Bézout .................... 33 2.5.2 Tableaux de Routh/Aström................. 34 2.5.3 Blocs-décompositions des fractions rationelles ......... 34 2.5.4 Inversion de la matrice d’orthonormalisation.......... 35 2.5.5 Décomposition en valeurs/vecteurs propres deW ....... 35o ⊥ 2.5.6 Conclusions........................ 35 i 3 Extension de notre méthode pour la réalisation équilibrée de systèmes MIMO .......................... 37 3.1 Réalisation équilibrée de systèmes MIMO à l’aide de fonctions d’entrée orthogonalisées ......................... 37 3.1.1 Expression d’une fonction d’entrée initiale et orthogonalisation.. 38 3.1.2 Réalisation équilibrée ................... 39 3.2 Performances .............. 40 3.3 Exemple .................... 40 4 Réduction de modèles via la base d’équilibre.... 43 4.1 Troncature directe d’une réalisation équilibrée ............ 43 4.1.1 Détermination du modèle réduit ....... 43 4.1.2 Caractéristiques du modèle réduit .............. 44 4.1.3 Exemple ................. 46 4.2 Techniques dérivées ............... 48 4.2.1 Troncature suivant les gains équilibrés.... 48 4.2.2 Perturbations singulières et base d’équilibre .......... 51 4.2.3 Système réciproque de Sreeram ........... 56 4.3 Miseenoeuvredecontrainteslinéairesdetypeégalité ........ 57 4.3.1 Contraintes dans le domaine temporel ........ 59 4.3.2 Contraintes dans le domaine fréquentiel........ 61 4.3.3 Exemples..................... 62 5 Réduction de modèles à l’aide de Grammiens de réponse impulsionnelle ........................... 65 5.1 Travaux antérieurs ....... 66 5.1.1 Techniques de Sreeram et al. ................ 66 5.1.2 TechniquedeKrajewskietal..... 72 5.2 Définition de Grammiens de réponse impulsionnelle généralisés (GIRG) . 75 5.2.1 Cas discret ........................ 76 5.2.2 Cas continu.... 80 5.3 Application des GIRG ...................... 83 5.3.1 Réduction de modèles par approximation de critères de performance généralisés .................. 83 5.3.2 Réduction de modèles discrets par approximation d’énergies de réponseimpulsionnelleetconservationdemomentstemporels et/ou de paramètres de Markov ............... 85 ii 6 Exemples de réduction de modèles à l’aide des méthodes proposées . 87 6.1 Réduction de modèles continus .................. 87 6.1.1 Modélisation du système de Krajewski et al....... 87 6.1.2 Modélisation d’un arbre RC................. 89 6.1.3 Modélisation d’un circuit RC distribué.... 91 6.1.4 Modélisation d’un circuit RLC ............... 92 6.1.5 Modélisation d’un amplificateur opérationnel ..... 94 6.2 Réduction de modèles discrets................... 96 6.2.1 Modélisation du système de Hwang et Hsieh...... 96 6.2.2 Modélisation d’un réacteur de jet supersonique......... 97 6.2.3 Modélisation d’un filtre de Butterworth passe-bas ... 99 Conclusion 103 Références 105 Liste de publications 117 A Quelques résultats d’algèbre linéaire 119 B Polynômes premiers entre-eux 123 C Tableaux de Routh 127 D Tableaux d’Aström 129 E Techniques sub-optimales développées au Laboratoire 131 Index 133 Liste des symboles N Ensemble des entiers naturels R Ensemble des réels C Ensemble des complexes Re(×) Partie réelle de × Im(×) Partie imaginaire de × + +t,k Variables temporelles continue, discrète (t ∈R , k ∈N ) ∗ Produit de convolution = Transformation de Laplace a Tr en Z s,z Variables de Laplace, z q Variable de Laplace ou z h(×),H(×) Réponses impulsionnelles ou fonctions de transfert SISO, MIMO −1ω , θ Pulsations continue, discrète (rad.s , rad) p,m Nombre d’entrées, Nombre de sorties du système u,y Signaux d’entrée, de sortie x Vecteur d’état ef Approximation du signal f δ Delta de Kroneckeri,j α , β Coe fficients des tableaux de Routh ou d’Aströmi i quot(×,×) Quotient d’une division polynômiale ×mod× Reste d’une division polynômiale deg(×) Degré du polynôme × h×,×i Produit scalaire |×| Module du nombre complexe × k×k Normes matricielles (p=1, 2, ∞)p ∗ Conjugué T Transposé $ Transposé-Conjugué ⊗ Produit de Kronecker det(×) Déterminant de la matrice × tr(×) Tracedelamatrice× diag(×,...,×) Matrice diagonale, formée par les éléments × I Matrice identité (dimension ×)× eme`λ (×) i valeur propre de la matrice ×i eme`σ (×) i mode du second-ordre ou valeur singulière de la matrice ×i C Matrice d’orthogonalisation (A,B,C,D) Réalisation dans l’espace d’état L(t),M(t) Fonctions d’Entrée, de Sortie dans le domaine temporel continu L[k],M[k] Fonctions d’Entrée, de Sortie dans le domaine temporel discret L(q),M(q) Fonctions d’Entrée, de Sortie dans le domaine de Lapace, Z W ,W,W Grammiens de commandabilité, d’observabilité, croiséc o co C , O Matrices de commandabilité, d’observabilité (A ,B,C) Réalisation équilibréeb b b (A ,B ,C ) normée par rapport à l’entrée⊥ ⊥ ⊥ Σ Grammiens dans la base d’équilibre Liste des abbréviations APS Approximation par les Perturbations Singulières COVER COVariance Equivalent Realization EIRG Extended Impulse Response Grammian FLOP Floating Point Operation GIRG Generalized Impulse Response Grammian IRG Impulse Response Grammian MIMO Multiple Input Multiple Output PPCM Plus Petit Commun Multiple RIF Réponse Impulsionnelle Finie RII Réponse Impulsionnelle Infinie SISO Single Input Single Output TD Troncature Directe TGE Troncature suivant les Gains Equilibrés TSR Troncature du Système Réciproque WIRG Weighted Impulse Response Grammian Introduction Les outils de plus en plus performants mis à la disposition de l’ingénieur désirant modéliser un proces- sus physique complexe conduisent bien souvent à un modèle de grande dimension. L’usage direct de celui-ci peut nécessiter un volume de calculs important ou engendrer des di fficultés numériques. Pour ces raisons, il est auparavant souhaitable d’essayer de réduire l’ordre du modèle, tout en reproduisant très précisément son comportement original. Depuis plus d’une vingtaine d’années, de nombreuses méthodes sont apparues pour accomplir cette tâche. Lechoixdel’uned’entreellessefaitenfonctiondeladescriptiondumodèleoriginal(représentation dansl’espace d’états, fonction de transfert, pôles/résidus,...), de sa nature (linéaire ou non-linéaire, stable ou instable, temps continu ou temps discret,...) et de la précision souhaitée (solution optimale ou non). L’apparition des réalisations équilibrées (Mullis et Roberts 1976, Moore 1981) pour les systèmes linéaires invariants et asymptotiquement stables a marqué une avancée considérable dans ce domaine. Dans la base d’équilibre, il est possible d’opérer la réduction d’un modèle par simple élimination des variablesd’étatcorrespondantàdefaiblesdegrésdecommandabilitéetd’observabilité(modesdusecond- ordre). Bien que cette notion trouve son origine dans le domaine de la synthèse de filtres numériques, les méthodes d’équilibrage sont encore peu exploitées pour la modélisation et la simulation des circuits électriques. Dans ces domaines, la notion d’impédance conduit invariablement à des représentations sous forme de fonctions de transfert. Dans ce cas, l’application brutale des techniques usuelles d’équilibrage n’est pas satisfaisante car l’imprécision introduite par la transformation sous forme compagne du système peut occasionner des di fficultés numériques. Les algorithmes de Moore et Laub, largement répandus dans les logiciels de modélisation, reposent sur la diagonalisation simultanée des Grammiens de commandabilité et d’observabilité d’une réalisation minimale initiale et nécessitent la résolution des équations de Lyapunov. Quelques méthodes permettant d’équilibrer une matrice de transfert sans faire appel à la résolution directe des équations de Lyapunov ont depuis été proposées : certaines d’entre-elles considèrent les pôles du système connus (forme factorisée, avec pôles simples ou multiples, réels ou complexes), d’autres s’appliquent à la forme rationnelle de la matrice de transfert dans le domaine de Laplace ou Z. Burns et Fairman ont exploité récemment d’intéressantes propriétés des fonctions d’Entrée/Sortie (E/S) permettant de trouver une transformation équilibrante évitant la résolution d’équations de Lya- punov. Cette méthode, reposant sur l’orthogonalisation des fonctions d’entrée dans le domaine temporel, est bien adaptée aux problèmes de modélisation de circuits mais nécessite la connaissance explicite des pôles. La démarche adoptée rend aussi di fficile la gestion des pôles multiples. Cette importante variété d’algorithmes, avec à chaque fois une hypothèse précise sur la forme initiale delamatricedetransfert,peutconstitueruninconvénientàuneutilisationcourantedelabased’équilibre. Dans une première partie de ce mémoire, nous formulerons une technique unifiée capable de réaliser sous forme équilibrée tout système invariant et stable, continu oudiscret, décrit par fonctions de transfert (pôles disponibles ou non). Dans le domaine du filtrage, il est fréquent d’élaborer une structure par la mise en cascade ou en parallèle de cellules élémentaires : nous ferons en sorte d’exploiter directement cette représentation initiale sous forme bloc-factorisée. Le développement des polynômes sera bien sûr évité afin de conserver une bonne précision sur la représentation. Une technique d’orthogonalisation des