THESE

THESE

Documents
234 pages
Lire
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

THESE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Ecole des Mines de Paris
Spécialité « Géostatistique »
soutenue publiquement
par
Sarah Goria
le 30 mars 2004
Evaluation d’un projet minier : approche bayésienne et options réelles
Directeur de thése : Margaret Armstrong
Co-Directeur de thése : Christian Lajaunie
Jury
Mme Margaret ARMSTRONG Examinateur
MM. Wynand KLEINGELD
Christian LAJAUNIE
Christoph LOCH Rapporteur
Eric PARENT
Michel SCHMITT Président Remerciements
Ce travail a été réalisé grâce à l’encadrement de Margaret Armstrong et Christian Lajaunie.
Mes remerciements vont à tous les membres du jury, à Christoph Loch et Eric Parent en tant que rap-
porteurs, ainsi qu’à Wynand Kleingeld et Michel Schmitt. Je remercie aussi Alain Galli pour ses precieuses
remarques.
Je tiens à remercier aussi toutes les personnes du Centre de Géostatistique pour l’aide, les conseils et les
encouragements qu’ils m´ont prodigués. Ce travail a également bénéficié de l’atmosphère agréable et con-
viviale du Centre.
Contents
Résumé i
1 Introduction 1
1.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Evaluation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Valuing the reserves: towards a Bayesian approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Valuing flexibility: towards real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 The case study: the Eldorado gold mine 13
2.1 ...

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 109
Langue English
Poids de l'ouvrage 2 Mo
Signaler un problème
THESE pour obtenir le grade de Docteur de l’Ecole des Mines de Paris Spécialité « Géostatistique » soutenue publiquement par Sarah Goria le 30 mars 2004 Evaluation d’un projet minier : approche bayésienne et options réelles Directeur de thése : Margaret Armstrong Co-Directeur de thése : Christian Lajaunie Jury Mme Margaret ARMSTRONG Examinateur MM. Wynand KLEINGELD Christian LAJAUNIE Christoph LOCH Rapporteur Eric PARENT Michel SCHMITT Président Remerciements Ce travail a été réalisé grâce à l’encadrement de Margaret Armstrong et Christian Lajaunie. Mes remerciements vont à tous les membres du jury, à Christoph Loch et Eric Parent en tant que rap- porteurs, ainsi qu’à Wynand Kleingeld et Michel Schmitt. Je remercie aussi Alain Galli pour ses precieuses remarques. Je tiens à remercier aussi toutes les personnes du Centre de Géostatistique pour l’aide, les conseils et les encouragements qu’ils m´ont prodigués. Ce travail a également bénéficié de l’atmosphère agréable et con- viviale du Centre. Contents Résumé i 1 Introduction 1 1.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Evaluation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Valuing the reserves: towards a Bayesian approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Valuing flexibility: towards real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 The case study: the Eldorado gold mine 13 2.1 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 The raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Generating grades on the fictive holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Conditional simulations to inform the fictive holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Recoverable reserves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Conditional simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Statistics of anamorphosed grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Simulations results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Bayesian approach to estimation and prediction of random fields 33 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Gaussian random fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Parameters posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Prediction of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.4 The plug-in approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.5 Application to the test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Transformed gaussian random fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.2 Parameters posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.3 Prediction of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.4 Application to the test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 Recoverable reserves 89 4.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Recoverable reserves: Bayesian versus plug-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.1 A drift? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Exploitation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Development options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Conclusions and perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5 Real options 117 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Discounted cash flow methods and decision trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3 Real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Two approaches to evaluate real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.1 Contingent claims analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.4.2 Stochastic dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4.3 Comparing CCA and SDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5 Applications using contingent claims analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5.1 Applications using dynamic programming or decision trees . . . . . . . . . . . . . . 129 5.6 Information flexibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6.1 Measure of the value of information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.7 Application to the case study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.7.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.7.2 Financial parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.7.3 Results for the lower pit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.7.4 Value of the four development options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6 Conclusions and perspectives 175 6.1 Perspectives for future work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Appendix 183 A Conditional simulations of a gaussian random function 183 B Grid parameters for simulations 185 C Bayesian analysis 187 C.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 C.2 Bayesian inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 C.2.1 Prior distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 C.3 Markov chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 C.3.1 Monte Carlo integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 C.3.2 The Gibbs sampler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 C.3.3 The Metropolis- Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 C.3.4 Markov chains simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 D Notions of finance 199 D.1 Wiener process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 D.2 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 E Dynamic programming 209 E.1 Sequential decision process: finite horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 E.2 infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 References 213 Résumé Le problème qui a motivé ce travail est l’évaluation d’un projet minier et en particulier la sélection de la meilleure option de développement incluant la possibilité d’obtenir des sondages d’exploration supplémen- taires. Cette thèse porte sur la modélisation des réserves d’une mine d’or à ciel ouvert par des simulations conditionnelles et en particulier une approche bayésienne, et sur l’évaluation financière du projet en utilisant les options réelles. Dans les projets concernant les ressources naturelles, tels que les mines, il y a au moins deux sources importantes d’incertitude : l’incertitude du marché représentée principalement par le prix du métal (or), et l’incertitude technique ou privée représentée par les réserves. Les méthodes traditionnelles d’évaluation de projets, la valeur actualisée nette (VAN) par exemple, sont basées sur des valeurs fixes pour tous les paramètres et un scénario de développement défini. Elles supposent que le management est passif aux changements de conditions. Les simulations de Monte Carlo peuvent être utilisées pour modéliser les in- certitudes liées aux paramètres financiers et techniques, mais elles ont de grandes difficultés à intégrer des scénarios flexibles. De nos jours, il est largement reconnu, en finance et en management (Brealey et Myers, 1991), que les bons managers peuvent et doivent réagir aux changements de circonstances, et que ceci peut valoriser considérablement les projets en cours. Les décideurs ont la possibilité d’agir, car de nombreuses options réelles intègrent un projet d’investissement et ils peuvent choisir de les exercer dans l’intérêt de la compagnie. Les options les plus fréquentes sont : - attendre avant d’entreprendre le projet (renvoi à une date définie, ou à une date inconnue) et - abandonner le projet (temporairement ou de façon permanente). La méthode des options réelles a été développée à partir des techniques d’évaluation des options financières. Elle a été conçue pour intégrer la flexibilité managériale et les incertitudes sur les prix, mais peu de travaux ont été effectués pour prendre en compte les incertitudes des paramètres techniques. Les questions liées aux incertitudes techniques ne sont apparues que récemment dans la littérature traitant des options réelles, et elles concernent en particulier le pétrole (Chorn et Croft, 1998; Galli et al., 1999; Lund, 1999; Cortazar et al., 2001; Connell, 2002; Dias, 2002; McCarthy et Monkhouse, 2003). Au contraire, l’approche VAN est souvent combinée avec des simulations conditionnelles des réserves (Dowd, 1994 Sanguinetti et al., 1997; Thwaites, 1998), mais sans prise en compte de l’incertitude du prix et de la flexibilité. C’est pour cette rai- son que nous nous sommes intéressés à la combinaison des simulations conditionnelles géostatistiques avec les options réelles. Tout comme la volatilité dans les modèles traditionnels des options réelles, la sélectivité de la distribution des teneurs ajoute de la valeur au projet. La première partie de la thèse est consacrée à l’introduction et l’analyse du cadre bayésien et à l’application i ii RÉSUMÉ au cas d’étude. La deuxième partie de la thèse est consacrée aux options réelles. Nous avons commencé par utiliser les simulations conditionnelles car elles sont bien acceptées dans l’industrie minière. Toutefois, des hypothèses fortes sur la fonction de covariance sont nécessaires. Ceci est habituelle- ment obtenu en appréciant graphiquement « à la main » la covariance expérimentale et en l’introduisant dans les équations de prédiction comme s’il s’agissait de la vraie covariance. Cette approche est appelée plug- in. Pour tenir compte de cette incertitude, le cadre bayésien a été introduit. Les paramètres du mod- èle sont traités comme des variables aléatoires. En particulier le cadre bayésien a été considéré à cause de l’information disponible : le gisement est caractérisé par une partie supérieure échantillonnée de façon dense et une partie inférieure peu échantillonnée. Bien qu’on ait supposé la continuité entre les deux par- ties, l’approche bayésienne a permis de laisser de l’incertitude sur la structure de la covariance. Ceci etait particulièrement interessant dans notre cas pour la structure à grande porteé de la covariance qui décrit la correlation entre la partie superieure et inferieure du gisement. Un point critique en statistique spatiale par les champs aléatoires gaussiens est l’identification de la struc- ture de la covariance. La méthode de krigeage est largement utilisée pour la prédiction minière car elle permet des prédictions optimales quand la structure de covariance est connue. En réalité la covariance est inconnue et doit être estimée, de telle sorte que l’optimalité du krigeage est mise en question. En outre, la variance de krigeage risque d’être optimiste, puisqu’elle ignore cette source d’incertitude. Le paradigme bayésien fournit un cadre à l’intérieur duquel on peut analyser la performance prédictive du krigeage. La qualité de la mesure d’incertitude attachée au prédicteur est aussi importante que la qualité du prédicteur lui-même. La prédiction bayésienne est basée sur la distribution prédictive complète qui intègre la variabil- ité des paramètres du modèle. Le point le plus délicat de l’approche bayésienne est la définition de la distribution a priori des paramètres qui a un rôle important en particulier pour les jeux de données de petite taille. Plusieurs distributions a priori ont été définies, non- informatives ou informatives. Les distributions non- informatives sont souvent impropres : il faut alors vérifier que la distribution a posteriori est bien une distribution propre. La sensi- bilité des distributions a posteriori des paramètres et des distributions prédictives à ces a priori a été étudiée empiriquement. Selon la distribution a priori choisie, les distributions prédictives bayésiennes peuvent ne pas être calcu- lables analytiquement, ni simulables directement. Les algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov doivent alors être utilisés. Nous avons étudié le modèle gaussien développé par Kitanidis (1986) et Handcock et Stein (1993). L’importance de la prise en compte de l’incertitude sur les paramètres du modèle a été mise en évidence dans plusieurs ex- emples et dans le cas d’étude. Dans le cas des champs aléatoires gaussiens, l’incertitude sur les paramètres de corrélation influence fortement la distribution prédictive, contrairement à sur le paramètre de variance. Le point le plus critique semble être l’effet de pépite, c’est-à-dire le comportement à petites distances pour lequel il n’y a pas d’information disponible. Bien que l’on attende une variance plus impor- tante dans le cas où tous les paramètres sont inconnus, ce n’est pas toujours le cas. Il faut noter que la taille des jeux de données en sciences de la terre est généralement importante voir très importante. Il en résulte des temps de calcul longs. Par exemple, les simulations conditionnelles du gisement ont dû être effectuées pendant la nuit, par lots de 20. L’approche bayésienne est même plus lourde encore, car elle nécessite en plus la simulation de paramètres inconnus. De plus l’inversion de la matrice de