THESE

THESE pour obtenir le grade de Docteur de l’Ecole des Mines de Paris Spécialité « Géostatistique » soutenue publiquement par Sarah Goria le 30 mars 2004 Evaluation d’un projet minier : approche bayésienne et options réelles Directeur de thése : Margaret Armstrong Co-Directeur de thése : Christian Lajaunie Jury Mme Margaret ARMSTRONG Examinateur MM. Wynand KLEINGELD Christian LAJAUNIE Christoph LOCH Rapporteur Eric PARENT Michel SCHMITT PrésidentRemerciements Ce travail a été réalisé grâce à l’encadrement de Margaret Armstrong et Christian Lajaunie. Mes remerciements vont à tous les membres du jury, à Christoph Loch et Eric Parent en tant que rap- porteurs, ainsi qu’à Wynand Kleingeld et Michel Schmitt. Je remercie aussi Alain Galli pour ses precieuses remarques. Je tiens à remercier aussi toutes les personnes du Centre de Géostatistique pour l’aide, les conseils et les encouragements qu’ils m´ont prodigués. Ce travail a également bénéficié de l’atmosphère agréable et con- viviale du Centre. Contents Résumé i 1 Introduction 1 1.1 The problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Evaluation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Valuing the reserves: towards a Bayesian approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Valuing flexibility: towards real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 The case study: the Eldorado gold mine 13 2.1 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 The raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Generating grades on the fictive holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Conditional simulations to inform the fictive holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Recoverable reserves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Conditional simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Statistics of anamorphosed grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Simulations results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Bayesian approach to estimation and prediction of random fields 33 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Gaussian random fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Parameters posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Prediction of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.4 The plug-in approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.5 Application to the test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Transformed gaussian random fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.2 Parameters posterior distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.3 Prediction of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.4 Application to the test case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 Recoverable reserves 89 4.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Recoverable reserves: Bayesian versus plug-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.1 A drift? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Exploitation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Development options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Conclusions and perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5 Real options 117 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Discounted cash flow methods and decision trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3 Real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Two approaches to evaluate real options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.4.1 Contingent claims analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.4.2 Stochastic dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.4.3 Comparing CCA and SDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5 Applications using contingent claims analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5.1 Applications using dynamic programming or decision trees . . . . . . . . . . . . . . 129 5.6 Information flexibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.6.1 Measure of the value of information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.7 Application to the case study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.7.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.7.2 Financial parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.7.3 Results for the lower pit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.7.4 Value of the four development options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6 Conclusions and perspectives 175 6.1 Perspectives for future work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Appendix 183 A Conditional simulations of a gaussian random function 183 B Grid parameters for simulations 185 C Bayesian analysis 187 C.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 C.2 Bayesian inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 C.2.1 Prior distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 C.3 Markov chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 C.3.1 Monte Carlo integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 C.3.2 The Gibbs sampler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 C.3.3 The Metropolis- Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 C.3.4 Markov chains simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194D Notions of finance 199 D.1 Wiener process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 D.2 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 E Dynamic programming 209 E.1 Sequential decision process: finite horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 E.2 infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 References 213Résumé Le problème qui a motivé ce travail est l’évaluation d’un projet minier et en particulier la sélection de la meilleure option de développement incluant la possibilité d’obtenir des sondages d’exploration supplémen- taires. Cette thèse porte sur la modélisation des réserves d’une mine d’or à ciel ouvert par des simulations conditionnelles et en particulier une approche bayésienne, et sur l’évaluation financière du projet en utilisant les options réelles. Dans les projets concernant les ressources naturelles, tels que les mines, il y a au moins deux sources importantes d’incertitude : l’incertitude du marché représentée principalement par le prix du métal (or), et l’incertitude technique ou privée représentée par les réserves. Les méthodes traditionnelles d’évaluation de projets, la valeur actualisée nette (VAN) par exemple, sont basées sur des valeurs fixes pour tous les paramètres et un scénario de développement défini. Elles supposent que le management est passif aux changements de conditions. Les simulations de Monte Carlo peuvent être utilisées pour modéliser les in- certitudes liées aux paramètres financiers et techniques, mais elles ont de grandes difficultés à intégrer des scénarios flexibles. De nos jours, il est largement reconnu, en finance et en management (Brealey et Myers, 1991), que les bons managers peuvent et doivent réagir aux changements de circonstances, et que ceci peut valoriser considérablement les projets en cours. Les décideurs ont la possibilité d’agir, car de nombreuses options réelles intègrent un projet d’investissement et ils peuvent choisir de les exercer dans l’intérêt de la compagnie. Les options les plus fréquentes sont : - attendre avant d’entreprendre le projet (renvoi à une date définie, ou à une date inconnue) et - abandonner le projet (temporairement ou de façon permanente). La méthode des options réelles a été développée à partir des techniques d’évaluation des options financières. Elle a été conçue pour intégrer la flexibilité managériale et les incertitudes sur les prix, mais peu de travaux ont été effectués pour prendre en compte les incertitudes des paramètres techniques. Les questions liées aux incertitudes techniques ne sont apparues que récemm