THÈSE
présentée à
UNIVERSITÉ DE VERSAILLES SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES
pourobtenirletitrede
DOCTEURENSCIENCES
spécialité
Mathématiquesappliquées
par
Xavier CLAEYS
Titre:
Analyse asymptotique et numérique
de la diffraction d’ondes par des fils minces
Directeurs: Patrick Joly
Houssem Haddar
Rapporteurs: Peter Monk
Martin Costabel
Examinateurs: François Murat
Grégoire Allaire
Yvan Martel
René VézinetAnalyseasymptotiqueetnumérique
deladiffractiond’ondespardesfilsminces
Résumé: Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d’ondes dans des milieux comportant
desfilsmincesi.e.dontl’épaisseurestbienpluspetitequelalongueurd’onde.Enappliquantlaméthode
desdéveloppementsraccordés,nousdérivonsundéveloppementdelasolutiondel’équationdeHelm-
holtz en 2D autour d’un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle
approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et
analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l’une
est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l’autre est une version scalaire de la méthode de
Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail
en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d’un objet filiforme dont
lespointessontarrondiesellipsoïdalement.Nousdérivonségalementunmodèleapprochédontl’étude
mèneàunejustificationthéoriquedel’équationdePocklingtondanssaversionscalaire.
Asymptoticsandnumericalanalysis
forwavediffractionbythinwires
Abstract:Thisthesisdealswiththepropagationofwavesinmediathatcomprisethinwiresthethickness
ofwhichismuchsmallerthanthewavelength.Weapplythematchedasymptoticexpansionmethodand
deriveanexpansionofthesolutiontothetwodimensionalHelmholtzequationaroundasmallobstacle
with Dirichlet boundary condition. Then we present a simplified model for this problem involving an
averaged boundary condition and analyze two non-standard numerical methods for computing accu-
rately the corresponding solution : the first one is a variation of the singular function method, and the
secondoneisascalarversionoftheHollandmethod.Weprovetheconsistencyofbothmethodsinthis
case.Thenweprovidecomparableresultsforthe3DHelmholtzproblemwithDirichletboundarycondi-
tiononawire-shapedobstaclewithellipsoïdaltips.Wealsoderiveasimplifiedmodelinthelattersetting
andthisleadstoajustificationofascalarversionofthePocklingtonequation.
iiJedédiecetravail
àBaptisteClaeysREMERCIEMENTS
Jevoudraisexprimericitoutemagratitudeauxgensquim’ontpermisd’effectuermathèsedansles
conditionsidéalesdontj’aibénéficié.Surleplanhumain,j’aitrouvéquecestroisannéesétaientpassio-
nantesparcequej’aicotoyéetrencontrédespersonnesquiforçaientlerespectetl’admiration.
Mes remerciements vont en premier à Patrick Joly et Houssem Haddar. Ce fut un vrai plaisir de les
connaitre et un honneur d’être leur élève. J’ai beaucoup appris à leur contact. Je les remercie sincère-
mentpourleurpatience,leurdisponibilité,leursensdel’humouretpourl’intérêtqu’ilsontportéàmon
travail. Je les remercie de m’avoir consacré tant d’énergie et d’efforts, je pense que suivre une thèse en
analyse asymptotique ne doit pas être de tout repos. Enfin je les remercie pour leurs encouragements,
notammentdanslesmomentsdifficilesoùjecroyaisêtreaupointmort.
Je remercie François Murat, Yvan Martel, Grégoire Allaire et René Vézinet d’avoir accepté de faire
partie de mon jury. Il ont rendu l’organisation de ma soutenance facile. Je les remercie du temps et de
l’intérêtqu’ilsontconsacréàmontravail.Jelesremerciedeleurdisponibilité.
JeremercieégalementMartinCostabeletPeterMonkd’avoiracceptéderapportersurmathèse.Jeme-
surelatémérité,lapatienceetl’énergiequ’illeurafallupourseplongerdansmonmanuscrit.Mercivrai-
ment.Jelesremercieégalementpourleursremarquespertinentessurlemanuscrit.Mercienfind’avoir
acceptédevenirdeloinpourmasoutenance.
JeremercielaDGA,leCNRSetl’INRIAd’avoirfinancémontravail,etdem’avoiraccordéunetelleliberté.
J’espèresincèrementavoirréponduàleurattentes.
Mes remerciements vont également à Francis Collino. Il a été comme mon "troisème directeur de
thèse" alors que j’en avais déjà deux hors pairs. Je le remercie de s’être tant intéressé à mon travail, de
m’avoir fait profiter de ses intuitions et ses réflexions. Il m’a vraiment transmis son goût et sa curiosité
pourl’analysenumérique.
JeremercietouteslespersonnesdePOEMS.L’ambianceaétévraimentagréablependantcestroisans.Il
yatantdemomentsvraimentdrôlesquej’aipasséaveceux.
Nombreux sont les professeurs auxquels j’aimerais adresser des remerciements. Je pense en parti-
culier à Grégoire Casalis et Daniel Bouche, qui m’ont tous les deux poussé à continuer les maths et qui
m’ontguidédansmonorientation.
J’exprimeégalementmareconaissanceàmafamillepourleursencouragementsetleuraide.Cecis’ap-
pliquesurtoutàmamèrepourpleinsderaisonsnotammenttrèsconcrètes.Pourneciterqu’unexemple,
ellearelumathèse(!).Sivousconnaissezbeaucoupdemamansquirelisentunethèse,faitesmoisigne.
J’aireçugrâceàmesparentslameilleurformationscientifiquequisoit.Mêmedansdesmomentsvrai-
ment difficiles, mon éducation et celle de mon frère et de ma soeur a toujours été la priorité pour eux.
Bravo.
Je salue tous mes amis qui m’ont chacun apporté leur sensibilité sur des sujets vraiment divers et qui
m’ontpermisdenepasdevenircomplètementzinzinavectoutesceséquations.Gygottm’amêmeaidé
lorsdelarédactiondumanuscritetjeleremerciesincèrement.
MespenséessetournentenfinversJuliaquejeremerciepoursapatience,sonaffection,sacompréhen-
sion.
viviiiTABLEDESMATIÈRES
Introductiongénérale 1
PartieI Laméthodedesdéveloppementsraccordés 9
1 Analyseasymptotiqued’unpremierproblèmemodèle:HelmholtzavecconditiondeNeumann
autourd’unpetitobstacle 11
1.1 Positionduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Descriptiondelagéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Formulationduproblème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Formulationfaibledelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Approximationd’ordre0:lechamplimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Preuvedestabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Remarquesd’analyseasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Calculanalytiquedanslecasd’unobstaclecirculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Séparationdevariablespourl’équationdeHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
re1.3.2 FonctionsdeBesselde1 espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
nd1.3.3 FonctionsdeBesselde2 espèced’ordrenonnul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
nd1.3.4 FonctionsdeBesselde2 espèced’ordre0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.6 Résolutionanalytiquedansuncassimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Développementd’ordresupérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Singularitédestermesdudéveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Laméthodedesdéveloppementsraccordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3 Approximationglobale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.4 Formulationfortedelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.5 Conséquencesdelastabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Étudeduchamplointain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 SéparationdevariablesbaséesurlesfonctionsdeBessel . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.2 Autrefamilledesolutionsàvariablesséparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.3 Notiondedéveloppementradialauvoisinagede0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.4 Développementradialdessolutionsdel’équationdeHelmholtz . . . . . . . . . . . . 38
1.6 Étudeduchampproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.1 ExpressionexplicitedessolutionsdeséquationsdeLaplaceemboîtées . . . . . . . . 41
ix1.6.2 Notiondedéveloppementradialauvoisinagedel’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 Étudedel’erreurderaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7.1 Bilansurlesconditionssuffisantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7.2 Reformulationdeséquationsderaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8 Définitiondestermesdudéveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.8.1 Unicitédelasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.8.2 Constructiondeprofils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.8.3 Existencedelasolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.8.4 Validationdel’ansatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.8.5 Conclusionfinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Principesdecalculgénérauxpourlaméthodedesdéveloppementsraccordés 63
2.1 Leshypothèsesdedépart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.1 Définitionetparamétragedelagéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.2 EspacesdeSobolevetespacesàpoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.3 Problèmeconsidéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.4 Formedesopérateursdifférentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.5 Hypothèsessurlapartiedominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Discussionsuruneformededéveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.1 Découpagedelagéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.2 Approximationenchamplointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.3 Approximationenchampproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2.4 Approximationdanstoutledomaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2.5 Exploitationdel’hypothèsedestabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.6 Équationspourlechampprocheetlointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3 Développementradialduchamplointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.1 Développementradialauvoisinagede0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.2 Applicationauchamplointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Développementradialduchampproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.1 Développementauvoisinagedel’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.2 Applicationauchampproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5 PrincipedeRaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6 Estimationdestermesd’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.1 Estimationdel’erreurdechampproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.2 Estimationdel’erreurderaccord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.3 Bilansurl’estimationd’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.4 Estimationdanslecasd’undéveloppementrégulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.5 Conclusions:construireundéveloppementenpratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7 Étudedétailléeduprincipederaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.1 Espacedesériesformelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7.2 PremièredescriptiondesélémentsdunoyaudeA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7.3 Constructiond’uninverseàdroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7.4 Exemplesexplicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.7.5 Élémentsparticuliersdunoyaude A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7.6 DécompositiondesélémentsdunoyaudeA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.7 Retoursurleprincipederaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7.8 Simplificationdeséquationsderaccord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7.9 Estimationd’erreurdanslecasoùleprincipederaccordn’estpassatisfait . . . . . . 96
2.8 Constructionconcrètedestermesdudéveloppement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
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