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N° d’ordre : 9053


UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI
FACULTÉ DES SCIENCES D’ORSAY


THÈSE

Présentée pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI

Spécialité : Mathématiques

par

Pierre NOLIN

PERCOLATION PRESQUE-CRITIQUE EN DEUX DIMENSIONS,
ET QUELQUES MODÈLES LIÉS


Directeur de thèse : M. Wendelin WERNER

Rapporteurs : M. Jacob VAN DEN BERG
M. Oded SCHRAMM


Soutenue le 20 juin 2008 devant la commission d’examen :

M. Thierry BODINEAU (Examinateur)
M. Jean-François LE GALL (Examinateur)
M. Bernard SAPOVAL (Président)
M. Vladas SIDORAVICIUS (Examinateur)
M. Wendelin WERNER (Directeur de thèse)
NEAR-CRITICAL PERCOLATIONINTWODIMENSIONS,
ANDRELATEDMODELS
Pierre NOLIN
PhD Thesis supervised by Wendelin WERNER ii Remerciements / Acknowledgments
Je tiens à remercier en premier lieu Wendelin Werner pour m’avoir initié à ce domaine de
recherchepassionnant.C’estvraimentpeudirequesadisponibilité,sonenthousiasme,sonsoutien
constant, ses conseils toujours avisés ont joué un rôle prépondérant dans ce travail : ces trois
dernières années ont été extrêmement enrichissantes et stimulantes pour moi, et je lui en suis
profondément reconnaissant.
Je suis aussi très reconnaissant envers Jean-François Le Gall, pour son rôle très important
dans ma formation depuis mon entrée à l’ENS, ses conseils et son soutien.
J’aimerais remercier les différentes personnes ...

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N° d’ordre : 9053 UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI FACULTÉ DES SCIENCES D’ORSAY THÈSE Présentée pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES DE L’UNIVERSITÉ PARIS-SUD XI Spécialité : Mathématiques par Pierre NOLIN PERCOLATION PRESQUE-CRITIQUE EN DEUX DIMENSIONS, ET QUELQUES MODÈLES LIÉS Directeur de thèse : M. Wendelin WERNER Rapporteurs : M. Jacob VAN DEN BERG M. Oded SCHRAMM Soutenue le 20 juin 2008 devant la commission d’examen : M. Thierry BODINEAU (Examinateur) M. Jean-François LE GALL (Examinateur) M. Bernard SAPOVAL (Président) M. Vladas SIDORAVICIUS (Examinateur) M. Wendelin WERNER (Directeur de thèse) NEAR-CRITICAL PERCOLATIONINTWODIMENSIONS, ANDRELATEDMODELS Pierre NOLIN PhD Thesis supervised by Wendelin WERNER ii Remerciements / Acknowledgments Je tiens à remercier en premier lieu Wendelin Werner pour m’avoir initié à ce domaine de recherchepassionnant.C’estvraimentpeudirequesadisponibilité,sonenthousiasme,sonsoutien constant, ses conseils toujours avisés ont joué un rôle prépondérant dans ce travail : ces trois dernières années ont été extrêmement enrichissantes et stimulantes pour moi, et je lui en suis profondément reconnaissant. Je suis aussi très reconnaissant envers Jean-François Le Gall, pour son rôle très important dans ma formation depuis mon entrée à l’ENS, ses conseils et son soutien. J’aimerais remercier les différentes personnes et institutions qui m’ont accueilli durant cette thèse, en particulier Rob van den Berg et Federico Camia pour plusieurs séjours au CWI et à la Vrije Universiteit (Amsterdam), Bernard Sapoval (et tous les autres organisateurs) pour un programme très formateur Random Shapes à l’IPAM (UCLA) et Vladas Sidoravicius à l’IMPA (Rio de Janeiro). Parmilesnombreusespersonnesaveclesquellesj’aieul’occasiondetravailler,j’aimeraissouli- gnerl’importanceenparticulierdeLincolnChayes(avecquileChapitre2aétéco-écrit),Vincent Beffara et Christophe Garban (nos longues discussions au bureau R302 vont me manquer). Je suis également reconnaissant envers Rob van den Berg et Oded Schramm d’avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse, et de l’avoir lue en détail, je suis conscient du travail très important que cela représente. J’aimerais aussi remercier Thierry Bodineau, Jean-François Le Gall,BernardSapovaletVladasSidoraviciusd’avoiracceptédefairepartiedujurydesoutenance. Au passage j’aimerais saluer Vincent, sa bonne humeur et son enthousiasme ont rendu très agréable notre cours partagé de mathématiques pour les élèves économistes, ainsi que toute l’équipe du DMA, en particulier le groupe de probabilités, et au bureau R302 Guillaume, que j’ai (presque) convaincu de l’esthétique de la percolation. Il va sans dire que ma famille et mes amis ont joué également un rôle très important dans la réalisation de ce travail, j’aimerais en particulier saluer mes parents et mon frère. J’aimerais enfin citer toutes les personnes qui ont rendu ces années au DMA si agréables, en particulier Bénédicte, Zaïna, Laurence et Lara. J’aimerais aussi remercier Valérie Blandin- Lavigne à Orsay. Enfin, je ne peux pas terminer ces remerciements sans avoir une pensée pour Pierre-Yves, avec qui j’ai eu le plaisir de découvrir la percolation il y a de cela cinq ans maintenant. iii iv Contents Introduction (français) 1 1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Percolation par sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Invariance conforme de la percolation critique et exposants critiques . . . 3 1.3 Modèles de formes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Aperçu de nos résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Percolation presque-critique en deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Propriétés à grande échelle de l’IIIC en deux dimensions . . . . . . . . . . 7 2.3 Asymétrie des interfaces en régime presque-critique . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Exposants critiques pour la percolation en gradient . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Limites d’échelle pour le front de la percolation en gradient . . . . . . . . 9 2.6 Géométrie des fronts de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Introduction 11 1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Site percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Conformal invariance of critical percolation and critical exponents . . . . 12 1.3 Random shape models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Overview of our results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 Near-critical percolation in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Large scale properties of the IIIC for 2D percolation . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Asymmetry of near-critical percolation interfaces . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Critical exponents of planar gradient percolation . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Scaling limits for the gradient percolation front . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Geometry of diffusion fronts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 Near-critical percolation in two dimensions 21 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2 Percolation background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 v Contents 1.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2 General properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.3 Some technical tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Near-critical percolation overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Characteristic length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Russo-Seymour-Welsh type estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.3 Outline of the paper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Arm separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.1 Arm events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.2 Well-separateness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.3 Statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.4 Proof of the main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.5 Some consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.6 Arms in the half-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5 Description of critical percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5.1 Arm exponents for critical percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.2 Universal exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.6 Arm events near criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.6.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.6.2 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.6.3 Some complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.7 Consequences for the characteristic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.7.1 Different characteristic lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.7.2 Main critical exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.7.3 Critical exponent for L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.7.4 Uniform exponential decay, critical exponent for θ . . . . . . . . . . . . . 66 1.7.5 Further estimates, critical exponents for χ and ξ . . . . . . . . . . . . . . 69 1.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.8.1 Other lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.8.2 Some related issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2 Large scale properties of the IIIC for 2D percolation 77 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.2 Setup and statement of theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.2.1 Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.2.2 Correlation lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.3 Description of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 vi 2.3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.4 A sharp transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3 Asymmetry of near-critical percolation interfaces 91 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Length and dimension of near-critical interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.4.1 Length of discrete interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.4.2 Dimension of scaling limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 The alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.6 Asymmetry of near-critical interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.6.1 Discrete asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.6.2 Continuous asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.7 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4 Critical exponents of planar gradient percolation 113 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.2 Homogeneous percolation preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.1 Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.2 Arm exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.3 Behavior near criticality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3 Localization of the front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.1 Framework of gradient percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.3 Uniqueness of the front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4 Length of the front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.1 Two-arm estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.2 Expected length of the front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 24.4.3 Convergence in L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.5 Outer boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.6 Open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5 Scaling limits for the gradient percolation front 137 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2 Characteristic length for gradient percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.2.1 Percolation background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 vii Contents 5.2.2 Regularity and asymptotic behavior of L . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140ǫ 5.2.3 Gradient percolation: setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.4 Characteristic length for gradient percolation . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2.5 Macroscopic properties of the front . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3 Existence of non-trivial scaling limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.4 Properties of the scaling limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.1 Similarities with critical percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.2 Local asymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6 Geometry of diffusion fronts 149 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.2 Setup and statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.1 Description of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.2 Main ingredients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2.3 Statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.4 Model with a source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Bibliography 167 viii