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UniversitØ catholique Center for Systems Engineeringde Louvain and Applied MechanicsFacultØ des Sciences AppliquØes tude de l’observabilitØ de systŁmes de Sturm-Liouville:application aux rØacteurs biochimiques à paramŁtres rØpartisProf. P. Bertrand (prØsident) UniversitØ catholique de Louvain.Prof. D. Dochain (promoteur) UniversitØ de Louvain.Dr. J. Winkin (encadrement) UniversitØ de Namur (FUNDP).Dr. J. Harmandt) INRA Narbonne.Prof. G. Bastin UniversitØ catholique de Louvain.Prof. Y. TourØ UniversitØ d’OrlØans.Prof. P. Van Dooren UniversitØ catholique de Louvain.Louvain-la-NeuveDØcembre 2003La meilleure fa on de ne pas avancer est de suivre une idØe xe.Jacques PrØvertRemerciementsJe remercie tout d’abord le Professeur Denis Dochain, promoteur de cette thŁse, pourla con ance et le soutien sans faille qu’il m’a accordØs tout au long de ce travail. Il m’aconseillØ avec franchise et e cacitØ dans mes choix scienti ques tout en m’en laissant lalibertØ, et j’ai beaucoup appris à son contact sur la fa on de mener un travail de recherche.Bien qu’engagØ dans de multiples projets et activitØs de recherche, il s’est toujours rendudisponible pour moi, y compris dans les moments di ciles oø son Ønergie m’a ØtØ prØcieuse.Le seul engagement qu’il n’ait pas tenu à mon Øgard, c’est sa promesse que, tant que jene boirais pas de biŁre, il ne me laisserait pas passer ma thŁse.Je remercie aussi Joseph Winkin pour son soutien, sa disponibilitØ et l’aide qu’il ...

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Langue Français

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UniversitØ catholique Center for Systems Engineering
de Louvain and Applied Mechanics
FacultØ des Sciences AppliquØes
tude de l’observabilitØ de systŁmes de Sturm-Liouville:
application aux rØacteurs biochimiques ? paramŁtres rØpartis
Prof. P. Bertrand (prØsident) UniversitØ catholique de Louvain.
Prof. D. Dochain (promoteur) UniversitØ de Louvain.
Dr. J. Winkin (encadrement) UniversitØ de Namur (FUNDP).
Dr. J. Harmandt) INRA Narbonne.
Prof. G. Bastin UniversitØ catholique de Louvain.
Prof. Y. TourØ UniversitØ d’OrlØans.
Prof. P. Van Dooren UniversitØ catholique de Louvain.
Louvain-la-Neuve
DØcembre 2003La meilleure fa on de ne pas avancer est de suivre une idØe xe.
Jacques PrØvertRemerciements
Je remercie tout d’abord le Professeur Denis Dochain, promoteur de cette thŁse, pour
la con ance et le soutien sans faille qu’il m’a accordØs tout au long de ce travail. Il m’a
conseillØ avec franchise et e cacitØ dans mes choix scienti ques tout en m’en laissant la
libertØ, et j’ai beaucoup appris ? son contact sur la fa on de mener un travail de recherche.
Bien qu’engagØ dans de multiples projets et activitØs de recherche, il s’est toujours rendu
disponible pour moi, y compris dans les moments di ciles oø son Ønergie m’a ØtØ prØcieuse.
Le seul engagement qu’il n’ait pas tenu ? mon Øgard, c’est sa promesse que, tant que je
ne boirais pas de biŁre, il ne me laisserait pas passer ma thŁse.
Je remercie aussi Joseph Winkin pour son soutien, sa disponibilitØ et l’aide qu’il m’a
apportØe tout au long de ma thŁse. Il a plusieurs fois trouvØ la clef scienti que qui m’a
permis de rØsoudre le problŁme auquel j’Øtais confrontØ, et il a largement dØpassØ son r le
de membre du comitØ d’encadrement par le temps qu’il m’a consacrØ. Sans son application
et sa rigueur scienti que, cette thŁse ne serait pas ce qu’elle est.
Je remercie Øgalement JØr me Harmand pour avoir acceptØ l’encadrement de mon
doctorat. Bien que j’aie engagØ mon doctorat dans une voie assez ØloignØe de ses thŁmes
de recherche, il a toujours ØtØ disponible pour me fournir de prØcieuses donnØes concernant
le procØdØ de digestion anaØrobie. Je garde en mØmoire son accueil et son hospitalitØ lors
de mon passage au Laboratoire de Biotechnologie de l’Environnement de Narbonne.
Plus gØnØralement, je remercie les autres membres du jury, les professeurs Georges
Bastin, Youssou TourØ et Paul Van Dooren, pour s’Œtre penchØs sur cet ouvrage et
l’avoir enrichi par leurs questions et commentaires lors de la dØfense privØe. Un merci
particulier ? Paul qui m’a plusieurs fois apportØ son aide au cours de mes recherches.
Ont Øgalement contribuØ ? mon travail de thŁse le professeur Patrick Habets, qui m’a
suggØrØ l’utilisation la thØorie des sur- et sous-solutions, ainsi qu’Olivier Schoefs, pour
m’avoir fourni son programme de simulation d’un digesteur anaØrobie. Merci au professeur
Patrick Bertrand, responsable du dØpartement MatØriaux et ProcØdØs de la FacultØ, pour
sa prØsidence du jury de thŁse.
MalgrØ la proximitØ de mon Lille natal, j’apprØhendais un peu ma venue en cette uni-
versitØ inconnue au milieu de ces terres ØtrangŁres. Crainte injusti Øe, car j’ai eu la chance
d’e ectuer mon doctorat au CESAME, et de pro ter de l’ambiance de travail exception-
nelle qui y rŁgne : merci ? tous ceux que j’y ai croisØ pendant ces quatre ans. Notamment,
merci ? ceux de mes collŁgues qui ont participØ ? cette thŁse par des conseils, une aide
occasionnelle ou simplement par l’amitiØ qu’il m’ont tØmoignØ : Adrien (et Sam), CØcile,6
Fabrice, Gunnar, Hadyan, le professeur Ilyasse, Jacques, Mariana, Vincent Canterini,
Younes,... Amaury est un type formidable qui a activement participØ ? mon intØgration
au sein du monde Øtudiant louvainiste, n’hØsitant pas ? payer de sa personne. Sans lui, je
n’aurais pas fait la connaissance de Catherine et Anne-Sophie, que je remercie au passage
pour avoir corrigØ l’orthographe de mon manuscript. Que pendant mille ans soient chan-
tØes les louanges de ma collŁgue de bureau Isabelle pour tout ce qu’elle m’a appris, que
ce soit au sujet des commandes LaTeX, des techniques d’enseignement ou du vocabulaire
belge. C’est Øgalement gr ce ? la disponibilitØ du personnel administratif et technique que
j’ai pu mener cette thŁse ? terme : merci ? Michou, Isabelle, Lydia, Michel, Dominique,
tienne, Guido, Yannick.
L’enseignement que j’ai prodiguØ dans le cadre de l’UCL a ØtØ pour moi l’occasion de
travailler pour deux professeurs remarquables : Vincent Wertz, qui s’est toujours impliquØ
dans les rØformes successives de l’enseignement acadØmique ; et Michel Gevers, que je
remercie pour le soutien qu’il m’a tØmoignØ en plusieurs occasions.
Par ailleurs, je remercie le PAI (P le d’Attraction Inter-universitaire), ainsi que le
dØpartement d’IngØnierie MathØmatique qui ont nancØ mes travaux de recherche.
Je tiens Øgalement ? remercier les chercheurs du Laboratoire de Biotechnologie de
l’Environnement de Narbonne et de la FacultØ Polytechnique de MontrØal qui y ont rendu
mes (trop) courts sØjours instructifs et agrØables.
En n, mon plus grand merci va ? mes proches pour leur soutien durant ces annØes
de recherches : ? mes parents, dØsolØs d’Œtre si loins, mais qui m’ont aidØ bien plus qu’ils
ne le pensent par leurs encouragements et leurs conseils ; ? ma grand-mŁre, ma s ur,
ma marraine et ? toute ma famille ; ? mes amis pour leurs encouragements, souvent ?
distance, mais d’autant plus prØcieux.
VØronique, merci pour ta patience, ton soutien et ton amour.TABLE DES MATI¨RES 7
Table des matiŁres
Introduction 11
0 Sur les SystŁmes ? ParamŁtres RØpartis 15
0.1 DØ nition et classi cation des SPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2 Rappels sur la dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.2.1 ReprØsentation d’Øtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.2.2 ProblŁme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2.3 ObservabilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.3 Introduction ? la thØorie des C -semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 190
0.3.1 ReprØsentation d’Øtat d’un SPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.3.2 DØ nitions et propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
0.3.3 ProblŁme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.4 OpØrateurs spectraux de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.4.1 Bases de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.4.2 DØ nition et propriØtØs d’un opØrateur spectral de Riesz . . . . . . 25
0.5 La notion d’observabilitØ en dimension in nie . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.5.1 ObservabilitØ en dimension in nie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.5.2 Cas d’un systŁme spectral de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I ObservabilitØ d’un systŁme de Sturm-Liouville
Cas d’Øtude: biorØacteur ? lit xe 31
1 ObervabilitØ d’un systŁme de Sturm-Liouville 33
1.1 Les systŁmes de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.1 OpØrateur de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.2 SystŁme de : dØ nition et rØsultat . . . . . . . . . . 35
1.2 ObservabilitØ d’un systŁme de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.1 HypothŁses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.2 Condition su san te d’observabilitØ modale . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.3 Placer le capteur en sortie permet d’observer N modes . . . . . . . 39
1.3 Evaluer l’intervalle " en fonction de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 TABLE DES MATI¨RES
2 Cas d’Øtude : biorØacteur tubulaire ? lit xe 47
2.1 BiorØacteur ? lit xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 ModØlisation d’un biorØacteur ? lit xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 HypothŁses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 ModŁle non linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.3 Normalisation du modŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.4 LinØarisation du modŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.5 quation d’Øtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Analyse d’observabilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1 Analyse thØorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Expression de " en fonction de N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58N
2.4 Application numØrique : biorØacteur de dØnitri cation . . . . . . . . . . . . 66
2.4.1 Valeurs numØriques de " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67N
2.4.2 Une approximation numØrique de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.3 Les fonctions propres de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
II Analyse de l’observabilitØ d’un procØdØ de traitement des
eaux usØes 77
3 ModŁle d’un digesteur anaØrobie ? lit xe 79
3.1 PrØsentation du digesteur anaØrobie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 ModØlisation par deux EDP semi-linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1 HypothŁses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.2 quations de modØlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.3 Normalisation du modŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 LinØarisation du modŁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 L’Øquation d’Øquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.2 MØthode des sur- et sous-solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.3 Existence de l’Øtat d’Øquilibre s() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.4 ModŁle linØarisØ tangent du digesteur anaØrobie . . . . . . . . . . . 90
3.4 Valeurs numØriques des paramŁtres du systŁme . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 ObservabilitØ du digesteur anaØrobie 95
4.1 Analyse modale du digesteur anaØrobie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.1 quation d’Øtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.2 Dynamique du digesteur anaØrobie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.3 Modes du systŁme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.4 d est-il strictement positif? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 RØsultats d’observabilitØ modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.1 Capteurs et opØrateur d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107TABLE DES MATI¨RES 9
4.2.2 ObservabilitØ modale du systŁme . . . . . . . . . . . . . . . . 107DA
4.2.3 Application numØrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.4 ObservabilitØ avec un seul capteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Conclusions et perspectives 113
Annexes 117
A ComplØments mathØmatiques 117
A.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2 Bases en dimension in nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.3 OpØrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.3.1 OpØrateurs sur les espaces linØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.3.2 OpØrateurs sur les espaces normØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.3.3 Op sur les de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.4 ThØorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
pA.5 Espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.6 IntØgrales dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B Nomenclature 125
B.1 Notations (bio)chimiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.1.1 Lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.1.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.2 Notations mathØmatiques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.2.1 Lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.2.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.2.3 Exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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