Thèse complète version définitive irem
Description
Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique Chapitre 7 359 Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon L’état des lieux en début de formation qui vient d’être effectué, à partir de l’analyse des tests papier et des analyses de cas dans l’environnement Cabri, montre que les étudiants ne se situent pas de manière systématique dans le paradigme G2 : ils sont nombreux à travailler dans G1, ou dans un pseudo-paradigme qui relève à la fois de G1 et de G2, de manière implicite. Par ailleurs, un manque de connaissances et de compétences les empêche parfois de mener à bien une démarche dans G2 et les conduit à travailler dans G1. J’ai développé au début de cette thèse une hypothèse de travail (cf. chapitre 2, § 3.3) : T : Il est nécessaire qu’un professeur des écoles ait une conscience claire de la distinction G1/G2, ainsi qu’un minimum de connaissances dans G2. Il s’agit maintenant de proposer et d’analyser des séances de formation qui permettent de faire évoluer d’une part le rapport des PE1 aux paradigmes géométriques G1 et G2, et d’autre part les connaissances et compétences en géométrie euclidienne. Le temps de formation est toujours limité. Au CFP d’Avrillé, l’année de cette dernière phase d’expérimentation, 15 h sont réservées à la géométrie plane avec les PE1, dont 1 h 30 de Temps ...
Informations
| Publié par | Oslu |
| Nombre de lectures | 61 |
| Langue | Français |
Extrait
Paradigmes géométriques et formation initiale des professeurs des écoles, en environnements papier-crayon et informatique
359
Chapitre 7
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
L’état des lieux en début de formation qui vient d’être effectué, à partir de l’analyse des tests papier et des analyses de cas dans l’environnement Cabri, montre que les étudiants ne se situent pas de manière systématique dans le paradigme G2 : ils sont nombreux à travailler dans G1, ou dans un pseudo-paradigme qui relève à la fois de G1 et de G2, de manière implicite. Par ailleurs, un manque de connaissances et de compétences les empêche parfois de mener à bien une démarche dans G2 et les conduit à travailler dans G1. J’ai développé au début de cette thèse une hypothèse de travail (cf. chapitre 2, § 3.3) : T : Il est nécessaire qu’un professeur des écoles ait une conscience claire de la distinction G1/G2, ainsi qu’un minimum de connaissances dans G2. Il s’agit maintenant de proposer et d’analyser des séances de formation qui permettent de faire évoluer d’une part le rapport des PE1 aux paradigmes géométriques G1 et G2, et d’autre part les connaissances et compétences en géométrie euclidienne. Le temps de formation est toujours limité. Au CFP d’Avrillé, l’année de cette dernière phase d’expérimentation, 15 h sont réservées à la géométrie plane avec les PE1, dont 1 h 30 de Temps d’Appropriation (temps de travail en groupes, pour effectuer un travail préparé par l’enseignant, en l’absence de celui-ci) et 1 h 30 de soutien pour les étudiants en difficultés. Sur les 12 heures restantes, la moitié se déroule dans une grande salle avec les 120 étudiants, l’autre moitié est répétée trois fois par l’enseignant, avec des « groupes de base » d’une quarantaine d’étudiants. Ces 15 heures sont censées permettre aux étudiants de se préparer à l’ensemble de l’épreuve du concours en géométrie plane, et doivent donc donner l’occasion de traiter des problèmes mathématiques mais aussi didactiques. Le travail sur les paradigmes géométriques peut y être inséré, mais dans un volume horaire, comme on le comprend aisément, très faible. Du point de vue déontologique, la présence du concours en fin d’année ne donne pas en effet une grande marge de manœuvre : seules les activités qui permettent de préparer le concours trouvent leur place en première année.
361
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon Dans une première partie de ce chapitre, je décrirai le dispositif mis en place, en explicitant l’analyse a priori des travaux personnels proposés ainsi que l’analyse a priori et le déroulement de toutes les phases collectives. Dans les seconde et troisième parties, j’analyserai les résultats des étudiants aux travaux personnels écrits proposés, avant de conclure.
1. Description du dispositif, analyse a priori et premières observations
Je ne détaillerai pas l’ensemble du dispositif de formation sur la géométrie plane, en particulier les aspects didactiques, mais seulement les séances qui ont pour objectifs : • de faire prendre conscience aux PE1 des paradigmes G1 et G2, ainsi qu’éventuellement du pseudo-paradigme dans lequel ils se situent quand ils résolvent des problèmes de géométrie, • de raviver des connaissances et de développer des compétences dans G2. Les connaissances ont théoriquement déjà été toutes rencontrées au collège, et souvent revues avant l’entrée en formation. Un test de mathématiques est en effet passé par les étudiants dans le cadre du dispositif de sélection pour entrer en première année au CFP. Les étudiants s’y sont donc en général préparés en s’entraînant avec des annales de tests de recrutement d’entrée en CFP ou en IUFM, globalement basés sur les connaissances du collège. Il s’agit donc rarement d’une découverte. Certaines compétences, par contre, sont totalement inexistantes, comme nous le verrons dans ce chapitre. Rédiger par exemple un scénario de construction géométrique est une tâche difficile et très mal exécutée en début de formation. Pour simplifier le discours, je nommerai dans la suite « dispositif G1-G2 » toute la partie correspondant à ces séances ou parties de séances. Elles se répartissent comme l’indique le tableau ci-dessous :
362
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
Etape 1 Le point sur les quadrilatères Grand groupe Jour 1 Etape 2 Exercice 1 : tracer un triangle rectangle G de Etape 3 Quel type de géométrie ? roupes base Etape 4 Atelier de géométrie plane 1 Etape 5 Les instruments de dessin Grand groupe Etape 6 Exercice 2 : tracer une droite parallèle à d passant par Jour 2 A bGarsoeu pes de Etape 7 Atelier de géométrie plane 2 Grand groupe Etape 8 Exercice 3 : situation « médiatrice » Jour 3 bGarsoupes de Etape 9 Démonstrations e La grande majorité de ce dispositif se déroule en groupes de base. Toutes les séances durent 1 h 30. La fin des séances en grand groupe est utilisée pour faire faire aux étudiants un travail personnel, qui sera exploité en groupe de base le jour-même : exercices 1, 2 et 3. C’est un moyen de limiter le temps d’intervention magistrale avec le grand groupe et d’optimiser la répartition des activités sur la journée. Le reste du temps de travail en grand groupe est destiné à un travail qui porte essentiellement sur les aspects didactiques : analyse des instructions officielles, de manuels et de productions d’élèves ; il ne sera pas étudié ici. Seules deux étapes du dispositif G1-G2 se présentent sous forme d’un court exposé magistral : il s’agit des étapes 1 (sur les quadrilatères) et 5 (autour des instruments de géométrie).
1.1. Etape 1 : les quadrilatères
1.1.1. Des définitions inclusives, dans G2 La question du test sur la définition du losange a mis en évidence une conception erronée fréquente chez les PE1, selon laquelle le carré n’est pas un losange. Il s’agit donc avant tout dans cette étaped’expliciter le caractère inclusif des définitions des objets mathématiques, en l’occurrence ici lesqaurdliatères. Le point de vue adopté ici est bien
363
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon évidemment celui des définitions dans G2 tel que je l’ai décrit au chapitre 2, § 1.7 (cf. pages 93 et suivantes). à l’aide de la représentation ensembliste suivante :
149 L’inclusion des ensembles les uns dans les autres est largement commentée : un carré est un losangeet un rectangleet un parallélogrammeet un trapèze (cette dernière affirmation est d’ailleurs souvent source d’étonnement pour les étudiants), etc. C’est l’occasion également d’attirer l’attention des étudiants sur la notion de quadrilatère convexe, dont plusieurs définitions sont données150. Ce concept sera réutilisé lors du travail sur le parallélogramme.
1.1.2. Des définitions minimales Différentes définitions possibles des quadrilatères fréquemment utilisés sont formulées à partir du diagramme suivant :
149Ce schéma et le suivant sont disponibles sur Internet à l’adresse suivante : http://mathocollege.free.fr/brevet/quad/quad.html 150Les définitions proposées sont : « un quadrilatère est convexe lorsque tous les segments reliant deux points quelconques du quadrilatère sont entièrement à l’intérieur du quadrilatère », ou encore « un quadrilatère est convexe lorsque le quadrilatère se situe tout entier du même côté de n’importe quelle droite portant un des côtés du quadrilatère ». Les expressions « intérieur » ou « du même côté » sont utilisées de manière naïve, intuitive, sans aucune explicitation d’ordre topologique.
364
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
Cinq définitions du losange sont par exemple formulées : • Quadrilatère avec deux diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu • Quadrilatère avec deux diagonales qui se coupent en leur milieu et deux côtés consécutifs de même longueur • Quadrilatère avec des côtés opposés parallèles deux à deux et deux côtés consécutifs de même longueur • Quadrilatère avec des côtés opposés parallèles deux à deux et des diagonales perpendiculaires • Quadrilatère avec quatre côtés de même longueur C’est l’occasion d’expliciter ce que j’ai nommé au chapitre 4 (§ 3.7.2, pages 198 et suivantes) des «définitions minimales» et d’insister sur le fait que définir un objet ne signifie pas énumérer toutes les propriétés que l’on connaît de cet objet. Il est alors suggéré aux étudiants d’effectuer le même travail au sujet des autres quadrilatères particuliers apparaissant dans ce diagramme.
365
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
1.1.3. Le cerf-volant, positions et proportions prototypiques Un autre quadrilatère particulier est ensuite proposé aux étudiants : le «cerf-volant». Il est introduit parce que ce mot apparaît dans les Instructions Officielles de Cycle 3 (cf. [Appl. Maths C3. 2002, page 32]) et que certains étudiants, comme nous l’avons vu au chapitre 5 (§ 4.1.3, pages 290 et suivantes), le confondent avec le losange. Il est défini comme « quadrilatère ayant une de ses diagonales comme axe de symétrie ». Une construction avec Cabri-géomètre est effectuée devant les étudiants à partir de cette définition et les propriétés sont mises en évidence, puis justifiées par les propriétés de la symétrie axiale : • les deux diagonales sont perpendiculaires • une des diagonales (axe de symétrie) coupe l’autre diagonale en son milieu • le cerf-volant possède deux paires de côtés consécutifs de même longueur L’attention des étudiants est attirée sur le fait que le cerf-volant n’est pas forcément convexe, et sur le fait que le losange est un cas particulier du cerf-volant. La manipulation devant les étudiants à l’aide de Cabri permet de faire apparaître une multitude de cerf-volants. C’est l’occasion de développer le concept deposition et proportions prototypiques: de même que l’élève ne reconnaît le losange que « posé sur la pointe » et dans des proportions proches de la situation construite à partir de deux triangles équilatéraux, les étudiants reconnaissent facilement le cerf-volant dans la situation ci-dessous en bas à droite (convexe, axe de symétrie vertical, côtés les plus courts vers le haut), moins bien dans les autres cas. Quatre variables sont particulièrement exploitées : • la position de l’axe de symétrie (horizontal, vertical, plus ou moins penché, dans une direction nord-ouest / sud-est ou au contraire nord-est / sud-ouest) •le rapport des longueurs des côtés (de 1 à « très grand ») • le rapport des longueurs des diagonales (idem) la convexité (cerf-volant convexe ou non) •
366
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
151
1.1.4. Dispositif pédagogique Le choix effectué pour cette étape est celui d’un exposé magistral. C’est un choix « par défaut », en ce sens que j’ai choisi pour les temps d’exposés magistraux, d’un volume horaire total je l’ai dit équivalent au temps de travail en groupe de base (dont l’effectif est relativement important : 40 étudiants), les thèmes qui me semblaient les moins mal adaptés, c’est-à-dire a priori les plus simples. Or, il s’agit ici d’une situation de transmission d’informations plus que d’une situation de construction de concept mathématiquement complexe, ce qui autorise plus volontiers un tel dispositif pédagogique. Néanmoins, une séance de travaux dirigés aurait probablement été plus profitable pour les étudiants. Ainsi, au sujet des quadrilatères, on aurait par exemple pu proposer aux étudiants de : • produire eux-mêmes, individuellement ou par groupes de trois ou quatre, une classification des quadrilatères, • synthèse, à l’aide de manuels ou de dictionnaires pourles comparer, en faire une vérifier à l’occasion certaines définitions Ces consignes auraient, je pense, permis de faire émerger les conceptions erronées de certains étudiants. De même, le deuxième schéma utilisé aurait pu être proposé aux étudiants sans les propriétés, afin qu’ils le complètent. Il semble en effet plus efficace, pour s’approprier les propriétés des quadrilatères, de rechercher soi-même des propriétés, de procéder à des essais, etc., plutôt que de prendre une liste de propriétés toute prête. Au sujet du cerf-volant, l’idéal aurait été que les étudiants puissent manipuler Cabri eux-mêmes pour construire de multiples représentants de l’objet théorique « cerf-volant », à partir de la définition donnée, qu’ils aient 151Cette image, ainsi que d’autres du même type dans la suite, correspondent aux diapositives de la présentation PowerPoint utilisée en cours avec les PE1.
367
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
le temps de conjecturer puis démontrer ses propriétés, etc. Après cette première manipulation, une consigne aurait notamment pu être : « tracer une douzaine de cerf-volants qui se ressemblent le moins possible et expliciter les variables didactiques que vous utilisez pour tracer ces cerfs-volants », afin d’obtenir des objets dans des proportions et positions très variées, ainsi que l’explicitation des quatre variables précédemment citées. Les contraintes d’organisation ne m’ont permis d’effectuer ce choix mais ont néanmoins permis de faire le point sur : • l’aspect inclusif des définitions mathématiques • le concept de définition minimale • le concept de positions et proportions prototypiques • le cerf-volant, sa définition et ses propriétés
1.2. Des activités pour réconcilier les étudiants avec la géométrie
Ce point sur les quadrilatères étant fait, il reste de nombreuses connaissances de géométrie plane à revoir, et de nombreuses compétences à (re-)développer avec les étudiants, notamment : • les théorèmes du collège • l’utilisation de ces théorèmes pour démontrer •les constructions à la règle et au compas • la rédaction de scénarios de construction Pour pouvoir travailler dans G2, il est en effet nécessaire de disposer d’un minimum de connaissances et de compétences : il faut connaître des théorèmes, y penser, et être capable de les appliquer. Autrement dit, il est nécessaire de disposer de connaissances mobilisables, voire disponibles, selon les énoncés. Or, les différentes analyses des chapitres précédents ont montré des lacunes des étudiants, qui les empêchent parfois de résoudre complètement un problème dans G2 : ils voudraient démontrer des propriétés mais utilisent la perception (volontairement parfois, involontairement le plus souvent) parce qu’ils ne disposent pas des outils nécessaires dans G2, soit parce qu’ils n’y pensent pas (connaissances non disponibles), soit parce qu’ils ne sont pas capables de les utiliser (connaissances non mobilisables). La nature de l’épreuve du concours par ailleurs leur impose d’être capables d’effectuer des démonstrations de niveau collège. Les théorèmes utiles ont déjà été travaillés au collège, mais
368
Chapitre 7 : Expérimentation en environnement papier-crayon
certains ont été totalement oubliés, c’est le cas du théorème de l’angle au centre et de l’angle inscrit interceptant un même arc, d’autres ont laissé un nom, mais ne sont pas opérationnels, c’est le cas nous l’avons montré du théorème de Thalès, d’autres encore peuvent être énoncés mais non appliqués, c’est le cas par exemple du théorème « la médiatrice est l’ensemble des points équidistants des extrémités du segment ». Mais une difficulté majeure se pose au formateur sur cet apprentissage de la démonstration : • se disent « », fâchés » avec les mathématiques,certains étudiants, « scientifiques non et surtout avec les démonstrations. Ce seul mot les renvoie à un passé de collégien parfois douloureux, souvent désagréable et qui les empêche de s’investir dans l’activité proposée. Il faut d’abord les « réconcilier » avec les démonstrations, leur faire prendre conscience qu’ils sont capables d’en effectuer eux-mêmes. Je choisis donc dans un premier temps de leur en faire faire de façon subreptice. La forme des exercices proposée est pour eux inhabituelle, ils n’y reconnaissent pas une activité maintes fois répétée au collège, et ils s’y investissent donc plus volontiers. • sont au contraire naturellement à l’aise dès qu’ilcertains étudiants « scientifiques » s’agit d’effectuer des démonstrations. Il est donc intéressant de leur proposer une activité qui les déstabilise un peu, qui les oblige à réfléchir, qui ne leur permette pas de reproduire trop rapidement un discours par ailleurs bien assimilé. Il faut qu’eux aussi aient quelque chose à apprendre, une compétence à développer. Cela leur évitera de s’ennuyer, avec tous les effets négatifs que cela peut produire, mais cela évitera aussi de mettre les autres étudiants dans une situation d’infériorité, avec d’un côté ceux qui savent déjà, et de l’autre ceux qui ne savent pas, renforçant ainsi le sentiment d’échec des étudiants en difficulté152.
152 construire durant plusieurs années exploité pour cela la consigne suivante « J’aipar pliage triangle un rectangle, un triangle isocèle, un triangle rectangle et isocèle, un triangle équilatéral, les hauteurs d’un triangle, les bissectrices d’un triangle, un angle de 45°, puis 60°, puis 30°, etc. » . La situation est inhabituelle pour tous, et plutôt amusante. Si les premières constructions ne posent pas réellement de difficulté, et permettent de s’approprier la consigne, le travail sur le triangle équilatéral est intéressant : pour obtenir un triangle équilatéral, ilfaut aux propriétés de celui-ci (on peut par exemple exploiter le fait que la médiatrice est aussi réfléchir hauteur : plier la feuille pour obtenir une droite d, support d’un côté ; plier pour déterminer deux points A et B sur cette droite d ; plier en ramenant A sur B pour obtenir la médiatrice de [AB] ; plier pour déterminer sur cette médiatrice un point C tel que BC=AB. On a alors déterminé les trois sommets d’un triangle équilatéral). Aucun pliage ne résulte d’un automatisme, car la situation est nouvelle pour tous. Pour chaque construction, tous les étudiants doivent donc reprendre la définition de l’objet cité, voire ses propriétés. Il ne s’agit pas ensuite seulement de réciter ces définitions ou propriétés, mais de lesutiliserpour effectuer le pliage. L’appropriation de ces définitions et propriétés est alors beaucoup plus efficace. Mais cette activité nécessite du temps et ne permet pas de développer les autres compétences : rédaction d’un scénario de construction et construction à la règle et au compas. Elle a donc été laissée de côté, et seulement proposée aux étudiants dans le cadre de leur travail personnel (cf. annexe 26 : Ateliers de géométrie plane 2005-2006, activité 2).
369
© 2010-2024 YouScribe