TRANSPORT RNL mars

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Cédric Villani

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TRANSPORT RNL, 16 mars 2007 Cedric Villani ENS Lyon & IUF

equations de transport celebres

équation de transport

∂? ∂t

transport rnl

densite de matiere transportee par le flot

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TRANSPORT
RNL, 16 mars 2007
C´edric Villani
ENS Lyon & IUF´
Equations de transport: 3 acceptions
(t,x)→ξ(t,x) champ de vitesses
• ϕ une quantit´e conserv´ee le long du ﬂot
∂ϕ
+ξ?∇ϕ = 0 (1)
∂t
• ρ une densit´e de mati`ere transport´ee par le ﬂot
∂ρ
+∇?(ρξ) = 0 ∇?J := divJ (2)
∂t
• description cin´etique: v variable ind´ependante de x;
f =f(t,x,v) densit´e en (x,v) d´ependant du temps
∂f
+v?∇ f = 0 (3)
x
∂t`
- A cela s’ajoute: interactions, couplages, diﬀusion,
agitation stochastique, etc. etc.
- Probl`emes d’´evolution ou probl`emes variationnels,
conditions aux bords etc.
−→ innombrables mod`eles lin´eaires et non lin´eaires
(syst`emes de lois de conservation, m´ecanique des ﬂuides,
th´eorie cin´etique des gaz, etc.)Quelques probl`emes typiques
- existence/unicit´e de solutions faibles/fortes
- r´egularit´e
- stabilit´e (vis-`a-vis de petites perturbations...)
- comportement en temps grand
- etc.
But de l’expos´e
`
A travers quelques ´equations de transport c´el`ebres,
illustrer quelques principes g´en´eraux sur l’´etude
math´ematique des EDP non lin´eairesSolutions faibles / solutions classiques
D´eﬁnition du concept de solution: toujours d´elicat! (Cf.
controverse Stokes–Kelvin–Rayleigh...)
Solution faible: pas assez r´eguli`ere pour que l’´equation
soit bien d´eﬁnie (d´eriv´ees non d´eﬁnies...), pourtant r´esout
l’´equation en un certain sens g´en´eralis´e
2
Exemple trivial: u(t,x) =ϕ(x−ct) v´eriﬁe ∂ u =c ∂ u
tt xx
mˆeme si ϕ n’est pas d´erivable, ni mˆeme continue.
Pour des ´equations non lin´eaires, la d´eﬁnition peut ˆetre
complexe (principes de comparaison, sym´etries,
diﬀ´erentiabilit´e presque partout, changement de fonctions
non lin´eaires, r´einterpr´etations, etc.)Solutions faibles
- parfois indispensables (chocs dans syst`emes de lois de
conservation)
- parfois reﬂet de notre ignorance, surtout dans
probl`emes non lin´eaires (Navier–Stokes incompressible)
- bons points : g´en´eralit´e + stabilit´e
- mauvais points : pas toujours pertinent; peu
d’informations qualitatives; unicit´e souvent
probl´ematique (surtout non lin´eaire)
On va retrouver ces principes (et d’autres) sur quelques
exemplesExemple I: Euler 2-D incompressible
Z
⊥
∂ω (x−y)
+∇?(uω) = 0; u(x) = ω(y)dy
2
∂t |x−y|
Thm (Youdovich): Si ω est initialement born´e, il existe
une unique solution faible (born´ee)
Thm (Shnirelman): Il existe une solution faible non
nulle ω(t,x), d´eﬁnie pour t∈R, identiquement nulle pour
|t| assez grandConclusions
- M´eﬁons-nous des solutions faibles!!
- L’unicit´e est importante, et/ou l’analyse physique
(faut-il imposer la conservation de l’´energie? ou au moins
la non-croissance...)
Une situation similaire : l’´equation de Boltzmann
(Wennberg: l’´energie des solutions faibles peut croˆıtre
spontan´ement)Exemple II: Transport lin´eaire par un champ discontinu
ξ =ξ(t,x) donn´e, par exemple tel que∇?ξ = 0
∂ϕ
+ξ?∇ϕ = 0
∂t
Ce probl`eme admet-il une unique solution faible??
Si ξ d´eﬁnit une famille de trajectoires r´eguli`eres (ﬂot)


X(0,x) =x

X(t,x):


˙
X(t,x) =ξ(t,X(t,x))
...alors ϕ(t,X(t,x)) =ϕ(0,x)
OK si ξ lipschitz: |ξ(t,x)−ξ(s,y)|≤C(|t−s|+|x−y|)
Mais si ξ est “tr`es irr´egulier”???´
Equations diﬀ´erentielles non r´eguli`eres
Thm (DiPerna, Lions 1989): si∇ξ est une fonction
R
et |∇ξ|< +∞ (localement) alors
- on peut r´esoudre uniquement l’´equation de transport en
un sens faible ad´equat
- on en d´eduit l’existence d’un ﬂot d´eﬁni pour presque
toute condition initiale
La preuve et la formulation faible utilisent un
changement d’inconnue non lin´eaire:
∂β(ϕ)
+ξ?∇β(ϕ) = 0.
∂t
15 ans plus tard, Ambrosio parvient `a ´eliminer
l’hypoth`ese “∇ξ est une fonction” (autorise une mesure)
Cf. S´eminaire Bourbaki demain!