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Travaux d'initiative personnelle encadrés

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  • mémoire


NAVELET NOUALHIER Maxime Travaux d'initiative personnelle encadrés L'équation de Pell-Fermat et autres équations diophantiennes Réalisé avec M. Jerôme GERMONI

  • résolution de l'équation de pell-fermat

  • points deh

  • équation de pell-fermat

  • ∆ab

  • loi ?

  • x?1

  • recherche de la soultion minimale

  • x?1 dans la seconde équation


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Langue Français

Extrait

NAVELET NOUALHIER Maxime

Travaux d’initiative personnelle encadrés

L’équation de Pell-Fermat et autres
équations diophantiennes

Réalisé avec M. Jerôme GERMONI

Table des matières

1

2

3

4

5

Introduction

Approche géométrique
2.1 LegroupeH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Applicationà la recherche des triangles rectangles presque
isocèles .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Applicationà l’équation dePell-Fermat. . . . . . . . . . . .
2.4 Étuded’une équation combinatoire. . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Levol de canards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Une approche algébrique

3.1 LecorpsQ[d] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Résolutionde l’équation dePell-Fermat. . . . . . . . . . . .

Recherche de la soultion minimale
4.1 Ledéveloppement en fraction continue. . . . . . . . . . . .
4.1.2 Développementdes entiers quadratiques. . . . . . . .

2

3
3

9
15
18
22

23
23
25

28
28
29

Annexes 37
5.1 Graphiques: La loi∗et le théorème dePascal. . . . . . . . .37
5.2 Preuvede l’associativité de la loi∗grâce au théorème dePascal38
5.3 Homographies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
5.4 Algorithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
5.4.1 Solutionminimale dePell-Fermat43. . . . . . . . . . .
5.4.2 Calculdes solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . .44

1

1

Un peu d’histoire

Historiquement, le type d’équations qu’on appelle équations diophantiennes est apparu au
ème
III siècleaprès Jésus-Christ, introduites par le mathématicien grecDiophante d’Alexandrie.
Ce sont des équations entières, entendons par là que les solutions cherchées sont dansZ, ainsi
que les coefficients y apparaissant. De nombreux problèmes ont depuis lors vu le jour et ont
pour certains mis longtemps avant d’être élucidés, comme par exemple le dernier théorème de
n n n
Fermat caractérisant l’existence de solutions à l’équationx+y=zen fonction du nombre
1 2
n, n’a été résolu qu’en 1995 parAndrew WilesetRichard Taylor.

L’une de ces équations, attribuée aux mathématiciensPierre de Fermatet suite à une
confusion deLeonhard Euler, àJohn Pell, va nous intéresser dans la suite de ce document. C’est
ème
Pierre de Fermatsiècle, celle-ci étantqui remit cette équation au goût du jour au XVII
déjà connue du mathématicienBrahmaguptamille ans auparavant. Plusieurs méthodes de
résolution existent, et nous n’allons en traiter que deux. Dans tous les cas, pour être capable de
trouver toutes les solutions, il nous faudra connaître la "solution minimale", c’est celle-ci qui
engendre le groupe des solutions. Pour cela, nous allons expliciter une méthode efficace qui
utilise le développement en fraction continue des nombres quadratiques.

Nous allons aussi nous-même construire trois équations diophantiennes, l’une étant un
problème de recherche de "triangles rectangles presque isocèles", l’autre caractérise dans quels
cas il existe le même nombre de façons de tirerpboules parmin−1 etp−1 parmin. Et
enfin, la dernière est une équation appelée "vol de canards", dont les solutions donnent des
pyramides que l’on peut séparer en deux afin d’obtenir deux pyramides de même tailles mais
plus petites que la première.

Dans la suite de document,ddésignera un entier non carré.

1
Professeur à l’université de Princeton.
2
Professeur à l’université d’Harvard.

2

2

Approche géométrique

2.1 LegroupeH
Dans cette partieHdésignera l’ensemble des points situés sur l’hyperbole d’équation
3
~ ~
XY=1 dans le repère (Ω,k, ℓ) .
4
Nous allons voir dans cette partie comment l’hyperboleHpeut être munie d’une structure
de groupe, grâce à une loi que nous noterons∗.

Définition 2.1.1.Soit A et B deux points de l’hyperboleHet M0le point de coordonnées
(1,1). NotonsΔABla droite parallèle à(AB)et passant par M0. On définit alors A∗B par :

siΔABn’est pas tangente àHen M0, A∗B= ΔAB\ {∩ HM0};
sinon A∗B=M0
Remarque.Par abus de notation, on ne distinguera pas le cas où A=B, nous considèrerons
que, dans ce cas,(AA)est la tangente àHen A. Le cas A=B est alors implicitement traité
car l’équation deΔAA(la parallèle à la tangente àHen A passant par M0)est :
1 1
y=−x+1+
2 2
x x
A A
En fait, on peut dire que l’application qui à un couple(A,B)deH, lui associe la droiteΔAB
est continue.

Lemme 2.1.2.La loi∗définie ci-dessus est une loi interne sur l’ensembleH.
Démonstration.Les points d’intersectionsMdeΔABetHs’obtiennent en résolvant le
système suivant,
(
−1
y=x
(x,y)∈ΔAB
−1−1
~ ~
k, ℓ) est, en notant (x,x) (resp. (x,)) les
L’équation de la droiteΔABdans le repère (Ω,A ABxB
~ ~
coordonnées deA(resp.B) dans (Ω,k, ℓ) :
1 1
ΔAB:y=−x+1+
xAxBxAxB
.
−1
En remplaçantyparxdans la seconde équation, il vient l’équation polynomiale suivante,
2
x−(xAxB+1)x+xAxB=0
⇔(x−xAxB) (x−1)=0

3
Attention, le repère n’est pas nécessairement orthonormé, ni même orthogonal.
4
Plus généralement toute conique.

3

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