abstrait des espaces vectoriels (chapitre 16).
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Description

  • redaction
  • redaction - matière potentielle : correcte
Introduction à l'algèbre linéaire L'algèbre linéaire est née (au 19 ème siècle) du désir de systématiser et généraliser certaines méthodes et résultats correspondant à des situations additives, dont nous avons déjà rencontré certains exemples dans les chapitres précédents (équations diffé- rentielles linéaires, suites récurrentes, intégration. . . ), et qu'il est possible de définir en général par l'introduction d'une fonction (au sens du chapitre 7) possédant la pro- priété fondamentale, dite de linéarité, f(X+ λY) = f(X) + λf(Y) (que nous étudierons en détail au chapitre 19).
  • questions précédentes
  • question précédente
  • rn
  • combinaison linéaire
  • vecteurs
  • vecteur
  • s1
  • espace vectoriel
  • espaces vectoriels
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  • bases
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  • méthodes
  • systèmes
  • système

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Langue Français

Exrait

résultats
linéaires
métho
pa
p
7)
(mais
(équations
vecteurs
étudierons
dénirons
enco
;
de
rencontré
étudier
fondamentale,
l'espace
des
v
l'aide
duire
le
générale
que
commo
Nous
et

d'une
cabulaire
(au
o
et
nous
p
un
les
:
rité,
avant
(au
plus
p
L'étude
suites
nous
le
o
rresp
de
chapitre
tions
qu'il
matrices
ainsi
systèmes,
compte
runté
la
pa
p
notion
riques
dont
chapitre
fonction
co
avons
nous
du
19)
est
rep
ossédant
allons
exemples
o
p
pa
certaines
résentatif
de
vecteurs
p
chapitre
du
généraliser
linéaire
au
:
des
rentielles
(chapitre
deux
suites
résultats
(au
matriciel,
à
intégration
concepts
(que
et
ème
à
détail
de
),
systèmes
Il
;
à
rs
idées
rep
p
de
s'énoncent
que
our
langage
chapitre
en
alo
la
d'un
additives
plus
domine
analyser
l'intro
érations
v
;
de
au

le
nous
les

ondantes.
systématiser
nouveaux
sens
ourrons
déjà
(au
chapitre
des
re
de
p
;
certains
nous
la
en
généraliser
d'ab
ro-
rd
dans
cas
riété
rticulier
née
des
dite
)
chapitres
les
linéa
de
métho
20)
pivot
,
récédents
de
de
les
à
obtenus
la
langage
dié-
abstrait
ratiques
espaces
et
ectoriels
techniques
16).
linéaires,
des
de
de
19
de
à
enn
récurrentes,
amènera
calcul
intro
co
quelques
sur
imp
calcul
rtants,
nous
en
L'algèb
rticulier
en
tenter
et
résoudre
au
manière
ondant
les
19).
d'équa-
et
(linéaires)
s'avère
nous
siècle)
alo
les
les
est
,
générales
résentations
des
des
dégagées
ces
ossible
et
bien
nous
p
un
leur
dénir
au
emp
17.

constaterons
à
rs
général
nécessité
géométrie,
langage
désir
re

général
r
our
la
les
,
op
de
algéb
duction

ecteur
nous
linéaire
résenterons
mais
18
duction
l'algèb
re
du
situations
de
dans
étudierons
les
vo
vecteurs
et
que
idées
nous
rresp
allons
Munis
dénir
ces
sont
outils,
b
p
eaucoup
ab
plus
rder
généraux
chapitre
que
l'étude
ceux
applications
de
et
l'es-
leurs
pace
résentations
o
et
rdinaire,
reviendrons
et
déterminants.
rep
Intro
:::
f(X+‚Y)=f(X)+‚f(Y)
nR
nRecteurs
un
l'ensem
des
app
de
ration
analogies
utilise
te
c
ordonnée
compte
:
m
m
commencer
la

ules
section
est
du
exemple,
co
suite
la
réel,
R
on
ddition
e
écrire
tés
et
t
y
fournir
à
t
de
propriétés
vue
t
par

ecteurs
généraliseron
et
ob
au
1.
de
her
).
nition
tous
o
forme
eme
herc
n'on
d'un
19)
éré
des
l'appliquer.
se
ossibilité
c
s'app
Analyse)
tro
r
sera
général
réel)
sens
3
plus
ermettre
seule
détail
désignera
puissan
seule
lequel
he
:
21).
qui
(la
v
(dans
des
:
a
etre
suiv
duit
t

à
la
Les
a
la
p
siècle
dans
la
tication
passer
le
On
que
liste

suites
ils
3
t
de
calcul,
toute
on
^
Il
la
par
de
toutes
errons
des
yp
été
cteur
telle
utiles.
la
Les
t
t
v
les
démarc
Ainsi,
(et
ou
la
app
v
-uplet
;
els
par
notée
osée

our
est
la
t
déjà

Nous
t
:
op
étudier
l'addition,
outil
;
exemple
en
v
par
tatif,
surmon
et

mon
des
1
fait,
des
c
tes
en
p
plus

des
la
textes
d'autres
caractères
de
pratique
v
mais
de
eut

des
te
pro
ec
iden
sans
le
les
remarquera
imp
dénition
de
que
près
ons
binaison
hapitre
de
d'iden
géométriques,
par
L'espace
sens
c
notion
suites
précisé
ecteurs
18
pro
d'
déterminer
nom
elle
de
la
et
ble

propriétés
t
de
(concrètemen
elé
y
tér
un
donné
exemple
,
co
qui
déduit
de
à
cie
par
le
on
app
nom
pas
systématiquemen
pro
ecteur
longemen
a
nous

c
situations
ce
bres
de
1
pr
;
présen
ouv
suite
ait
3
in
m
Ce
de
p
t
yp
pro-
In
sut
de
p
d'addition
co
he
p
en
Mais
elle
en
de
est
métho
elée
VECTORIELS

axiomatique
de
ultiplication
é
elle
,
p
sera
exp
en
un
scalaire
soigneusemen
ultiplication
duction
la
à

susait
un
section
an
p
a
.
(ou
à
rigoureusemen
allons
encore
ectoriel
é-
par
autre
un
la
en
part
un
)
un
on
assez
souv
raisonnablemen
t
les
suite
représen
une
t,
lettre,
sur
tée
éritable
la
nous
èc
les

trerons
v
A
:
ble
En
éviden
hapitre
questions
au
calcul
sera
se
raison
a
compliquées
osen
bien
des
form
;
(ou
ec
des
plupart
imprimés)
algébrique
des
dénitions
gras
calculs
y
cette
en
l'exemple
qu'on
et
déni,
linéaires
^
la
p
v
v
an

on
).
se

ecteurs.

t
tié
conduit
à
diculté,
,
des
on
une
que
mathématiciens

ortan

La
complexes
exception
nous
19
v
:
donnée
jets
c
notion
4
com
ermet
dimension.
tier
v
à
2
l'espace,
à
le

exact
sans
cette
:
d'iden
herc
sera
nies,
au

hapitre
ordonnées,
(sous
à
nom
jections.
isomorphisme
par
Le
app
bre
la
sait
de
la
de
on
l'ensem
géométrique),
des
sens
des
de
traduction
pas
(nies)
n'on
nécessaires
t,
dé-
et
app
(a
la
our
^
an
c
des
or
par
e
tel
x
la
et
géométrie
fonction
la
à
et
suite
en
in
ordonnées.
asso
;
sa
rec
m
dénie
co
1.
est
bre
elée
her
(
un
t
s'est
)
de
jection
t
ts
v
sur
t
;
,
v
les
(au
l'ordre
hapitre
v
que
nom
t

e

fonction,
d'espace
elé
)
oje
p
,
une
te
que
caractéristiques
1.
ESP
CES
notion
linéaire
la
cartésienne
p
réels
est
(qu'il
A
ne
et
faut
ultiplication.
bien
calculs
en
R
tendu
prolongen
pas
facilemen
confondre
à
a
ces
v
il
ec
de
les
dénir
suites
our
n
haque
umériques
ordonnée.

on
innies
eut

tous
qu'on
.
a
,
utilisé
.
;
16.
nR
µeme
nR
nR np
(1;¡1;0;0;1+ 2;¡1)
n (x ;x ;:::;x )1 2 n
(x )i 1•i•n
~x = (x ;x ;:::;x )1 2 n
1=(y ;y ;:::;y ) R1 2 n
R
2C R
µemex x = (x ;x ;x ;x )3 1 2 3 4
n µeme µemeR k k
nR
nR
(x ;x ;:::;x )+(y ;y ;:::;y ) = (x +y ;x +1 2 n 1 2 n 1 1 2p p p p
y ;:::;x + y ) (x ;x ;:::;x ) = ( x ; x ;:::; x )2 n n 1 2 n 1 2 n
nR
fi(x ;x ;:::;x )=(fix ;fix ;:::;fix )1 2 n 1 2 n
fix+fly =fi(x ;x ;:::;x )+fl(y ;y ;:::;y )=1 2 n 1 2 n
(fix +fly ;fix +fly ;:::;fix +fly )1 1 2 2 n nd'unicité
air
et
emen
On
haque
caractériser
des
donné
jectif
.
oir
corresp
.
ecteur
v
^
souv
facilemen
en
si
en
ait
si
de
dimension.
herc
donc
v
;
une
haque
2.
t
co
co
utile,
0
binaison
fondamen
problème
usuelles
des
de
eme
19)
donnée
ecteur
résolution
de
cette
p
.
;
aisémen
ait
binaisons
généralemen
En
t
sera
p
bijectiv
fonction
ourraien
le
solution

l'existence

admet
et
t
famille

es
noté
t
terme
problème
qui
qui
osantes
donnée
t
mathé-
tiel
téresse
op
c'est-à-dire
si
diéren
application
ondre
;
si
un
binaison
t
in
(comme
alen
déterminer
:
exemple
l'ab
attendre)
la
des
c'est
tout
.
obten
de
(au
,
liste
1
plus
:
tal.
.
on
en
souv
on
sa
plus
est
exemple
d'écrire
en
donné
à
certains
dénir
ellera
une
ve
retiendra
suite
)
une
trer
binaison
our
La

de
et
ombinaison
taires.
de
ecteur
v
ul
cien
de
)
),
t

en
allons
.
est
donc
propriétés
v
c
t
v
d'une
:
comme
démon
t
le
outre
que
on
cas
au
1.
ondan
une
déterminer
;
ecien
à
p
(mais
corres-
revien
m
est
ecteur.
une
v
(telles
est
,
d'une
et
tro
est
t
on
est
tout
à
p
système
donc
osan
qu'on
order
s'y
Nous
manipulation
complète
que
ortan
que
qui
our
.
notations)
.
hapitre
.
vien
le
c
qu'il
la
v
on
;
être
2.
tard
Com
exacte
linéaires
errons
le
fondamen
Nous
Plus
propriétés
t,
.
c
rapidemen
he
particulier,
en
question
à
a
v
de
s'il
par
ainsi
précisée
ossible
e
un
t
ecteur

en
3
de
ond
autres.
élémen
app
seule
famil
on
de
et
cteurs
p

une
ordonnée
surtout
famille
de
Soit
on
linéaire
c
com
du
fonction
(p
2
démon
familles.
,
,
v
c
c
liné
2
e
v
la
n
(a
est
ec
tenan
ef-
somme
ts
,
yp
ses
le
les
ecteur
ordonnées
certains
main
classan
(le
puis
ce
fonction
ociel
Le
(ou
est
plut
de
Les
les
ot
ecteurs
),
son
omp
com
se
linéaire
)
famille
alan
;
tal
très

en
problème
en
nous
matiques,

ce
tre
d'existence,
essen
s'in
résultats
aussi
le
problème
ectoriels
corresp
injection,
t,
certains
à
est
si
t
co
déterminer
ts
linéaire
ts
même
euv

t
t
p
une
au
l'unicité
^
c'est
v
surjection
Déterminer
que
un
est
ecteur
érations
une
c'est-à-dire
com
,
linéaire
par
famille
b
duire
attein
us
tel
par
de
commençan
par
t,
v
équiv
on
t
si
la
exercice
d'un
de
linéaire
ouv
p
est
t
4
progressiv
ob
allons
v
p.
Propriétés
t
t
des
v
problème
notre
question.
;
de
par
solution
)
t
ers
imp
v
rend
(de
ce
l'application
.
Dénissons
.
.
.
de
.
ecteurs
.
v
.
de
système
.
résoudre
2
s'agit
F
t
amilles
oit
de
on
v
et
ecteurs
ainsi.
Espaces
fi(x+y)=fix+fiy
~0
n~0=(0;0;:::;0) x R
~0+x=x x (0;0;1;0)=(0;0;x ;0)3 3
(x ;x ;x )=(x ;0;0)+(0;x ;0)+(0;0;x )=x (1;0;0)+x (0;1;0)+x (0;0;1)1 2 3 1 2 3 1 2 3
(v ;v ;:::;v )1 2 k
kP
fi fi vi i i
i=1
w
(v )i 1•i•k
v = (a ;a ;:::;a );v = (a ;a ;:::;a );:::;v = (a ;a ;:::;a )1 11 12 1n 2 21 22 2n k k1 k2 kn
w =(b ;b ;:::;b )1 2 n
8
> a x +a x +¢¢¢+a x =b11 1 21 2 k1 k 1>>< a x +a x +¢¢¢+a x =b12 1 22 2 k2 k 2
>>>:
a x +a x +¢¢¢+a x =b1n 1 2n 2 kn k n
nF = (v ) R c‘i 1•i•p F
pPp nR R c‘ ((a ) )= a vF i 1•i•p i i
i=1
nR c‘ c‘F F
c‘F
nv R
c‘ c‘F Fqu'il
cette
ecteur
com
p
ecteurs
tous
ble,
dénitions,
p
on
son
com
dira
engendr
dit
Si
libre
4
que
le
D'après
un
que
4
ra
p
2.
et
du
ortan
il
est
ble
de
génératrice
ts
o
oit
de
famille
L'ensem
les
linéaire
de
est
uls
ec
oit
v
érie
les
ecteur
a
on
tionné
un
ersemen
linéaire
com
les
Une
si
une
famille
bases
de
;
c'est
t
toute
la
famille
solution
tenan
tout
famille
autres,
elle-m
son
(on
une
famille
;
est
e
tout
la
des
relation
s'écrire
la
les
de
autremen
l'ordre
^
t
plus
t
génér
n
base
écrire
les
autres
quelles
génératrice)
de
(ce
base.
haut,
note
une
Le
particulier
plus
famille
ramène
ecteur
famille
ul
famille
de
des
dans
:
la
.
égale
à
v
anonique
linéaire
c
.
nous
est
.
dit
famille
par
par
un
la
clair
dép
sous-ensem
e
de
solution
ecteurs
est
unique
triviale
par
v
une
autremen
que
que
manière
uns
donné
indép
eme
v
v
de
est
si
Si
On
de
famille
erra
dite
c'est
Si
tel
canonique
ecteur
liée,
2.
une
p
en
dit
n'est
com
base
c'est
ortance
out
base
app
v
dit

de
ne
d'équations
tous
famil
supp
(a
exemple
un
n'est
.
on
e
p
Soit
qu'elle
v
linéaire
des
aisémen
de
on
soien
famille
que
prouv
aleurs
eut
.
p
.
vu
binaisons
;
amilles
caractéristique,
par
déduit
d'unicité
si
notera
à
haut
de
que
eau
la
.
t
ecteur
In
com
dans
com
on
ou
écrire
en
ecteurs
ecien
des
Co
dit
de
indép
la
5
de
qui
n'est
fois
ecteur
de
des
app
v
ase
binaison
Nous
Soit
l'instan
comme
téresser
(on
base
génératrice
exemple
forme
est
dénition)
app
que
,
;
On
une
que
est
famille
le
endan
que
est
sous-ensem
libr
famille
si
ble
seule
v
de
3
équation
de
la
é

con

de
ecteur
t
autre
la
,
famille
t
de
si
de
et
es
des
est
les
fait
endan
^
t
or
ecteurs
génératrice.
les
v
,
(de
base
).
est
une
que
v
v
génératrice
).
c
une
s'écrit
non
ecteurs.
est
,
lié
un
.
que
la
en
de
v
base
ensem
est
de
c'est
ectoriels
existe
v

on

eut
tre
que
pas
comme
de
que
forme
binaison
la
ble
(c'est-à-dire
de
l'imp
elés
a
,
la
m
ecteurs
t
des
t
,
que
les
ec
nos
système
son
une
pas
donné
n
eme
;
haut
osan
le
par
v
que
toutes
libre.
T
pas
atric
ul,
de
v
sous-espace
qu'on
une
eut
(ou
est
)
comme
3
binaison
ossède
des
système
t
solutions
(
ectoriel),
v
que
;
générateurs)
est
t
la
com
e
v
qui
son
s'écrire
de
p
l'on
v
une
le
On
plus
2.
l'a
a
)
F
c'est
vu
condition
libres.
et
le
en
problème
en
exemple
que
men
on
linéaires
joute
plus
une
haut
génératrice
se
Comme
on
nouv
à
v
la
de
construction
,
obtien
v
une
binaison
liée.
n
v
,
t,
comme
une
cette
libre,
binaison
ne
ossibles
eut
:
aucun
ts
v
eet
comme
base,
binaison
ordonnées
autres
co
on
6
qu'ils
Le
t
base).
endants
;
2.
à
Bases.
dans
famille
pas
est
ecteurs
la
elle
libre
cette
génératrice
liée
est
v
p.
Générateurs.
calcul
p
et
famille
du
on
(et
elée
génératrice
b
est
de
base
.
une
n'allons
t
our
tenan
t
con
in
famille
qu'aux
toute
de
;
la
libre
Un
est
imp
base
t
d'une
la
sous-famille
elle
oute
qu'on
T
,
.
,
des
dénie
.
eut
Espaces
(v )i 1•i•k
nR
hvi Vect(v )i i
(v ) Si
(v ) Si ¡ ¢
3(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1) R
S
nS F R
nR F
F = (v )i
bi
k k kP P P
fi v = fl v () (fi ¡fl )v =0i i i i i i i
i=1 i=1 i=1
(v)i
kP
fi = fl x v = 0 () x = x = ::: = x = 0i i i i 1 2 k
i=1
(v )i
v x v +¢¢¢ + x v = 0 xi 1 1 k k i
x3
v v v =¡(x =x )v ¡(x =x )v ¡¢¢¢3 i 3 1 3 1 2 3 2
S S
S
nS R
(e ) e =(1;0;0;:::;0) e =(0;1;0;:::;0)i 1•i•n 1 2
::: e =(0;0;0;:::;1)n
nP
v =(x ;x ;:::;x ) v = x e1 2 n i i
i=1
(e )i
(e ;e ;e )3 1 2
3 nR (b ) Ri
nb Ri
bi
n nB = (b ) R Ri
B
nP
v = (x ;x ;:::;x ) v = x b1 2 n (B) i i
i=1de
de
p
eme
que
7
toujours

est
t
ecteurs
reste.
v
dans
ecteurs
endan
v
),
,
par
erra
famille
,
donner
formées
nécessaire
ecteurs
de
breux

du
8
t
des
dégager
v
erra
système
de
géométrique
libre
cul
liste
et
ce
asso
De
qualitativ
une
concernan
famille
de
famille
elles
si
eut
conditions
s
en
généraux.
form
son
la
19
les
t
elle
des
complète
des
une
limités,
form
t
la
qu'ils
consiste
p
le
eet
de

,
con
1
hapitre
et
tout
les
dép

donc
(qui
de
comme
que
les
l'algèbre
21),
mon
haque
concernan
de
tre
),
en
que
leurs
v
moins,
en
d'exactemen
.
Ainsi,
ecteurs.
base,
ble
^
démon
de
tre
e
nom
souv
3
particulier
dit,
esp
t
qu'on
partagées
hangemen

section.
on
18.
résultats
toutes
que
v
raisonnemen
con
les
canoniques
p
des
mis
hain
ob
hapitre.
elles
calcul
de
théorème
é
précisémen
comm
Nous
d'isoler
ordon-
n'est
pas
(on
résoudre
loin
bre
y
de
ensem
de
um
en
v
l'in
t
t
famille
etre
ue
et
construction,
mérite
v
se
des

t
générale
la
au
base,
nom
t
l'espace
v
conséquen
prouv
le
famille
c
de
c
v
à
cette
que
que
cette
formée
du
ecteurs
-uplet
On
1
m
ordonnées
sera
p
que
v
de
les
formée
dénitions
ecteurs
d'ob
que
des
comp
^
ici
qui
une
enable
our
ordonnées
est
résultat
n'est
une
con
eet
les

et
(mais
dénition,
l'une
en
(et
app
ur
;
de
e
Nous
un
v
t
on
ensem
propriétés
c
qu'on
plus
v
de
en
erra
de
(connaissan
ob
c
;
de
d'où
nom
rendu
t
démonstrations
caractéristique
ariés
on
en
bases,
déguisemen
ordonnées
^
dimension
P
la
d'économie
.
et
calcul
oir
:
oir
pro
d'ab
Soit
p
des
our
libre
de
v
de
2.
les
4

Le

de
essa
de
t
co
qui
dimension.
aux
)
t,
n'a
propriétés
ules
ce
ons
plus
à
ossible
précisé
v
nées
plus
nom
qu'en
le
il
de
a
sur
un
ecteurs
ble
vu
maxim
app

donnés
tels
mais
ecteurs
2.
tenan
tuition
fon
cal-
la
dans
qui
,
obten
^
est
seron
par
d'
et
la
autre
(qu'on
ecteur
ectoriels
propriétés
eut
est
solution
endan
presque
de
bres
;
assimiler
est

une
plan
et
dans
conséquen
à
formée
par
c'est-à-dire
ordinaire,
ecteurs,

qui
on
e
t
toute
v
libre
co
formée
au
linéaire,
cie
t
hapitre
ecteurs.
fois
plus,
ainsi
construction
c
tre
l'étude
toute
au
libre
e
de
plus
v
système
est
t
base.
2.
mon
ou
de
amènen
^
ramener
(ce
à
fait
ecteurs
exercice)
enser
toute
analogues,
génératrice
toutes
résultats
les
est
bases
de
idée
v
jets
au
aleurs
et
doiv
toute
D'autres
génératrice
t
osée
nouv
t
etre
v
(utilisan
est
de
base.
co
p
v
déterminer
dans
allons
Ce
une
de
il
p
pas
sera
de
en
tr
ensem
oler
se
deux
base
(libre
trer
génératrice)
elé
la
la
mais
t
est
d'en
est
elles
princip
bien
ve
^
hors-programme)
le
elée
bre
c'est
v
au
de
fait
).
en
Espaces
cas
ectoriels
ac
Comme
d'un
l'a

les
ble
de
justemen
le
résultats
vien
ules
de
généraux
oir
t
t
v
fait
c
par
dans
nom
hapitre

pro
jets
t
mathématiques
haine
au
t
découlait
Le
siècle,
base
s'est
bre
compte
un
des
,
de
;
v
de
n'étaien
co
souv
les
t
en
des
s'app
ts
Le
m
la
eme
erra
t.
de
our

raisons
ble
dans
théorie
rédactions,
2.
aussi
les
l'esp
Conséquences
de
au
ouv
caractérisation
utiliser

outils,
bases.
ord
c
au
ensem
oin
exact
p
famille
des
c
jectifs
dans
v
p.
à
t
précisée
ctoriel
)
démonstration
seulemen
qu'un
nouv
t
situations,
.
partisans
Ajoutons-lui
la
de
métho
nouv
axiomatique
eaux
on
v
alors
ecteurs,
y
tan
systématiquemen
t
de
qu'on
ce
p
était
eut
un
ainsi
exemples
obtenir
connaissaien
encore
et
une
les
famille
indép
libre.
tes
Quand
18.
ainsi
Espaces
nR
v = (a ;a ;:::;a ) B = (b )1 2 n i
B
n (x )i
0(x )i
B
2 3R R
nR n
n
nR
nF R
F
nG R
G G n
k•n
n
nR n
n
F
F
nR
µemeque
particulier
degré
ce
faite
v
(distributivité
.
les
son
t
nemen
(et
linéaire,
qu'on
v
riels
adaptées
et
élémen
classe
des
op
d'a
qui

gratuit
et
un
résultats
qui
de
p
mais
le
tes
que
ou
conséquence
(qui
18
alair

l'ensem
règles
celui
vu,
:
d'a
v
le
Des
présence
,
3.
on
dans
e
clair
de
v
calcul
un
On
nos
e
que
de
e
exemple
des
m
nom
à
uit
^
des
élémen


aussi
liste
fonctions
de
par
t
des
).
d'ab
la
olyn
classe),
cas,
est
[
éviden
qu'on
a
toutes
t
on
on
les
leur
nous
leur
utativité)
t
addition
reconna
v
non
un
quelques
^
taires.
ultiplication
ne
t
on
celle-ci.
espace
para
notera
formalisme
analogie
on
R
t
)
t
énoncer
v
v
exemple
ble
un
dit
élien
il
ecteurs,
élémen
de
précéden
com
son
parler
en
eme
ecteurs)
utilisera
supp
;
les
dans
l'ensem
règles
suiv
les
p


calcul
(

espaces
h
(les
gauc
dans
de
,
Mais
t
ce
C
tec
n
plus
lettre
c
l'ensem
(pseudo-asso
3.
ultiplication
omes

les
encore
des
(1
dit
unité)
par
de
ensem
t
(asso

)
que
fonctions
ons
sur
c'est
ble
le
un
qui
n
form
déni
oir
fournis
(ainsi
qu'on
app
téressan
endance,
tions
qu'elles
plus
nécessaires),
complexe
oir
sur
tre
in
des
un
ts
v
v
l'espace
plus
une
Conséquences
de
autres
-espace
tes
d'un
t
externe
liste,
;
eut
partir
ectoriel
t
scalaires,
p
est
tre
quand
parle
Il
mais
on
un
encore
tra
ensem
à
ou
e
eut
inhabituel
est
v
dans
exemple
espace
les
des
eut
ectoriel
trer
On
démonstration
on
group
généraux,
ab
alors
)
exemples
dénitions
les
v
arriv
familles
ts
ou
de
binaison
)
de
souv
par
t
our
ts,
terminologie
v
^
t
la
s'il
on
5
en
érie
(distributivité
note
droite)
h
calcul
on
que
règles
emes
ble
m
an
érie
bres
dans
:
taire
scalaires

Axiomes
le
eut
est
des
axiomes
R
uit
vecto
des
ose
à
ou
he)
solutions
la
de
prévisible
utiliser
la
des
situation.
donc)
genre
son
à
sc
hniques
umériques
les
la
systématiquemen
suites
explorera
,
hapitre
ble
Le
des
ou
,
ciativité)
ectoriels
(c'est-à-dire
de
m
Dans
de
^
régularité
on
la
p
ou
deux
en
ble
est
es
t
exemple,
Il
un
clair
]
ces
alors
son
sur

ble
tes
ciativité)
sur
ord
exemples
de
nous
,
v
les
déjà
a
mais
de
justemen
lequel
tout
l'ensem
mérite
;
algébristes
umériques
les
a
t
fonctions
ulées
espace
v
par
compris
deux
nécessité
t
que
1
qu'on
ts
elle
éra-
indép
(comm
c'est-à-dire
ectoriel
fait
in
son
(une
toutes
exemples
et
a
v
.
su

^
ectoriel
leur
(ou
dans
espace
cas
terne
éviden
est
(don
a
on
,
erra
et
exemples
eme
loin).
C
2
m
élémen
m
Certaines
dénit
règles
ons
éviden
(existence


guren
élémen
pas
v
la
neutre)
car

p
)
les
à
(sur
de
les
Ce
v
yp
;
d'exercice
un
eut
qu'on
^
que
assez
lisé
(on
est
de
par
),
sous-espace.
c'est
b
v
p.
Axiomatique.
un
uti-
ectoriel)
par
R
démontrer
notion
en
la
^
;
t
Exemples
un
3
yp
3.
de
bas.
algébrique
(existence
(don
d'un
on
opp
erra
osé)
autre
(On
a
dit
ec
alors
matrices).
que
p

par
plus
démon
redonnées
que
t
sera
seron
(la
est
l'équation
que
Espaces
C
K E
+ :
E
(A) (8x;y;z2E)(x+(y+z)=(x+y)+z)
(C) (8x;y2E)(x+y =y+x)
(O) (9O2E)(8x2E)(x+O=x)
0 0(S) (8x2E)(9x 2E)(x+x =O)
(E;+)
(D1) (8a (scalaire))(8x;y2E)(a:(x+y)=a:x+a:y)
(D2) (8a;b (scalaires))(8x2E)((a+b):x=a:x+b:x)
(PA) (8a;b8x2E)(a(b:x)=(ab):x)
(U) (8x2E)(1:x=x)
(8x 2 E)(0:x=O)
a:x=O ) a = 0 x = O
nE R
n nR C
C
3C 0;1
• 4
N R Cle
).
4
t
t
dit
des
xalemen
^
^
de
d'autres
v
(En
v
an
binan
;
in
rés
ac
oit
on
ecteurs.
dire
cette
(de
au
génératrice.
précéden
(sous-espace
v
con
h
son
l'ensem
une
(le
les
amène

t
que
dit
par
ordinaires
la
un
binaisons
espaces
plus
),
c

v
la
famille.
linéaires
dans
des
du
ase
Il
rigoureux,
La
la
op
^
ensem
érie
ces
que
est
plus
pas
des
à
[
déni
:
néanmoins
omes
ts.
son
p
.
te
v
ec
de
4.
ecteurs
des
est
deux
omes
:
ou
de
ainsi
ou
de
(p
ecteurs
une
étudié
que
F
au
ord
pratique
:
p
est
vide
,
qu'en
si
3
v
se
eau
est
est
tout
résultats
linéaire
en
que
de
tion
yp
etre
alors
que
dernier
innies,
que
l'on
c'est-à-dire
de
ecteurs
p
érication
on
ecten
et
de
^
autremen
formé
et
exemples
ne
ortan

de
sortir
formes
règles
:
qu'on
dénie
certaine
condition
en
l'ensem
in
olyn
les
t
cas
ecien
ce
égaux
à
les
l'imp
ergen
délicat,

de
de
diéren
et
v
)
est
[
Dénitions.
des
en

de
engendré
ecteurs
ensem
un
note
our
p
ve
de
du
exemple
si
c'est-à-dire
plupart
l'ensem
v
les
l'espace,
des
les
v
a
e
op
précisémen
v
4.
de
de
ectoriels
elons
qui
dénitions
hapitre
précéden
t
On
soignée,
comme
n'est
famille
mon
de
que
dit
rencon
libr
théorème
nous
la
de
classe.
ni
sur
seron
en
à
que
nouv
atric
en
)
ts
ecteur
alen
com
analogues
les
(ce
et
théorème
une
t
supplémentaire
Thalès).
libre
classe).
our
sut
à
e
faudrait
de
dénitions
génératrice
des
érier
v
t,
v
les
que
v
degré
érations
omes
un
olyn
et
.
exemple
général,
resp
v
ble
(3)
t
on
des
tr
conditions,
ole

des
t
]
6
Les
qu'on
les
ecteurs
imp
risque
ts
uit
t
de
l'une
soumis
deux
de
suiv
assez
tes
ble

une
est
a
par
est

en

condition

com
ble
libre
p
t
^
seul
don
élémen
tous
tout
co
C'est
ts
un
t
qui

téressan

à
suites
eu
v
ortan
tes
fait
;
notion
les
parado
ecteurs
sous-espace.
sous-espace
ectoriels
engendre
Sous-espaces
libre,
t,
est
ectoriels.
tels
utile
]
1
de
celui
v
On
comme
p

que
(considé-
v

familles

pratique
un
est
ble

(on
sous-esp
alors
v
olyn
e
,

encore
ctoriel
famille
la
que
Soit
par
plan
),
c'est
que
mériter
est
espace
ble
de
toutes
ectoriel
com
des
linéaires
our
v
comme
de
m
(ce
tielle
yp
emes
sera
le
plus
érations
t
v
bas).
celles
2
erra
amilles
incomplète.
v
étude
Rapp
ce
d'ab
c
les
en
du
qu'on
hapitre
revien
t
21,
si
à
langage).
,
abus
qu'il
que
l'on
une
pas
de
eut
ecteurs
et
généralisation
trera
on
base
que
qui
est
de
e
particulier
n'utiliserons
Le
Mais
trer
la
4.
ecteurs
règle
de
en
ble
un
t
comprendre
distributivité
t
langage
doiv
t
;
et
binaisons
droite
génér
ce
e
faite
com
!)
si
équiv
v
éviden
de
fait
est
(de
binaison
te
de
traductions
,
que
v
p.
de
de
sera
son
de
données
ensem
;
est
on
b
v
de
erra
si
en
est
classe
et
qu'on
(P
p
^
eut
tout
remplacer
fait
(1)
il
et
dire
(2)
ces
par
s'étenden
;
à
)
familles
]
a
[
ec
t
con
traditionnellemen
en
note
Alors
con
Espaces
00 0y +xy +y =0
+ :
S ‰ E E
E
(1) (x;y 2 S ) x+y2S) (2) (x 2 S ) a:x2S)
(3): (x;y2S )x+a:y2S)
O2S
S
3(x;y;z) R
x+y+2z =0
S A S = hAi S =
Vect(A) S
A
F =(v )iP
S F a v = O () a = a = ::: = 0i i 1 2
F S S F
F S F
P
2 n(1;X;X ;:::;X )
R X R X
• n R Xn
F ‰ G S F G Ss'app
donc
de
(il
est
en
(ce
la
).
en
de
ve
Dimension
dit
erra

au
(sans
partielle
utile
cas
R
on
[
théorème
on
a
de
tout
théorème
autres)
une
n'est
ainsi
qu'on
clair
sous-espaces
théorème

ne
est
famille
se
est
suiv
le
(il
tier,
p
des
(ce
olyn
ble
des
(qui
dans
cas
ec
mais
famille
;

t
t
mon
ossible
se
ul,
fait
sa
nie
au
une
une
mais
est
génératrice.
de
de
et
cède
en
est
dimension
ce
mais
eet
nom
existe
de
on
(ou
des
eler
(c'est
par
adjoin
t
et
la
obtenir
(
démon
que
ce
v
aux
se
v
;
une
(de
ang
des
incomplète
tés
elle
à
v
des
confusion
men
te
la
v
des
est
est
Les
bles)
facilemen
sujet
sous-
du
ble
c'est-à-dire
p
résultat
inclus
incomplète
elle
si
v
l'absurde)
dimension
(et
Si
comme
il
de
ecteur
note
ce
men
si
ue
on
n'est
ve
nie)
ble
cette
t
nom
(de
se
v
et
est

app
t
de
Si
La

nouv
eut
tec
a
;
er
ainsi
Théorème
la
génératrice
,
r
et
que
Il
:
se
dimension
quelques
ecteurs
ts
exemple
le
démonstration
;
inférieure
con
p

tout

à
;
on
ble
base,
car
aisémen
non
base
ectoriel
hissan
un
ourrait
ensem
des
)
ecteurs
]
omes
(
t
solutions
nie).
ecteurs
(dans
binaisons
la
ble
ecteurs
t
encore
classe)
t
ensera
cas
méer
dans
le
la
p
eter
familles
a
t
généralisation
plus
notations,
résultan
de
démonstration
(quelconque)
reste
mais
des
.
ni
des
des
p
sera
son
t
analysables
et
ord,
p
con
DM.
,
4.
t
telle
le
rang.
sous-espace
la
il
en
tous
alors
on
ainsi
sous-espace
tout
par
p
tion
la
est
génératrice
(et
en
est
une
sous-espace
la
n
le
tien
le
un
base
n
incomplète.
;
t
ecteur
exercice
(et
toutes
n'a
famille
,
il
que
est
dr
pas
le
se
alors
que
v
Le
forme
métho
.
pro
dimension
puisse
forme
du
de
généraliser
ecteurs
Il
résultat
cas
souv
vien
t
)
elé
par
théorème
innie.
la
de
).
on
démonstration
,
idées
p
elles,
qu'on
très
en
hnique)
récurrence
hors-programme
trouv
le
complété
bre
ainsi
déni
ectoriels
elle
famille
dimension
famille
sa
nie,
et

note
dit
),
(par
.
à
est
La
de
de
rapp
v
des
innie
exemples
on
an
par
:
de
note
le
On
une
et
de
,
)
tien
[
il
t
s'agit
]
de
our
dimension
en
sur
de
)
comme
dim
une
l'ensem
le
des
de
olynômes
tre
tels
mais
vide,
t
est
de
de
rééc
)
p
sous-espace
t
est
v
dernier
degrés
ble
in
note
p
forme
théorème
la
^
)
ersemen
dim
dans
l'ensem
de
des
famille
de
retirer
de
Le
v
général
linéaires
de
com
v
)
base
l'ensem
tan
seron
est
commen
de
en
vrai
;
le
p
ce
aussi
(non
se
(a
des
que

ec
corps
s'app
scalaires
généralisation
eut
^
les
à
tan
(ainsi,
innies
v
famille
une
tionnée
éviden
que
des
haut),
on

,
la
ecteurs
famille
de
nécessite
nie
te
,
métho
une
génératrice
Si
(dites
ctoriels
en
plans
théorie
).
ce

ensem
etits
libre,
sous-espaces
dépassan
t
le
t
largemen
:
,
d'ab
les
tout
d'un
espace
ossibilités
tien
on
elés
programme.
l'ensem
Le
app
4
son
base
donc
et
plus
de
etit
Le
p
tre
(et
admis
est
base
dans
2
les
si
;
généralise
l'app
est
le
:
n
(par
et
nie
con
à
en
ossède
on
que
qu'il
famille
de
utilisable
0
nie
que
que
base
donc
vide).
pratique,
un
base
)
est
pas
d'après
ul,
on
con
théorème
t
famille
moins
la
v
v
non
incomplète,
ul,
7
libre
prenan
si
en
v
t
constitue
obten
base
Ø),
donc
;
pas
les
c'est-à-dire
v
p.
la
de
cas
la
)
sur
pr
familles
),
libres
dit
de
colinéaires
(nécessaire-
une
son
oite
t
ctoriel
nies,
;
et
est
toutes
l'ensem
les
des
bases
ecteurs
de
la
dimension
pas
on
son
t
Les
le
de
m
2
^
la
eme
ne
nom

bre
.
Espaces
B S F ‰B‰G
G
F G
F G
G F
G
S R X
S
F = S S
S dim(S)
ndim(R ) = n dim(C) = 2
P deg(P)•n
= n + 1 R Xn
00 0ay +by +c=0 =2
3 3dim (C )=3 dim (C )=6C R
O fOg
S
dim(S) = 1 S S
a:v1
fa:v +b:v g v v v =k:v1 2 1 2 2 1
F = (v ) Ei 1•i•k
kP
F a :vi i
i=1
k k kP P P
E O = 0:v a :v +‚ b :v =i i i i i
i=1 i=1 i=1
kP
(a +‚b ):v Vect(F) Vect(v )i i i i
i=1
k F rg(F)exemples
t
(il
3
base
correcte
our
une
t
ortan
t
des
5.
n'on
bre
cette
aisémen
En
est
plus
déduit
que
la
rev
le
ble
t
est
,
d'élimination)
les
laissée
t
précéden
est
de
(autremen
v
de
^
à
t
un
réunion
pas
quand
est
ule
.
de
pro
bases,
;
enn
est
dans
impaires.
ce
toute
la
la
son
5
note
ts
2
;
ble
ortance
v
est
on
ecteurs
et
on
;
ecteurs
érie
on
de
fait
une
est

au
de
sommes
erra
famille
de
par
t
calcul
précéden
v
et
v
En
:
v
grand,
hyp
t
de
éliminan
hapitre
si
en
piv
supplémentaires
indép
eaucoup
l'ordre
un
ce
applications
récipro
et
qui
alen
l'unicité
rang
v
^
de
de
et
dép
emen
et
t
de
on
de
;
des
.
Dénitions.
directes.
pas
sous-espaces
et
l'ensem
v
que
sous-espaces
n
le
comm
L'ensem
qu'ils
rang
endants
(une
leur
de
e
un
note
;
par
,
On
us.
dit,
démon
des
cessifs
de
Il
base
d'autre
du
de
eet,
le
et
de
des
hapitre
On

tard
La
ortan
de
situation
de
particulier
que
t

s'étudien
deux
on
commo
questions

dimension
et
es
On
si
rang
d'une
la
on
t
est
con
de
utilisan
par
form
form
fait
19.
t
au
de
t
on
cette
fait
son
son
).
On
exemple
ts),
in
ceux
constituan
engendré
yp
si
l'espace
(c'est-à-dire
umériques)
c
applications
terviennen
des
supplémentaires
condition
v
à
tarité
le
et
m
que
de
de
t
représen
famille
unique
eme
vien
,
ecteurs
t

si
ectiv
métho
et
.
comptan
endan
et
Sommes
le
exacte
en
sous-espaces.
de
du
une
1
5.
n'a
Sommes
Soit
Si
des
deux
lecteur)
constitue
d'imp
et
au
que
v
t
deux
le
dans
ecteur
de
ul
ecteurs
en
.
un,
nom
dit
ble
son
8
indép
rédaction
,
nal
que
a
somme
ts
dir
est
cte
v
on
sous-espace
alors
suc-
somme
:
aisémen
obten
v
comme
.
le
t
le
et
On
bases
tre
obtenir
d'une
p
t.
base
erra
incomplète)
n'en
la
que
théorème
pas
l'aide
part
complétons
m
et
de
.
eme
,
c
bases
directes
l'aide
rang
.)
des
v
20
plus
caractérisation
plusieurs
ectoriels
imp
sut
ts
métho
cette
remarquer,
;
un
cas
exemple,
fréquen
de
est
la
aisémen
,
t
des
tes
plus
,
droites
dit
in
que
ectorielles
les
de
nie,
une
son
se
supplémentair
en
.
le
particulier,
et
En
arian
supplémentaire
dimension
droite
est
ectorielle,
de
dit
en
dimension.
ne
un
en
erplan
tien
la

Ainsi,
pas
exemple,
t
ule
te
La
détermination
5.
l'imp
et
métho
c
,
jecteurs
n'étan
les
obtien
étudian
du
condition
et
erra
t
On
quatre
t
ot.
dans
t
de
que
un
endan
b
remarquera
plus
mais
téressan
en
(et
sous-espace
t
que
exercice-t
par
e)
des
(dans
dernier
des
que
n
les
l'ensem
qui
des
t
paires
(la
celui
in
applications
hoix
Une
ecteurs
équiv
et
te
ts
supplémen
v
p.
pratique
adjoignan
son
(et
,
la
)
de
se
,
comp
que
orte
est
un
tout
p
ecteur
eu
de
comme
soit
une
table

manière
union
sous

forme
;
(l'existence
on
de
l'app
v
elle
,
la
t
somme
et
de
resp
diéren
t
les
vraie).
alors
Espaces
F
F
dim(E)=n E •n
S S E S \S E1 2 1 2
S [S1 2
fa~{g fa~|g
~{+~| ~{ ~|
Vect(S [S )1 2
S S S +S1 2 1 2
S S O1 2
S 'S S = S 'S () S = Vect(S [S ) S \S = fOg1 2 1 2 1 2 1 2
S 'S =E S S1 2 1 2
S S
E Vect((0;1;0)) f(a;0;b) 2g(a;b)2R
3R
S S1 2
v E v = v +v v v1 2 1 2
S S S +S =E1 2 1 2
S \S =fOg1 2
S S S \S1 2 1 2
S \S S S1 2 1 2
S +S1 2
dim(S +S )=dim(S )+dim(S )¡dim(S \S )1 2 1 2 1 2
dim(S 'S ) =1 2
dim(S )+dim(S ) dim(E) = n1 2
S S )dim(S )=n¡dim(S )1 2 2 1sous-espace
2
t
:
famille
yp
Cette
base
sous-familles
v
v
).
p
5
une
de
les
con
unique
est
explicite-
]
our
T
ectoriel
co
déterminer
a
[
ten
trer
déduire
libre
en
Déterminer
son
lesquelles
p
[
de
l'ensem
p
1/2,
F
est
et
la
)
dériv
our
phrase
]
4
sous-espace
ecteur
t
qui
.
qu'on
est
se
de
;
(p
supplémentaire
les
alors
)
de
vraie
les
génératrice
tec
est-elle
de
v
de
p
exactemen
famille
n'est
)
de
ues
obtenir
des
ble
ectoriel
La
t
Exercices
ulle
^
3
de
Déterminer
général)
ée
(
don
prendre
sur
famille
Les
enn
an
(de

p
)
[
sa
sous-espace
2
sous-espace
du
par
base
les
t
cette
ecteurs
28
on
base,
a
trer
un
base
joutés
]
con
tout
on
par
eme
p
eut
que
te
Mon
en
(
déduire
?
que
est-elle
compléter
?
h
?
9
(
erplans
)
base
les
ces
aleurs
(qui
armation
t
our
omes,
la
t
(de
hnique
.
sous-espaces
]
our
sur
de
tin
pas
fonctions
dimension
ble
une
de
l'ensem
v
ectoriels
un
.
formen
de
en
1
n
en
liée.
amilles
(
,
)
men
les
ermet
de
1
dériv
de
t
Déterminer
,
p
[
La
ables
p
fonctions
de

m
te
ecteurs
suiv
olyn
la
.
raduire
tout

)
(
le
généraux.
de
ectoriels
de
Espaces
v
.
engendré
v
un
ordonnées
et
les
formen
son
v
p.
^
construire
:
v
bases
1
des
en
de
ulles
dans
n
T
t
Soit
son
et
secondes
une
et
que
premières
Mon
ées
la
dériv
canonique
les
]
t
,
don
[
degré
our
de
:
omes
dénie
^
la
olyn
dimension.
Espaces
0S
S
0S E S
E
E n¡1
nR
6? R
¡ ¢
F = (1;0;0;0;0;0);(1;1;0;0;0;0);(1;2;3;4;5;6)
3?? x R
¡ ¢
F = (x;1;0);(0;1¡x;1);(1;1;x)
???
¡ ¢
F = (1;1;0;0);(0;1;1;0);(0;0;1;1);(1;0;0;¡1);(1;1;1;¡1)
4R
n(e ) R F = (v )i 1•i•n i 1•i•n
iX
v = e i2 1;ni k
k=1
F
x=(x ;x ;:::x )1 2 n
?? 0;1
0;1
?? •3
R X

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