Colle N°11: Géométrie élementaire de l'espace

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+2 d´ecembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S10 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. ´ ´ ´ ´GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE L’ESPACE Points et vecteurs de l’espace ~D´efinition : Soit ~u, ~v, w~ des vecteurs de l’espace vectoriel E, • colin´earit´e : on dit que ~u est colin´eaire a`~v s’il existe un r´eel λ∈R tel que ~u =λ·~v.~u et~v sont dits colin´eaires si l’un des deux est colin´eaire a` l’autre. • coplan´earit´e : ~u,~v et w~ sont dits coplanaires si l’un appartient a` la direction engendr´ee par les deux autres. ~D´efinition : On dit que (~u,~v,w~) est une base de E si ces vecteurs sont non coplanaires. Elle est dite directe si un observateur, plac´e debout dans le sens de w~ a son pied droit sur ~u et son pied gauche sur ~v. ~ ~ ~Th´eor`eme*.— Caract´erisation des bases de E — . SoitB = (~ı,~,k) une base de E. 3~ ~pour tout vecteur ~u∈E, il existe un triplet (x,y,z)∈R ,unique tel que ~u =x·~ı+y·~+z·k. ~D´efinition : On appelle rep`ere cart´esien de E, tout quadruplet R = (O,~ı,~,k), form´e d’un point O ∈ E et d’une ~ ~base B = (~ı,~,k) de E . De plus, on dit que ~• R est orthonorm´e si les vecteurs~ı, ~ et k sont unitaires et deux a` deux orthogonaux. ~• R est orthonorm´e direct (ROND) si de plus la famille (~ı,~,k) est directe. ~Th´eor`eme.— Coordonn´ees cylindriques et sph´eriques —. SoitR = (O,~ı,~,k) un ROND de l’espace et M un point ~de E.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 29
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S10

semainedu3+2d´ecembre2011

NB :seules,srpposoe´roe`emtoil´eesitions´eixesee´gosenaptns.emd´eslitartsnohtsedsno
´ ´ ´ ´
GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE L’ESPACE

Points et vecteurs de l’espace
~
D´efinition:Soitu~,~v,~wdes vecteurs de l’espace vectorielE,
•tie´:colin´earon dit que~uestn´licoeireaa`v~ixeli’se´rnuetselλ∈Rtel queu~=λuv~~et~vsont ditseriasloce´ni
sil’undesdeuxestcoline´airea`l’autre.
•´it´cop:leav~u~etw~sont ditscoplanairesepardr´eeuxalesd.stuersingenionerectladitna`treipaap’lnu
near
~
D´efinition:On dit que(w~v~~u)est unebasedeEsi ces vecteurs sont non coplanaires. Elle est ditedirectesi un
observateur,place´deboutdanslesensdew~a son pied droit suru~et son pied gauche sur~v.

~ ~ ~
The´ore`me*.—Caracte´risationdesbasesdeE— .SoitB= (~k~ı) une base deE.

pour tout vecteuru~∈ E~il existe un triplet (x y z)∈R3unique tel que~u=x~ı+y~+z~k

~
D´efinition:On appellerepere cartesiendeE, tout quadrupletR= (k~~ıO),nitnuope´’dofmrO∈ Eet d’une
` ´
~ ~
baseB= (~ı~k)deE. De plus, on dit que
~
• Rrsesvecteuro´mselitsrohtnoe~ı,~etknitairessontuedxurohtteedxua`onogx.au
~
• RlafaplussideOND)eimllesrttoeridR(tconohe´mr(k~ı~)est directe.

~
Theore`me.—Coordonne´escylindriquesetsph´eriques—.SoitR= (ı~O~k) un ROND de l’espace etMun point
´
~
deE. On noteHlanogohtedlepr´eorojetMsur le planP(O~~ırnotrie)pa´ek.
coordonne´escylindriques:coordonne´essphe´riques:
−→−→ →\~
on poseρ=OH,ϕ= (OH~ı) [2π], de sorte pose onr=OM,ϕ= (Hı~O) [2π],θ= (−O−M  k)∈[0 π] de
e
x=ρcos(ϕ)
quyz==ρzsin(ϕe)que:ostryzx===rrr((nsoiisns(cθθθ(sn(ocsi)))ϕϕ))

Produitscalaire,produitvectoriel,d´eterminant
~
D´efinition:Soitu~,v~et~wdes vecteurs deEtinfie´dno,
[
u~~v=k~uk k~vkcos (~uv~)
[
u~∧v~=k~uk k~vksin (~uv~)~no`u~nest unitair
Det(~u~v~w) = (u~∧~v)~w

siu~etv~sont non nuls,0sinon.

e,directementorthogonal`a(v~~u)i~uet~vsont non
, s
colineaires, et0sinon.
´

Th´eor`eme.—Caracte´risationsdesvecteursorthogonaux,colin´eairesetcoplanaires—.Soit~v~uetw~des vecteurs
e l’es e. Alors
d pac•uetv~sont orthogonauxsi et seulement si~uv~= 0
~
~
•u~etv~eairlin´estnocossi et seulement siu~∧v~= 0
•~uv~~wsont coplanairessi et seulement siDet(vw~u~) = 0
~

Interpr´etationsge´ome´triques:
•itatednoiernt´epru~~ven terme de projection orthogonale
•nietatetr´rpendiok~u∧v~ksuronstruitgoarmmcerala´llemmocpuderiaeuet~v
~
•edquem´eorietitcu´gnoocrtsnu~∧v~
•ondeatitrpe´tnrei|Det(v~uw)|codetrnstsuiur`eipepl´´ellrapaudemulovemmoc~u,v~etw~.
~ ~

Th´ore`me*.—Propri´et´esfondamentales—.
e
duroeplaialscitlibtseereriae´ni´etr,symique
riaeateeibts´niliqtrueisnt´eymleptievorudeieltcro
.euqirte´mysitlninaettsdee´etmraireetantrilin´e
1

Theor`eme.—
´
~u(u1 u2 u3)B

~
Expression en BOND —.SoitB= (e~1e~2e~3) une BOND deE,~uv~et
v~(v1 v2 v3)B~w(w1 w2 w3)B. Alors
•u~~v=u1×v1+u2×v2+u3×v3
~ u1v1u1v1~
•u~∧v~=uu32vv32e1−u3v~e2+e3
3u2v2
•Det(~~vuw~)u2v2u1v1+u1v1w3
=w1− w2
u3v3 u3v3 u2v2

~
w

des

vecteurs tels

Savoir-faire :e´doleverppd´uneretnamilratnaprdeSee`lgsarruou par une ligne, ou par une colonne.
Droites,plansetsph`eres
~

L’espaceg´eome´triqueE´tun`atrespoapDNOR(~ık~O).
r e

que

Proposition*.—Equationscarte´siennesd’unplan—.Tout planPaepse’lednciot´arieesednndaecuteme´entauq
la forme
ax+by+cz=d(a b c)6= (000)

Le vecteur~n(a b cst)eeuctveun`lnrroaP
ma

Savoir faire :trrl’´ouvenalpennenu’drtcasi´euaeqontiPnuer`preno´nee’d´eparladact´erisracev~A1v~2, de trois points
A B Cnoniotn’unp,oudn´esaligAet d’un vecteur normal~n.
Definition :Lorsquea2+b2+c2= 1ontiauqe´’l,ax+by+cz=dest ditenormale.
´

Proposition*.—Repr´esentationparam´etriqued’unedroite—.SoitDroitladreeape´´rrepeA(xA yA zA) et le
x α t
vecteuru~(α β γ’´equatiyst`emede´rtqieunopsramaesdsnU.)Dn´onareptdesy==yxAA++  tβ t∈R
z=zA+γ t
Remarque :SiDnt’itlesnonplansl`elaraltcoireesuepxdnde.dsteq’´tiuascono,setbontneiysnura´tsenineendseD.
Savoir faire :´tracsnoitauqe´’edemt`ysns’urdseoisnuqta’de´e`emsyst`aunnnesesie.tneevnimesrqurietesrapaetm´pas

Proposition*.— Perpendiculaire commune —.SoitD1etD2de droites non coplanaires de l’espace. Il existe une
droiteΔ,uniquetellequeΔsoitperpendiculairea`D1etD2ellE.arep´eigirtdes~u1∧~u2.
Savoir-faire :apersdeliculpendocmmiaernu.estsyme`e´ed’atqusnoitracise´ennede´etmrnirenu

Proposition.—Probl`emesdedistance—.SoitPp`ree(erffianaedenlpnu~vA1~v2) de vecteur normal~nquation,d’´e
carte´sienneax+by+c=detDeritroadlap(r´reepee´Au~). Pour tout pointM∈ E, on a :
−−→−−→
−−
kAM∧→~uk
d(MP) =Detk(~vA1M∧~vv~12k~v2)=AknMk~n=|axa+2b+by+2c+cz−2d|d(MD)ku~k
=

De´finition:erhepcten`LerseadΩet de rayonR >0rapeefinistd´eS={M |∈ EΩM=R}

Proposition*.—Equationcarte´sienned’unesph`ere—.enne´esidaerptemsenUe`hpontirtcar´ouuaeq
(S)x2+y2+z2−2ax−2by−2cz=duo`d+a2+b2+c2≥0

Re´ciproquement,l’ensembledespointsdeEt(´vrefiinaS)tlesphasre`eecedertn(Ωa b c) et de rayond+a2+b2+c2.

Proposition*.— Intersections —.SoitS=S(Ω R),S′=S(Ω′ R′re`es,ed)hpssPun plan,Dune droite.
•Nature deS ∩ Den fonction ded=d(ΩD) : soitH´tejorpeogohtroeleΩsunaldrD.
AlorsS ∩ Dest soit vide (d > Ruatiniopt),edr´truidu´eH(d=R,)opnistys´mteiruqsoeuacponrsisteendeux
rapporta`H(d < R).
•Nature deS ∩ Pen fonction ded=d(ΩP) : soitHlroepreΩsuoetrej´tandlohogP.
AlorsS ∩ Pest soit vide (d > Rtauiedr´ntoiup,)H(d=R), ou bien (0≤d < R)S ∩ Pest le cercle du plan
P, de centreHet de rayonr=R2−d2.
•Nature deS ∩ S′en fonction ded=d(ΩΩ′)S ∩ S′(ediverettˆeupd > R+R′, oud)0=e´r,tiudua`eoinpnt
(d=R+R′oud=|R−R′|)), ou bien un cercle d’axe (ΩΩ′) si|R−R′| ≤d < R+R′S ∩ S

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