Colle N°18: Étude locale des fonctions

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S18 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. (1/2)´ETUDE LOCALE DES FONCTIONS (I) Limites de fonctions ¯D´efinition : Soit f : I →R, a∈ I et ℓ∈R. On dit que f a pour limite ℓ au point a si : (∀ε > 0), (∃η > 0), (∀x∈ I), (|x−a|≤ η⇒|f(x)−ℓ|≤ ε) D´efinition : Extensions de la notion de limite 1. limite finie en une extr´emit´e infinie de I ¯2. limite infinie en a∈ I 3. limite infinie en une extr´emit´e infinie de I. ◦ D´efinition : Soient I un intervalle non trivial, f : I →R a∈ . On dit que f poss`ede une limite a` gauche (resp. a`I droite) au point a si la restriction de f a` J = I∩]−∞,a[ (resp. J = I∩]a,+∞[) poss`ede une limite en a. ′¯ ¯Proposition.— Unicit´e de la limite —. Soit f : I →R, a∈ I∪{±∞}, ℓ,ℓ ∈ R. ′ ′Si f admet ℓ et ℓ comme limites au point a, alors ℓ = ℓ . ◦ Proposition*.— Soit I un intervalle non trivial, f : I →R et a∈ un point a` l’int´erieur de I. AlorsI f admet une limite au point a ssi f admet f(a) comme limite a` gauche et `a droite en a. Propri´et´es des fonctions poss´edant une limite ¯ ¯Th´eor`eme.— Caract´erisation s´equentielle de la limite.— Soit f : I → R, a ∈ I ∪{±∞}, et ℓ ∈ R.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: colle-mpsi
• Nombre de lectures: 15
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S18

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ DES FONCTIONS )(1/2)
ETUDE LOCALE (I

Limites de fonctions
¯
De´finition:Soitf:I→R,a∈Ietℓ∈R. On dit quefa pour limiteℓau pointasi :

(∀ε >0)(∃η >0)(∀x∈I)(|x−a| ≤η⇒ |f(x)−ℓ| ≤ε)

De´finition:Extensionsdelanotiondelimite
1.limitefinieenuneextre´mite´infiniedeI
¯
2. limite infinie ena∈I
3.limiteinfinieenuneextre´mite´infiniedeI.
◦
De´finition:SoientIun intervalle non trivial,f:I→Ra∈I. On dit quefsse`opeednu`itspree(cha`.lmi
e a gau
droite)au pointasi la restriction defa`J=I∩]− ∞ a[(resp.J=I∩]a+∞[etnesop)de`senueimila.

¯ ¯
Proposition.—Unicit´edelalimite—.Soitf:I→R,a∈I∪ {±∞},ℓ ℓ′∈R.

Sifadmetℓetℓ′comme limites au pointa,alorsℓ=ℓ′.

◦
Proposition*.—SoitIun intervalle non trivial,f:I→Reta∈Iun pointiruetne´ral’i`deI. Alors
fadmet une limite au pointassifadmetf(a`hcee`tdaor)commelimitneetia.
e a gau

Proprie´t´esdesfonctionsposse´dantunelimite

¯
Th´eor`eme.Caracte´risationse´quentielledelalimite.—Soitf:I→R,a∈I∪ {±∞}, etℓ
—
l’e´quivalencesuivante:
xli→maf(x) =ℓ⇐⇒(∀u∈IN)nl→i+m∞un=a⇒nl→i+m∞f(un) =ℓ

¯
∈R. On a

Savoir-faire :uitontidionacrlseli´ruoperiassece´ntedueilrsaiuet(f(unrilbeuq)),oupour´etafn’a pas de limite en
aeilrteduet(saiuupor´ouf(un)).
¯
Proposition.—Sif:I→Radmet unelimite finieena∈I∪ {±∞},alorsfbtne´nrocoltmelaesinageeeauvois
dea.

¯
Proposition.—Limitesetine´galite´s.—Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}. On suppose quefetgso`spnedesedt
limites au pointa.
Silimf(x)<limg(x),alorsf < gdans un voisinage dea.
x→a x→a
Sif≤gau voisinage dea,alorslimf(x)≤limg(x).
x→a x→a

Th´eor`emesd’existencedelimites

¯ ¯
Th´eore`me*.—Op´erationsalge´briques—.Soientf g:I→R,a∈I∪ {±∞},ℓ ℓ′∈R, etλ∈R⋆.
On suppose que limf(x) =ℓet limg(x) =ℓ′. Alors
x→a x→a

1lim|f(x)|=|ℓ|2lim (λf(x)) =λ ℓ
x→a x→a
3lim (f(x) +g(x)) =ℓ+ℓ′4lim (f(x)×g(x)) =ℓ×ℓ′
x→a x→a
5si de plusℓ6= 0xli→maf(1x)=ℓ61siℓ= 0+l 1
xi→maf(x) = +∞

¯
pourvuquecesope´rationsaientunsensdansR.

1

Theor`eme*.—
´

¯
Encadrement, comparaison —.Soitf g h:I→R,a∈I∪ {±∞},ℓ∈R
0alorslimf(x) = 0
x→a
SSii••••xxl∀l∀ii→x→xmmaa∈∈IffI((xx))|fg=(=(xx))+≤≤|∞g|(fx()x)!|!lorsx→a
alimg(x) = +∞
Si••x∀lix→ma∈If(x)f=(ℓx)e≤tgx(li→x)mah≤(hx)(x=)ℓ!alorsxli→ma
 g(x) =ℓ

The´ore`me.—Changementdevariable—.Soitf:I→Retg∈J→Rtelles quef(I)⊂J
¯ ¯
x) =b
b∈J∪ {±∞},ℓ∈R.Si••xilli→mmabfg((y) =ℓ!alorsxli→mag◦f(x) =ℓ
y→

Cas des fonctions monotones

¯
eta∈I∪ {±∞},

¯ ¯
The´or`eme.—Limitemonotoneauxbornesdel’intervalle—.Soit (a b)∈R×Rtels quea < betf:]a b[→Rune
applicationmonotone. Alors
◮Sifest croissante,alors
¯
fpso`sdeeunelimitedansRenaet limf(x i) =]nafb[f(x)
x→a x∈
¯
fssopede`lenutimianedsRenbet limx s) =
x→bf(x∈]uapb[f(x)
◮Siftnassior,ed´ecestalors
¯
ftedanseds`ospmilineeuRenaet limf(x sup) =f(x)
x→xa∈]ab[
¯
fsspode`enadeslenutimiRenbet lximbf(x) =xi∈]nafb[f(x)
→

The´ore`me.—Limitemonotonea`l’inte´rieurdel’intervalle—.Soitf:I→Rune applicationmonotone. Alors
◦
en tout pointa∈I,fadmet des limitesfiniespluse.Dehceegauaorti`tda`
◮Sifest croissante,alorsxl→ima−f(x)≤f(a)≤lim+f(x)
x→a
◮Sifiossnaetsedte´rc(x)≤f(a)≤limf(x)
,alorsxl→ima+fx→a
−

Limites des fonctions usuelles

The´ore`me*.—
1.∀a∈R, lim sinx= sinaet lim cosx= cosa
x→a x→a
2.∀a∈]−2ππ2[xli→matanx= tanaxl→imπ2−tanx= +∞etx→li−mπ2 +tanx=−∞
3.∀a∈Rlim exp(x) = exp(a) lim exp(x lim) = 0+∞exp(x) = +∞
x→a x→−∞x→
4.∀a∈R+⋆lim lnx= lnalim0lnx=−∞xl→im+∞lnx= +∞
x→a x→
5. (∀a∈R+⋆)limxα=aα
x→a
6. Siα > lim0, alorsxα lim= 0 etxα= +∞.
x→0x→+∞
7. Siα < l0, alorsxi→m0xα= +∞et li+m∞xα= 0.
x→

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