Colle N°19: Étude locale des fonctions

Description

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 PROGRAMME DE COLLE S19 NB : seules les d´emonstrations des th´eor`emes, propositions ´etoil´ees ne sont pas exig´ees. (2/2)´ETUDE LOCALE DES FONCTIONS (I) Comparaison locale des fonctions ¯D´efinition : Soit f,g : I →R, a∈ I∪{±∞}.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

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• Nombre de lectures: 14
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• Langue: Français

Extrait

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

PROGRAMME DE COLLE S19

semaine du 3+1erseptembre 2011

NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´ DES FONCTIONS )(2/2)
ETUDE LOCALE (I

Comparaison locale des fonctions
¯
D´efinition:Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}. On dit quef
estomin´eepardgau voisinage dea, et on notef=Oa(g)s’il existe un voisinage
fonctionϕ∈ V →Rtels que• ∀x∈ V f(dxa)n=sVϕ(x)g(x)
•ϕortbeen´es



VdeadansIet une

estanteabledevne´lggigau voisinage dea, et on notef=oa(g)s’il existe un voisinageVdeadansIet une
ctionϕ∈ V →Rtels qux∈ V)g(x)
fon e(•x∀→af(x) =ϕ(x
•limϕ(x) = 0

estfalente`aeviuqe´tsgau voisinage dea, et on notef∼ags’il existe un voisinageVdeadansI
fonctionϕque• ∀x∈ V f(x) =ϕ(x)g(x)
∈ V →Rtels(x→a
•limϕ(x) = 1

et une

¯
Proposition*.—Caract´erisations`al’aideduquotient—.Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}. On suppose quegne
s’annule pas dansI {a}et quefetgsont continues au pointasia∈I. Alors

•f=Oa(g)⇐⇒fgegedtseborn´eeauvoisinaa
•f=oa(g)⇐⇒xli→magf((xx0=))
•f∼a(g)⇐⇒xli→mafg((xx)1=)

Proprie´t´esdesfonctionse´quivalentes

¯
Proposition*.—Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}. On suppose quef∼ag. Alors
∀h∈ F(IR),h=Oa(f)⇐⇒h=Oa(g),∀h∈ F(IR),h=oa(f)⇐⇒
∀h∈ F(IR),f=Oa(h)⇐⇒g=Oa(h),∀h∈ F(IR),f=oa(h)⇐⇒

h=oa(g),
g=oa(h).

¯
Theoreme.—Proprie´t´efondamentaledesfonctions´equivalentes—.Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}. On suppose
´ `
quef∼ag. Alors (∀ℓ∈R¯)xli→maf(x) =ℓ⇐⇒xli→mag(x) =ℓ

Savoir-faire :e.itimelimreurente´dutidrenueloprue´lentsimpn´equiva

¯
Proposition*.—Signedefonctions´equivalentes—.Soit (f g) :I→R,a∈I∪ {±∞}.
On suppose quef∼ag. Alors

f >0 au voisinage deasi et seulement sig >0 au voisinage dea

Obtentiond’´equivalents

¯
Th´eor`eme.—Op´erationscompatiblesavecl’e´quivalence—.Soitf1 f2 g1 g2:I→R,a∈I∪ {±∞}etα∈R⋆.
On suppose quef1∼af2etg1∼ag2. Alors
Produitf1g1∼af2g2
Quotientsi de plusg1ne s’annule pas dansI {a}, alorsfg11∼agf22
Puissancesi de plusf1>0 dansI {a}, alorsf1α∼af2α

1

¯
Th´eor`eme*.—Caract´erisationdel’e´quivalence`al’aidedeladiffe´rence—.Soitf g:I→R,a∈I∪ {±∞}, alors

f∼ag

⇐⇒

f−g=oa(g)

´¯
Th´eor`eme*.—Equivalentd’unesomme—.Soitf h:I→Reta∈I∪ {±∞}.

Sih=oa(f)alorsf+h∼af

Savoir-faire :resstselalc´eunirenq´tilibaetboruopedredarorgligen´edsu’reemmmpeenos

uivalent.

´¯
Proposition*.— Equivalent d’une somme de fonctions positives —.Soitf1 f2 g1 g2:I→R,a∈I∪ {±∞}. On
suppose qu’au voisinage dea,f1etg1sont positives.

Sif1∼af2etg1∼ag2,alorsf1+g1∼af2+g2

¯ ¯
Th´eore`me*.—Changementdevariable—.Soitf g:J→R,y∈I→R,a∈I∪ {±∞}etb∈J, tels quey(I)⊂J.
lim
Si••f(y)∼bg(y)!alorsf◦y
x→ay(x) =b(x)∼ag◦y(x)

Savoir-faire :rensedauqe´elaisuntelsueffse.ctuernuhcnaegemtnedavriablepourserame
`

Proposition.—

Lienaveclad´eriv´ee—.Soitf:I→Renunoitcnofabiverd´enlea∈Itelle quef′(a)6= 0. Alors

f(x)−f(a)∼af′(a)(x−a)

Comparaison de fonctions usuelles

The´or`eme*.—Croissancescompare´esdesfonctionsusuelles
Soit (α β γ)∈R+⋆×R+⋆×R+⋆tels queα < β, eta >1, alors

Au voisinage de 0
(lnx)γ=o0(1xα)
xβ=o0(xα)

´
Th´eor`eme*.—Equivalentsusuels
Au voisinage depssonods,0onsuid:stnavisutsenalivqu´ees

Au voisinage de+∞
(lnx)γ=o+∞(xα)
xα=o+∞(xβ)
xα=o+∞(ax)

x2
•sinx∼x•1−cosx∼ •tanx∼x
2
•(1 +x)α−1∼αx•ln(1 +x)∼x•ex−1∼x

´
Proposition*.—Equivalentsd’unpolynˆome
SoitPoipnlonymoaiel´definiesurctonaflRpar

(∀x∈R) P(x) =adxd+ad+1xd+1+  +an−1xn−1+anxn
Au voisinage de±∞P(x)∼anxninant)modemoˆnom(
Au voisinage de0P(x)∼adxdsbludeasomnˆeped(ome´rg)

2

o`uanetadsont non nuls.